This work presents new analytical and computational methods for operation security assessment of electric power systems by considering Angle and Voltage Stability Limits. In the context of Angle Stability, it was developed a method for estimating transient security margins based on equivalent network reduction techniques and coherent generators. The angle speed deviation was the criterion used to identify generators that swing together. The reduced order was accomplished by replacing two clusters of coherent generators by an One-Machine Infinite Bus equivalent system. With this equivalent, critical fault clearing times and security margins are calculated with the aid of the Equal Area Criterion. The results were in a good agreement when compared with others methods, especially those based on Transient Energy Function used as a Lyapunov function. The method was also applied for estimating security margins and critical fault clearing times of power systems in the presence of wind power generation. It was demonstrated that the proposed method can be used to select critical contingencies, where detailed power system models are needed such that it can reproduce the actual behavior of the system. With respect to Voltage Stability, it was developed an analytical and computational method for steady state voltage stability analysis on a P-Q plane. First of all, it was applied on a simple two-bus power system, and the analytical and computational results were compared. Then, a Voltage Stability Index was derived, in order to obtain the security margins of each bus for any operational state of an n-bus power system. It was carried out by using a power system reduction technique. With the Voltage Stability Index, it is possible to identify critical buses and the regions that are prone to voltage collapse. The voltage stability limits of a distribution power system was also analyzed by means of the P-Q curves, by considering different operation scenarios of wind power generation. It was demonstrated that the wind power can contribute to improve the voltage security margins. Finally, the method was applied to a real power system of Companhia Estadual de Distribuição de Energia Elétrica, in the presence of wind power generation. The methods are computationally efficient and suitable for planning, operation and real-time operation of electric power systems. / Este trabalho apresenta novos métodos analíticos e computacionais para a avaliação da segurança da operação de sistemas elétricos de potência considerando os Limites de Estabilidade Angular e de Tensão. No tema Estabilidade Angular, desenvolveu-se um método para a estimativa de margens de segurança transitória baseado em técnicas de redução de redes e geradores coerentes. O desvio de velocidade angular foi o critério usado para identificar geradores que oscilam juntos. A redução foi realizada substituindo-se dois grupos de geradores coerentes por um sistema Equivalente Máquina-Barra Infinita. Com este equivalente, os tempos críticos de abertura de falta e as margens de segurança são calculados com auxílio do Critério das Áreas Iguais. Os resultados encontrados foram muito satisfatórios quando comparados com aqueles obtidos por outros métodos, especialmente os que utilizam a função energia como função de Lyapunov. O método também foi aplicado para a estimativa de margens de segurança e tempos críticos de abertura de falta, em sistemas de potência na presença de geração eólica. Foi demonstrado que o método proposto é capaz de selecionar contingências críticas que precisam ser estudadas com modelos completos de modo a reproduzir o comportamento real do sistema elétrico. Com relação à Estabilidade Tensão, foi desenvolvido um método analítico e computacional para análise de estabilidade estática de tensão no plano P-Q. Primeiramente, o método foi aplicado em um sistema de potência simples com duas barras, e os resultados analíticos e computacionais foram comparados. Então, um Índice de Estabilidade de Tensão foi deduzido, para determinar a margem de segurança de cada barra para qualquer estado de operação de um sistema de potência com n-barras. Com o Índice de Estabilidade de Tensão, é possível identificar barras críticas e regiões com tendência ao colapso de tensão. Os limites de estabilidade de tensão de um sistema de distribuição foram analisados através das curvas P-Q , no qual foram considerados diferentes cenários de operação da geração eólica. Deste modo, foi demonstrado que a geração eólica pode contribuir para melhorar as margens de segurança de tensão. Finalmente, o método foi aplicado em um sistema de potência real pertencente à Companhia Estadual de Distribuição de Energia Elétrica. Os métodos desenvolvidos são computacionalmente eficientes e adequados para o planejamento da expansão e operação, bem como na operação em tempo real dos sistemas elétricos de potência.

Nesta dissertação, o modelo de seleção de carteiras de Markowitz será estendido com uma análise em tempo discreto e hipóteses mais realísticas. Um produto tensorial finito de densidades Erlang será usado para aproximar a densidade de probabilidade multivariada dos retornos discretos uniperiódicos de ativos dependentes. A Erlang é um caso particular da distribuição Gama. Uma mistura finita pode gerar densidades multimodais não-simétricas e o produto tensorial generaliza este conceito para dimensões maiores. Assumindo que a densidade multivariada foi independente e identicamente distribuída (i.i.d.) no passado, a aproximação pode ser calibrada com dados históricos usando o critério da máxima verossimilhança. Este é um problema de otimização em larga escala, mas com uma estrutura especial. Assumindo que esta densidade multivariada será i.i.d. no futuro, então a densidade dos retornos discretos de uma carteira de ativos com pesos não-negativos será uma mistura finita de densidades Erlang. O risco será calculado com a medida Downside Risk, que é convexa para determinados parâmetros, não é baseada em quantis, não causa a subestimação do risco e torna os problemas de otimização uni e multiperiódico convexos. O retorno discreto é uma variável aleatória multiplicativa ao longo do tempo. A distribuição multiperiódica dos retornos discretos de uma seqüência de T carteiras será uma mistura finita de distribuições Meijer G. Após uma mudança na medida de probabilidade para a composta média, é possível calcular o risco e o retorno, que levará à fronteira eficiente multiperiódica, na qual cada ponto representa uma ou mais seqüências ordenadas de T carteiras. As carteiras de cada seqüência devem ser calculadas do futuro para o presente, mantendo o retorno esperado no nível desejado, o qual pode ser função do tempo. Uma estratégia de alocação dinâmica de ativos é refazer os cálculos a cada período, usando as novas informações disponíveis. Se o horizonte de tempo tender a infinito, então a fronteira eficiente, na medida de probabilidade composta média, tenderá a um único ponto, dado pela carteira de Kelly, qualquer que seja a medida de risco. Para selecionar um dentre vários modelos de otimização de carteira, é necessário comparar seus desempenhos relativos. A fronteira eficiente de cada modelo deve ser traçada em seu respectivo gráfico. Como os pesos dos ativos das carteiras sobre estas curvas são conhecidos, é possível traçar todas as curvas em um mesmo gráfico. Para um dado retorno esperado, as carteiras eficientes dos modelos podem ser calculadas, e os retornos realizados e suas diferenças ao longo de um backtest podem ser comparados. / In this thesis, Markowitz’s portfolio selection model will be extended by means of a discrete time analysis and more realistic hypotheses. A finite tensor product of Erlang densities will be used to approximate the multivariate probability density function of the single-period discrete returns of dependent assets. The Erlang is a particular case of the Gamma distribution. A finite mixture can generate multimodal asymmetric densities and the tensor product generalizes this concept to higher dimensions. Assuming that the multivariate density was independent and identically distributed (i.i.d.) in the past, the approximation can be calibrated with historical data using the maximum likelihood criterion. This is a large-scale optimization problem, but with a special structure. Assuming that this multivariate density will be i.i.d. in the future, then the density of the discrete returns of a portfolio of assets with nonnegative weights will be a finite mixture of Erlang densities. The risk will be calculated with the Downside Risk measure, which is convex for certain parameters, is not based on quantiles, does not cause risk underestimation and makes the single and multiperiod optimization problems convex. The discrete return is a multiplicative random variable along the time. The multiperiod distribution of the discrete returns of a sequence of T portfolios will be a finite mixture of Meijer G distributions. After a change of the distribution to the average compound, it is possible to calculate the risk and the return, which will lead to the multiperiod efficient frontier, where each point represents one or more ordered sequences of T portfolios. The portfolios of each sequence must be calculated from the future to the present, keeping the expected return at the desired level, which can be a function of time. A dynamic asset allocation strategy is to redo the calculations at each period, using new available information. If the time horizon tends to infinite, then the efficient frontier, in the average compound probability measure, will tend to only one point, given by the Kelly’s portfolio, whatever the risk measure is. To select one among several portfolio optimization models, it is necessary to compare their relative performances. The efficient frontier of each model must be plotted in its respective graph. As the weights of the assets of the portfolios on these curves are known, it is possible to plot all curves in the same graph. For a given expected return, the efficient portfolios of the models can be calculated, and the realized returns and their differences along a backtest can be compared.

Nesta dissertação, o modelo de seleção de carteiras de Markowitz será estendido com uma análise em tempo discreto e hipóteses mais realísticas. Um produto tensorial finito de densidades Erlang será usado para aproximar a densidade de probabilidade multivariada dos retornos discretos uniperiódicos de ativos dependentes. A Erlang é um caso particular da distribuição Gama. Uma mistura finita pode gerar densidades multimodais não-simétricas e o produto tensorial generaliza este conceito para dimensões maiores. Assumindo que a densidade multivariada foi independente e identicamente distribuída (i.i.d.) no passado, a aproximação pode ser calibrada com dados históricos usando o critério da máxima verossimilhança. Este é um problema de otimização em larga escala, mas com uma estrutura especial. Assumindo que esta densidade multivariada será i.i.d. no futuro, então a densidade dos retornos discretos de uma carteira de ativos com pesos não-negativos será uma mistura finita de densidades Erlang. O risco será calculado com a medida Downside Risk, que é convexa para determinados parâmetros, não é baseada em quantis, não causa a subestimação do risco e torna os problemas de otimização uni e multiperiódico convexos. O retorno discreto é uma variável aleatória multiplicativa ao longo do tempo. A distribuição multiperiódica dos retornos discretos de uma seqüência de T carteiras será uma mistura finita de distribuições Meijer G. Após uma mudança na medida de probabilidade para a composta média, é possível calcular o risco e o retorno, que levará à fronteira eficiente multiperiódica, na qual cada ponto representa uma ou mais seqüências ordenadas de T carteiras. As carteiras de cada seqüência devem ser calculadas do futuro para o presente, mantendo o retorno esperado no nível desejado, o qual pode ser função do tempo. Uma estratégia de alocação dinâmica de ativos é refazer os cálculos a cada período, usando as novas informações disponíveis. Se o horizonte de tempo tender a infinito, então a fronteira eficiente, na medida de probabilidade composta média, tenderá a um único ponto, dado pela carteira de Kelly, qualquer que seja a medida de risco. Para selecionar um dentre vários modelos de otimização de carteira, é necessário comparar seus desempenhos relativos. A fronteira eficiente de cada modelo deve ser traçada em seu respectivo gráfico. Como os pesos dos ativos das carteiras sobre estas curvas são conhecidos, é possível traçar todas as curvas em um mesmo gráfico. Para um dado retorno esperado, as carteiras eficientes dos modelos podem ser calculadas, e os retornos realizados e suas diferenças ao longo de um backtest podem ser comparados. / In this thesis, Markowitz’s portfolio selection model will be extended by means of a discrete time analysis and more realistic hypotheses. A finite tensor product of Erlang densities will be used to approximate the multivariate probability density function of the single-period discrete returns of dependent assets. The Erlang is a particular case of the Gamma distribution. A finite mixture can generate multimodal asymmetric densities and the tensor product generalizes this concept to higher dimensions. Assuming that the multivariate density was independent and identically distributed (i.i.d.) in the past, the approximation can be calibrated with historical data using the maximum likelihood criterion. This is a large-scale optimization problem, but with a special structure. Assuming that this multivariate density will be i.i.d. in the future, then the density of the discrete returns of a portfolio of assets with nonnegative weights will be a finite mixture of Erlang densities. The risk will be calculated with the Downside Risk measure, which is convex for certain parameters, is not based on quantiles, does not cause risk underestimation and makes the single and multiperiod optimization problems convex. The discrete return is a multiplicative random variable along the time. The multiperiod distribution of the discrete returns of a sequence of T portfolios will be a finite mixture of Meijer G distributions. After a change of the distribution to the average compound, it is possible to calculate the risk and the return, which will lead to the multiperiod efficient frontier, where each point represents one or more ordered sequences of T portfolios. The portfolios of each sequence must be calculated from the future to the present, keeping the expected return at the desired level, which can be a function of time. A dynamic asset allocation strategy is to redo the calculations at each period, using new available information. If the time horizon tends to infinite, then the efficient frontier, in the average compound probability measure, will tend to only one point, given by the Kelly’s portfolio, whatever the risk measure is. To select one among several portfolio optimization models, it is necessary to compare their relative performances. The efficient frontier of each model must be plotted in its respective graph. As the weights of the assets of the portfolios on these curves are known, it is possible to plot all curves in the same graph. For a given expected return, the efficient portfolios of the models can be calculated, and the realized returns and their differences along a backtest can be compared.