Orientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-19T16:43:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Veronez_Matheus_M.pdf: 3220654 bytes, checksum: 8a9b1ab2e2d0f8f82a8747e9a1f7c2fb (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Nas duas últimas décadas do séc. XX os estados coerentes entraram em cena como uma poderosa representação sobre a qual pode-se apoiar a mecânica quântica, possibilitando a extensão do cálculo de integrais de trajetória a uma classe de estados mais abrangente, da qual os autoestados de posição e momento são membros. Cálculos semiclássicos revelaram que as contribuições mais importantes ao propagador quântico provém de domínios centrados em trajetórias complexas no espaço de fase. O método dos estados coerentes acoplados emprega estados dinâmicos para desenvolver um esquema exato para resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, dinâmica esta que emprega trajetórias reais. O regime semiclássico deste método exato conduz a um resultado similar ao obtido a partir das integrais de trajetória, porém empregando trajetórias reais. Neste trabalho o interesse é desenvolver a teoria dos estados coerentes acoplados empregando as trajetórias complexas naturais à aproximação semiclássica e estudar a viabilidade deste método / Abstract: By the end of the last century the harmonic oscillator coherent states were extensively studied as a powerful representation for doing quantum mechanics on the phase space. They were employed in the development of a more general class of path integrals which has the usual Feynman path integral as a particular case. The semiclassical limit of these path integrals involves contributions of functions evaluated on complex trajectories on the phase space. The coupled coherent states (CCS), an exact method devised for solving Schrödinger\'s equation employing a set of path guided states driven by real trajectories, has its semiclassical limit in accordance with that provided by the path integral method, respecting the differences among the trajectories each one employs. In this work we extend the range of the CCS using complex trajectory guided states and we study the complex CCS theory thus obtained / Mestrado / Física / Mestre em Física

Orientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica / Made available in DSpace on 2018-08-04T08:21:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ParisioFilho_FernandoRobertodeLuna_D.pdf: 1316597 bytes, checksum: 7f79cd7aefdbaf70bddcdb50acb8e154 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Esta tese aborda diversos aspectos da propagação semiclássica de estados coerentes. Determinamos uma expressão bastante geral para o propagador entre tais estados que, ao contrário das fórmulas existentes na literatura, é válida para pacotes de larguras quaisquer. O resultado, obtido via integração funcional, depende de trajetórias clássicas num espaço de fase complexificado. Aproximações baseadas em órbitas reais são também analisadas e demonstra-se a origem comum dos propagadores gaussianos de Heller e BAKKS. Em seguida, é feito um estudo bastante completo da propagação semiclássica de estados coerentes na representação de posição. Os resultados formais obtidos são aplicados explicitamente para o caso de um pacote gaussiano sob a influência de um potencial repulsivo suave. Para este sistema, a solução das equações de Hamilton e a própria função de onda semiclássica podem ser determinadas analiticamente. O problema das soluções não contribuintes, que se origina da aplicação do método do expoente estacionário, é resolvido através de imposições de consistência física. Os efeitos das cáusticas no espaço de fase, pontos onde a aproximação semiclássica de ordem quadrática diverge, são controlados através de correções envolvendo funções de Airy / Abstract: This thesis addresses di®erent aspects of the semiclassical propagation of coherent states. We have derived a general expression for the propagator connecting these states which, di®erently from previous formulae in the literature, is valid for packets of arbitrary widths. The result, obtained via functional integration, depends on classical trajectories in a complex phase space. Approximations based on real orbits are also analyzed and it is demonstrated that the Heller and BAKKS Gaussian propagators belong to the same category. Next we make a detailed study of the semiclassical propagation of coherent states in the position representation. The obtained formal results are applied to the case of a Gaussian packet under the influence of a smooth repulsive potential. For this system the solution of Hamilton's equations and the semiclassical wave function can be expressed analytically. The problem of non-contributing solutions, which originates from the application of the stationary exponent method, is solved by the introduction of some criteria of physical consistency. The e®ects of caustics in phase space, points where the lowest order semiclassical approximation diverges, are controlled by introducing corrections involving Airy functions / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

Orientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-22T04:47:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Viscondi_ThiagodeFreitas_D.pdf: 5908171 bytes, checksum: 62e83e5e2d7f988db884e3964fd40971 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: A propagação semiclássica consiste na elaboração e aplicação de métodos para a resolução aproximada da equação de Schrödinger dependente do tempo, assumindo como hipótese que a ação clássica do sistema possui valor bastante superior à constante de Planck. Dentro deste contexto, o propagador quântico representa um elemento de interesse central, uma vez que esta grandeza corresponde à amplitude de probabilidade para a transição entre dois estados do sistema físico. Em um estágio preliminar de nosso trabalho, empregamos o conceito generalizado de estados coerentes para reformular o propagador quântico em termos de uma integral de caminho. Em seguida, com a utilização do método do ponto de sela, realizamos uma dedução detalhada para a aproximação semiclássica do propagador correspondente a uma ampla classe de grupos dinâmicos. A aplicação deste resultado formal está subordinada à resolução de equações clássicas de movimento sob condições de contorno, considerando um espaço de fase com dimensão duplicada. De maneira geral, a busca por trajetórias clássicas sujeitas a valores de contorno demonstra elevado custo computacional e complexidade técnica. Por esta razão, desenvolvemos três diferentes aproximações semiclássicas determinadas exclusivamente por condições iniciais. Em uma primeira situação, elaboramos um método de propagação constituído por uma integral sobre soluções clássicas no espaço de fase duplicado. No segundo caso, com a formulação do operador semiclássico de evolução temporal, eliminamos a necessidade pela duplicação dos graus de liberdade clássicos. A terceira abordagem, designada por propagador clássico corrigido, está definida pela contribuição de uma única trajetória. Com o propósito de avaliar a precisão e eficiência das expressões semiclássicas adquiridas, exemplificamos a aplicação destas ferramentas teóricas para os estados coerentes de SU(2) e SU(3). Por fim, apresentamos uma extensa discussão sobre as vantagens introduzidas pelo espaço de fase duplicado na implementação de uma aproximação semiclássica. Deste modo, verificamos que soluções clássicas tunelantes possuem uma importante participação na descrição precisa da penetração parcial de um pacote de onda em uma barreira de potencial finita. Além disto, mostramos que o fenômeno quântico de reflexão por um potencial atrativo está diretamente associado à ocorrência de trajetórias com comportamento não-clássico. / Abstract: The semiclassical propagation comprises the development and application of methods for obtaining approximate solutions to the time-dependent Schrödinger equation, assuming the hypothesis that the classical action of the system is much greater than the Planck constant. In this context, the quantum propagator represents an element of central interest, since this quantity corresponds to the probability amplitude for the transition between two states of thephysical system. In a preliminary stage of our work, we employ the generalized concept of coherent states to reformulate the quantum propagator in terms of a path integral. Then, with use of the saddlepoint method, we conduct a detailed derivation of the semiclassical approximation for the propagator corresponding to a wide class of dynamical groups. The application of this formal result depends on the resolution of classical equations of motion under boundary conditions, considering a phase space with doubled dimension. Generally, the search for classical trajectories subject to boundary values demonstrates high computational cost and technical complexity. For this reason, we have developed three distinct semiclassical approximations exclusively determined by initial conditions. In a first situation, we elaborate a propagation method composed of an integral over classical solutions in the doubled phase space. In the second case, with the formulation of the semiclassical time-evolution operator, we eliminate the need for the duplication of the classical degrees of freedom. The third approach, designated as corrected classical propagator, is defined by the contribution of a single trajectory. In order to evaluate the accuracy and efficiency of the obtained semiclassical expressions, we exemplify the application of these theoretical tools for the coherent states of SU(2) and SU(3). At last, we present an extensive discussion on the advantages introduced by the doubled phase space in implementing a semiclassical approximation. In this way, we find that tunneling classical solutions have an important participation in the accurate description of the partial penetration of a wave packet in a finite potential barrier. Furthermore, we show that the quantum phenomenon of reflection by an attractive potential is directly associated to the occurrence of trajectories with non-classical behavior. / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

Um dos problemas enfrentados pelos cientistas para o confinamento de plasma em Tokamaks, para se obter fusão termonuclear controlada, é o transporte radial de partículas pela borda do plasma. Nessa dissertação, estudamos o transporte através de um modelo que relaciona as flutuações eletrostáticas na borda do plasma às ondas de deriva. Essas ondas criam no plasma regiões de fluxo convectivo, formando ilhas que são, eventualmente, separadas por barreiras. Para apenas uma onda, o sistema é integrável e todas as trajetórias do plano de fase são curvas invariantes que, se não existirem barreiras, estão em ilhas divididas por separatrizes. Foi verificado que, quando uma segunda onda com velocidade de fase diferente da primeira é utilizada, o sistema não é mais integrável e a região anteriormente ocupada pelas separatrizes torna-se caótica. Com a quebra de separatrizes ocorre o transporte caótico de partículas. Quando uma separatriz é quebrada, surge em seu lugar uma estrutura que ainda preserva algumas características da separatriz, mas se modifica no espaço de fases ao longo do tempo. Essa estrutura é conhecida como Estrutura Lagrangiana Coerente (ELC). Nessa dissertação verificamos que as ELCs, por um lado, funcionam como barreiras de transporte, pois nenhuma trajetória consegue atravessa-la e, por outro lado, criam regiões no espaço de fases onde o transporte é alto, pois trajetórias próximas a elas tendem a ser aceleradas. Uma das principais contribuições obtidas ao se estudar ELCs no problema de duas ondas de deriva, aplicado ao confinamento de plasmas em Tokamaks, é a possibilidade de se prever a existência de ilhas, que funcionem como barreiras de transporte, no plano de fases que, por sua vez, são um importante mecanismo de aprisionamento de partículas. / One of the problems facing scientists in the confinement of plasma in tokamaks, to obtain controlled thermonuclear fusion, is the radial transport of particles at the plasma edge. In this dissertation, we study particle transport through a model that relates the electrostatic fluctuations at the edge of the plasma with drift waves. These waves create regions inside the plasma with convective flow, forming islands that are eventually separated by barriers. For one wave, the system is integrable and all the trajectories of phase space are invariant curves that are divided by separatrices. It was found that when a second wave with phase velocity different from the first is used, the system is no longer integrable and the region previously occupied by the separatrix becomes chaotic. With the destruction of the separatrix the transport of particles is chaotic. When a separatrix is broken, appears in its place a structure that preserves some features of the separatrix, but it is changing in phase space over time. This structure is known as Lagrangian Coherent Structure (LCS). In this dissertation we found that the LCSs, on the one hand, act as transport barriers, since no trajectory can cross it and, moreover, creates regions in phase space where particle transport is high, because trajectories close to them tend to be accelerated. One of the main contributions obtained by studying LCSs in the problem of two drift waves, applied to the confinement of plasma in tokamaks, is the ability to predict the existence of islands, which act as transport barriers, which are an important mechanism of trapping particles.

A transparência eletromagneticamente induzida (EIT) atraiu bastante atenção no campo da física atômica por suas possíveis aplicações em informação quântica. No entanto, processos transientes em condição de EIT não foram tão largamente estudados. Nesse trabalho, investigamos átomos frios de rubídio sob condição de EIT, num estado transiente. Utilizando espectroscopia de correlação de ruído, que é uma técnica mais sensível que uma espectroscopia de intensidade média, investigamos a resposta atômica assimétrica para uma varredura crescente ou decrescente na frequência do feixe de prova do sistema de Lambda-EIT. A observação dessa assimetria, que não podia ser explicada pelas previsões teóricas baseadas nas equações de Bloch para o átomo de 3-níveis, modelo até então utilizado, nos lançou numa busca pelas possíveis causas desse efeito enigmático. Logo, várias hipóteses foram formuladas, acarretando uma larga exploração experimental, incluindo o ângulo entre os feixes de EIT, dessintonia, potência e direção de incidência do rebombeio. Além disso, espectros no domínio do tempo foram estudados, para entender a evolução temporal do sistema para o estado estacionário. Paralelamente ao experimento, desenvolvemos novos modelos teóricos. Nossa mais recente abordagem teórica modela o sistema como um átomo de 5-níveis, nos quais 3 níveis são referentes ao sistema Lambda e os outros dois são os níveis acoplados pelo rebombeio. Ainda mais, consideramos também as forças óticas no sistema. Esse modelo obteve bom acordo com os dados experimentais, para espectroscopia de intensidade média. / The electromagnetic induced transparency (EIT) has attracted a lot of attention since its applications in quantum information were discovered. However, transient dynamics in this context were not as well explored. Here, we present a study of a cold rubidium ensemble under electromagnetic induced transparency (EIT), during a transient interaction. Using noise correlation spectroscopy, which is a more sensitive technique than a mean intensity spectroscopy, we investigated an asymmetric atomic response to an increasing or decreasing frequency scanning of the probe beams in the Lambda-EIT system. The observation of this asymmetry, which could not be explained by the theoretical predictions based on the Bloch equations for 3-level atom, the previously used model, launched us in a search for possible causes of this enigmatic effect. Straightforward, several hypotheses were formulated, resulting in a wide experimental exploration, including parameters as the angle between the EIT beams, detuning, power and direction of incidence of the repump beam. In addition, spectra in the time domain were studied in order to understand the evolution of the system to the steady-state. Parallel to the experiment, we developed new theoretical models. Our latest theoretical approach models the system as an atom of 5-levels in which 3 levels are related to the Lambda system and the other two levels are coupled by the repump. Moreover, we also consider the optical forces in the system. This model has obtained good agreement with the experimental data, for mean intensity spectroscopy.

Nesta tese foi estudado o transporte de partículas na borda do plasma confinado magneticamente em tokamaks a partir de um modelo para ondas de deriva proveniente de flutuaçõoes eletrostáticas geradas pela não uniformidade do plasma. Para investigar esse problema, consideramos o modelo com duas ondas de deriva, que possui uma complexa dinâmica não linear onde podemos encontrar tanto transporte anômalo quanto transporte difusivo. Para a encontras no plano de fases as Estruturas Lagrangianas Coerentes (ELCs) e os jatos, foram confeccionados mapas de Poincaré, diagramas de expoente de Lyapunov a tempo finito, diagramas de deslocamento quadrático, diagramas de autocorrelação da velocidade e o diagrama de retorno. Para avaliar o impacto dessas ELCs no transporte de partículas foram analisados a série temporal do desvio padrão médio, da dispersão relativa e dos saltos dentro do mapa de Poincar´e e também foram confeccionados histogramas com a distribuição desses saltos. Foi encontrado que, com duas ondas de deriva e para uma determinada combinação de parâmetros, surgem correntes de jato, que persistem por longos períodos, imersas na região caótica. Verificamos que, assim como nas ilhas, a região interna às correntes de jato são inacessíveis às ELCs. Também foi encontrado que, quando existe uma corrente de jato, o transporte observado na região caótica não é simétrico com uma pequena deriva na direção contraria ao jato. Esse fenômeno observado ocorre em contrapartida ao caso típico de sistemas com mistura em que as ELCs tem acesso a todo o plano de fase e o transporte é difusivo. / In this thesis we studied the particle transport in the edge of magnetically confined plasma in tokamaks using a model of drift waves due to electrostatic fluctuations generated by the non-uniformity of the plasma. To investigate this issue, we consider the model with two drift waves, which has a complex nonlinear dynamics where we can find both anomalous and diffusive transport. To find the Lagrangian Coherent Structures (LCSs) and the jets, we used Poincaré maps, Finite time Lyapunov exponent diagrams, quadratic displacement diagrams, autocorrelation velocity diagrams and return displacement diagram. To evaluate the impact of LCSs in the transport of particles, we analyzed the time series of both average standard deviation and relative dispertion and also histograms of the distribution of these jumps. It was found that, with two drift waves and for a given combination of parameters, a jet streams appear in the phase space and persist for long periods of time immersed in the chaotic region. We found that, as well as on the islands, the inner region of the jet streams are inaccessible to LCSs. It was also found that when there is a jet stream, the transport observed in the chaotic region is not symmetrical and have a small drift in the opposite direction to the jet. This phenomenon is observed in contrast to the typical case of systems with mixing in wich the LCSs have access to all the phase space and the trasnport is diffusive.

No presente trabalho, estudamos a possibilidade de se produzir um Condensado de Bose-Einstein em um estado excitado de um potencial confinante. Vimos que, com um campo externo oscilante, é possível transferir átomos do estado fundamental para um estado excitado qualquer. Se esse campo oscilar próximo da freqüência de transição entre os dois modos, é possível aproximar esse sistema para um de dois níveis. Analisando numericamente a evolução temporal das populações de cada nível, vimos que há oscilações de população do tipo Rabi. Estas oscilações variam de acordo com a forma espacial, a intensidade e com a dessintonia do campo aplicado. Vimos, também, que há a formação de franjas do tipo Ramsey, ao aplicarmos um campo oscilatório com dois pulsos separados. Além disso, definindo um parâmetro de ordem como sendo a diferença entre a média temporal da população de cada estado, é possível caracterizar um tipo de transição de fase no condensado. Estudamos como a forma do campo externo interfere na transição de fase, caracterizada pelo parâmetro de ordem. Obtemos também, um valor crítico do campo no qual ocorre essa transição. / In this work, we have studied the possibility of producing a Bose-Einstein Condensate in an excited state of a confining potential. We have seen that, with a oscillatory external field, it is possible to transfer atoms from the ground state to any excited state. If this field oscillates near the transition frequency between the two modes, it is possible to approximate that system to a two-level system. Analyzing numerically the temporal evolution of population of each level, we have seen there are Rabi-like oscillations of population. This oscillations vary according to the spacial shape, the intensity and the detuning of the applied field. We have also seen there is a Ramsey-like fringes formation, if we apply an oscillatory field with separate two pulses. Moreover, defining an order parameter as being a difference between the population time average of each level, it is possible to characterize a kind of phase transition in the condensate. We have studied how the shape of the external field interferes in the phase transition, characterized by the order parameter. We have also obtained a critical value for the field in which that transition occurs.

No presente trabalho, estudamos a possibilidade de se produzir um Condensado de Bose-Einstein em um estado excitado de um potencial confinante. Vimos que, com um campo externo oscilante, é possível transferir átomos do estado fundamental para um estado excitado qualquer. Se esse campo oscilar próximo da freqüência de transição entre os dois modos, é possível aproximar esse sistema para um de dois níveis. Analisando numericamente a evolução temporal das populações de cada nível, vimos que há oscilações de população do tipo Rabi. Estas oscilações variam de acordo com a forma espacial, a intensidade e com a dessintonia do campo aplicado. Vimos, também, que há a formação de franjas do tipo Ramsey, ao aplicarmos um campo oscilatório com dois pulsos separados. Além disso, definindo um parâmetro de ordem como sendo a diferença entre a média temporal da população de cada estado, é possível caracterizar um tipo de transição de fase no condensado. Estudamos como a forma do campo externo interfere na transição de fase, caracterizada pelo parâmetro de ordem. Obtemos também, um valor crítico do campo no qual ocorre essa transição. / In this work, we have studied the possibility of producing a Bose-Einstein Condensate in an excited state of a confining potential. We have seen that, with a oscillatory external field, it is possible to transfer atoms from the ground state to any excited state. If this field oscillates near the transition frequency between the two modes, it is possible to approximate that system to a two-level system. Analyzing numerically the temporal evolution of population of each level, we have seen there are Rabi-like oscillations of population. This oscillations vary according to the spacial shape, the intensity and the detuning of the applied field. We have also seen there is a Ramsey-like fringes formation, if we apply an oscillatory field with separate two pulses. Moreover, defining an order parameter as being a difference between the population time average of each level, it is possible to characterize a kind of phase transition in the condensate. We have studied how the shape of the external field interferes in the phase transition, characterized by the order parameter. We have also obtained a critical value for the field in which that transition occurs.

O trabalho constitui-se numa investigação teórica da estrutura ordenada e intuitiva dos espaços coerentes, introduzidos por Girard [GIR 86], na definição do modelo de máquina geométrica para construção e interpretação de estados e processos computacionais rotulados por posições de um espaço geométrico. Esta interpretação poderá ser aplicada às construções determinísticas, incluindo dois tipos especiais de paralelismo - o espacial, com memória e processos infinitos definidos por estruturas matriciais, que operam sobre dimensões independentes, de forma sincronizada; e o temporal, na versão genérica do modelo, com memória global transfinita e processos distribuídos num conjunto enumerável de máquinas geométricas, sincronizadas no tempo. O modelo contempla interpretação para computações não-determinísticas e prevê a aplicação de operadores exponenciais na interpretação do espaço funcional. A noção mais intuitiva deste trabalho está na definição da relação de coerência, que define o grafo sobre o qual se constrói este domínio semántico. Sobre o conjunto de pontos compatíveis de tais grafos, a coerência estrita interpreta a condição implícita para modelar o paralelismo - a concorrência entre posições de memória. Na construção dual, justificada pela presença da negação involutiva no grafo complementar, a incoerência interpreta a condição para o não-determinismo - o conflito de acesso à memória. Para os demais construtores, o produto sequencial e a soma determinística, consideram-se os endofunctores produto e soma direta da categoria CospLin dos espaços coerentes e funções lineares. A estrutura ordenada deste modelo é formalizada pelo espaço coerente D∞ de todos os processos, construído em níveis a partir do espaço coerente D∞ dos processos elementares, seguindo a metodologia proposta por Scott [SCO 76]. Neste sentido, cada nível da construção está identificado por um subespaço Dn que reconstrói todos os objetos do nível anterior, preservando suas propriedades e relações, além de construir os novos objetos. Compatível com a abordagem algébrica, o relacionamento entre os níveis é expresso por funções lineares denominadas imersões e projeções, interpretanto os construtores de processos e seus destrutores, respectivamente. Pelo procedimento de completação, assegura-se a existência do menor ponto fixo para equações recursivas definidas pela composição infinita destes morfismos. Além disso, as interpretações para processos infinitos, construídos por prefixação, apresentadas em D→∞ comprovam que este modelo é compatível com a diversidade dos construtores. O espa¸co coerente D∞2 dos processos transfinitos generaliza a construção e define a estrutura ordenada do modelo de máquina geométrica distribuída. Seus objetos são subconjuntos coerentes de tokens rotulados por posições do espaço geométrico e indexados por subconjuntos isomorfos aos ordinais transfinitos. O espaço coerente S S dos traços lineares de funções definidas sobre o espaço coerente S dos estados computacionais constitui-se no modelo semântico para análise do comportamento associado a cada processo interpretado em D∞. A definição da função de representação introduz um domínio de expressões que formaliza uma linguagem capaz de expressar, de forma mais operacional, as interpretações obtidas neste modelo de m´aquina. Cada uma das expressões válidas na linguagem é compatível com uma expressão gráfica. / This work presents a theoretical investigation of the constructive, intuitive and ordered structure of the coherence spaces, introduced by Girard, in order to define the geometric machine model for interpretation of computational states and processes labelled by positions of a geometric space. This interpretation can be applied to deterministic process constructions, including two special types of parallelism - the temporal parallelism, with infinite memory and infinite processes defined over array structures, that operate over independent dimensions in a synchronized way; and the spatial parallelism, in a generic version of the model, with a transfinite global memory shared by transfinite processes distributed in a enumerable set of geometric machines, synchronized in the time. The work also provides interpretation to the non-deterministic computations and applies the exponential operators in the interpretation of the functional space. The most basic notion of this work is the definition of the coherence relation as the admissibility of parallelism between basic operations (elementary processes). That relation defines the web over which the coherence space of the whole set of deterministic and non-deterministic processes is step-wise and systematically build. Over the set of the compatible points of such graph, the strict coherence interprets the implicity condition to model parallelism - the true concurrence. In the dual construction, justified by the presence of involutive negation in the complementary graph, the incoherence interprets the condition that models non-determinism - the conflict of memory accesses. The other constructors, the sequential product and the deterministic sum, are defined by the endofunctors in the CospLin category of the coherence spaces and linear functions. The ordered structure of this model is formalized by the coherence space D∞ of all processes, constructed by levels from the coherence space D0 of the elementary processes, following the Scott’s methodology [SCO 76]. In this sense, each level is identified by a subspace Dn, which reconstructs all the objects from the level before, preserving their properties and relations, and drives the construction of the new objects. Compatible with the algebraic-theoretic approach to computational processes, the relationship between the levels is expressed by linear functions called embedding and projection-functions, which interpret constructors and destructors of processes, respectively. The completion procedure guarantees the existence of the least fixed point to the recursive equations, defined by infinite composition of these morphisms. In addition, the interpretation for infinite processes constructed by prefix is presented in D→∞ , confirms that the ordered structure of these model is compatible with the diversity of constructors. The coherence space D∞2 of transfinite processes generalizes the construction and defines the ordered structure of the distributed geometric machine model. Its objects are coherent subsets of tokens labelled by the positions of a geometric space and indexed by isomorphic subsets related to the transfinite ordinal numbers. In order to analyze the behavior related to the interpretations in D∞, the coherence space S S of the linear traces of functions, defined over the coherence space S of the computational states, is introduced. The definition of the representation-function induces the construction of the domain Ω of valid expressions and formalizes a (graphic) language which is able to express, in an more operational way, the interpretations obtained in the geometric machine model.

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