Os fundamentos para os métodos algébricos unidimensionais baseados na álgebra de momentum angular su(2)(clássica e deformada) são apresentados numa forma adequada à descrição de vibrações moleculares de sistemas diatômicos e de sistemas poliatômicos planares com simetria C_{2v}. Aplicações detalhadas envolvendo os estados vibracionais e seus respectivos potenciais foram exaustivamente desenvolvidas para os dois primeiros estados eletrônicos (A-X Sigma) dos sistemas diatômicos LiH (e seus isotopômeros), NaH, KH, RbH, CsH, e Li2. Alguns outros estados eletrônicos mais excitados também foram analisados algebricamente. Os potenciais vibracionais semi-clássicos foram calculados via estados coerentes do grupo SU(2). Calculamos também fatores de Franck-Condon usando as autofun{ções de Morse diretamente, sem qualquer necessidade de linearizações. O presente trabalho é a análise algébrica mais detalhada até o momento sobre moléculas diatômicas, pois envolve um grande número de moléculas distintas e seus estados eletrônicos excitados, os quais ainda não haviam sido analisados algebricamente. Além disto, outras propriedades físicas, como os fatores de Franck-Condon e potenciais vibracionais foram discutidos aqui em detalhes pela primeira vez. O propósito deste trabalho foi de servir como um laboratório para futuras aplicações de modelos algébricos unidimensionais a sistemas moleculares maiores, onde suas potencialidades e, principalmente, suas limitações pudessem ser testadas de forma clara. Além disto, devemos destacar também o aumento expressivo na quantidade de trabalhos sobre moléculas diatômicas e triatômicas devido à importância destas em questões de interesse mundial, como o efeito estufa, e questões de relevância acadêmica, como a espectroscopia em tempo real e de moléculas frias.

O objetivo desta Tese foi a aplicação da teoria dos estados coerentes para sistemas quânticos não-triviais. A partir da definição de estados coerentes para grupos de Lie compactos em geral, nos dedicamos a uma investigação detalhada da construção de tais estados e de suas propriedades no caso do grupo simplético unitário Sp(4), que é extremamente importante tanto em mecânica quântica quanto em mecânica clássica. Esse grupo possui uma complexidade intermediária, que permite um tratamento analítico ainda que apresente propriedades não-triviais do ponto de vista de teoria de representação de álgebras de Lie. Os estados coerentes obtidos nos permitiram uma investigação do limite clássico para sistemas com simetria Sp(4) e uma conexão com a teoria do caos em mecânica quântica. Além disso, tratamos uma proposta recente de generalização do conceito de estados coerentes para sistemas de espectro discreto não-degenerado, os estados de Gazeau-Klauder. Esses estados foram aplicados a um problema de magnetização bidimensional e também ao potencial unidimensional de mínimos duplos, onde observamos o aparecimento dos estados chamados \"Gatos de Schrödinger\", que consistem na superposição de dois estados de mínima incerteza. / The subject of the Thesis was the aplication of the coherent states theory to non-trivial quantum systems. Starting from the general definition of coherent states for compact Lie groups, we made a detailed investigation of the construction of these states and its properties in the case of the unitary symplectic group Sp(4), which is extremely important in both quantum and classical mechanics. This group has an intermediate complexity, allowing an analytic treatment while presenting non-trivial properties from the point of view of represention theory of Lie algebras. The coherent states so obtained allowed us an investigation of the classical limit of systems with Sp(4) symmetry and a conection with the theory of chaos in quantum mechanics. Besides that, we have treated a recent generalization of the concept of coherent states for systems with discrete and nondegenerate spectrum, the Gazeau-Klauder states. These states were applied to a twodimensional magnetization problem and also to the onedimensional double-well potential, where we have observed the appearence of the so-called \"Schrödinger cats\", which consist in the superposition of two minimum-uncertainty states.

The main sources of airframe noise in commercial aircrafts are the landing gear and the highlift devices. Among the high-lift devices, the slat deserves special attention since it represents a distributed source along the wing span. During approach and landing the noise generated by the slat can be comparable to the engine generated noise. For the design of quieter high-lift systems, it is important to understand the physics responsible for the slat noise generation. The objective of the work described in this thesis is to correlate the dynamics of large scale turbulent structures at different airfoil configurations with the characteristics of the noise generated by these structures. Four different configurations were investigated, ranging two airfoil angles of attack and three slat positions relative to the main element. The unsteady flow data was provided by a Lattice-Boltzmann based computational code. The Proper Orthogonal Decomposition technique was used for the objective identification of large scale structures in the slat region. Two different metrics were considered for the eduction of the coherent structures: one based on the Turbulent Kinetic Energy of the structures; and one based on their correlation to the noise emitted by the slat. The results of the transient simulations showed good agreement with wind tunnel measurements, providing confidence on the relevance of the analysis. The noise spectra of three of the cases simulated were dominated by a series of narrowband peaks at low frequency, while the spectrum of the remaining case was broadband in nature. Analysis of the averaged flow showed a large variation of the size and shape of the recirculating zone inside the slat cove and on the reattachment position of the mixing layer, between the simulated cases. The results indicated that, as the reattachment point approximates the region of the gap between the slat and the main element, the noise emission power increases. The large scale structures most correlated to the noise were typically two-dimensional and their shape suggests they resulted from the growth of disturbances in the mixing layer due to the inflectional instability. The dynamics of the noise correlated structures at the frequencies of the peaks was consistent with the existence of an acoustic feedback mechanism acting inside the slat cove. Based on the observation of the educed structures a model to predict the frequencies of peaks was proposed, showing good agreement with the frequencies computed from the unsteady flow data. / As principais fontes de ruído não propulsivo em aeronaves comerciais são os trens-de-pouso e os dispositivos híper-sustentadores. Entre os dispositivos híper-sustentadores, o eslate se destaca por constituir uma fonte distribuída ao longo da envergadura da asa. Durante a fase de aproximação e aterrissagem, o eslate pode gerar ruído com níveis comparáveis ao gerado pelos motores. Para viabilizar projetos de aerofólios com eslates menos ruidosos, é importante compreender os fenômenos fluidodinâmicos responsáveis pela geração desse ruído. O trabalho descrito neste texto tem por objetivo verificar se existe correlação entre o comportamento de grandes estruturas turbulentas em diferentes configurações do aerofólio com as características do ruído aeroacústico gerado por elas. O escoamento em quatro configurações diferentes foi estudado, abrangendo dois ângulos de ataque e três posições do eslate em relação ao elemento principal. Os dados do escoamento para análise foram gerados através de simulações numéricas não estacionárias utilizando um código comercial baseado no Método Lattice-Boltzmann. O método da Decomposição Ortogonal Apropriada foi utilizado para a identificação das estruturas de grande escala baseada em critérios objetivos. Duas métricas distintas foram utilizadas, uma baseada na energia cinética turbulenta e outra baseada na correlação com as ondas acústicas geradas a partir do eslate. Os resultados das simulações transientes apresentaram boa concordância com resultados experimentais. O espectro de ruído de três casos simulados são dominados por picos de baixa frequência, enquanto o espectro do quarto caso é tipicamente de banda larga. A análise do escoamento indica uma tendência de aumento do ruído à medida que o recolamento se aproxima do bordo de fuga do eslate. As estruturas mais correlacionadas com o ruído são tipicamente bi-dimensionais e seu formato indica que são resultado do crescimento de perturbações na camada de mistura devido à instabilidade inflexional. A dinâmica das estruturas correlecionadas com o ruído na frequência dos picos é consistentes com a existência de uma retro-alimentação das perturbações da camada de mistura por ondas acústica na cova do eslate. Um modelo para previsão das frequências dos picos foi proposto a partir da observação das estruturas identificadas pela Decomposição Ortogonal Apropriada, mostrando boa concordância com as frequências observadas nos espectros calculados com base nos dados transientes das simulações.

Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, $\\sigma_q$, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que $\\sigma_q$, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência. / In this thesis we obtain quantum states that satisfy the Schrödinger equation for quadratic Hamiltonians in the general form and at the same time allow, naturally, to obtain the correspondence with the classical description. For this, we use the method of integrals of motion to construct creation and annihilation operators, which satisfy the algebra of Weyl-Heisenberg. Thus, we obtain the generalized number states (GNS) in the same way that is done for the Fock states. We obtain diferent families of coherent states (CS) that we call generalized CS (GCS), by a superposition of GNS. These states are labeled by a complex constant z which is written in terms of the initial expected values of the coordinate and momentum. We write the GCS in terms of the initial standard deviation of the coordinate, $\\sigma_q$, which provides the minimization of Heisenberg uncertainty relation at the initial instant time. In particular, we obtain for the first time the GCS for the free particle and discuss in detail their properties, such as the completeness relation, the minimization of uncertainty relations, and the evolution of the corresponding probability density. We show that the expected values of coordinated and momentum propagate along the classical trajectory in phas espace. When the Compton wavelength is much smaller than $\\sigma_q$, the CS can be considered a semiclassical state. In addition to the free particle, we obtain for the first time the GCS for the inverted oscillator and discuss in detail their properties. We show that the GCS of diferent systems can be related by imposing conditions on the parameters of the Hamiltonian. Finally, we consider the time-dependent Hamiltonian, especially to obtain the GCS for a harmonic oscillator whose frequency varies explicitly in time. We also show useful models to obtain exact solution for time-dependent systems, by analogy with the spin equation or one-dimensionaltime-independent Schrödinger equation, as well as a method which consists first to find the solution and then determine the shape of the frequency.

Orientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-09-02T17:51:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Grigolo_Adriano_D.pdf: 6040981 bytes, checksum: 874a21109be77dc3f306ac9ce74f90b5 (MD5) Previous issue date: 2017 / Resumo: Uma versão generalizada do método 'coupled coherent states' é desenvolvida para estados coerentes associados a grupos de Lie arbitrários. Em contraste com a abordagem original, restrita a funções de base gaussianas, o método estendido é adequado para propagação de estados quânticos de sistemas exibindo propriedades físicas destituídas de análogo clássico, tais como graus de liberdade de spin ou indistinguibilidade de partículas. A formulação para o caso de sistemas com um número fixo de partículas idênticas interagentes é examinada em detalhe, sendo este um caso relevante descrito em termos de estados coerentes do grupo especial unitário. A técnica é ilustrada com aplicações simples, envolvendo modelos de Hubbard bosônicos e fermiônicos. Diversos aspectos da implementação numérica são discutidos / Abstract: A generalized version of the coupled coherent states method for coherent states of arbitrary Lie groups is developed. In contrast to the original approach, which is restricted to frozen-Gaussian basis sets, the extended method is suitable for propagating quantum states of systems featuring non-classical physical properties, such as spin degrees of freedom or particle interchange symmetry. The formulation for the relevant case of number-conserving systems of interacting identical particles, most adequately described in terms of coherent states of the special unitary group, is studied in detail. The technique is illustrated with applications to simple Hubbard-like models for both bosons and fermions. Several aspects of the numerical implementation are discussed / Doutorado / Física / Doutor em Ciências / 2011/20065-4 / 141338/2011-3 / FAPESP / CNPQ

A eletrodinâmica clássica estocástica pode ser entendida como sendo a teoria clássica de Maxwell, onde se inclui um novo elemento da realidade física: As flutuações eletromagnéticas de ponto zero. Sob esse enfoque, estudamos a interação de um \"ensemble\", de osciladores harmônicos carregados com a radiação térmica e de ponto zero (atérmica). Incluímos os efeitos de dissipação através da força de reação da radiação. Além disso estudamos também a excitação do oscilador por uma força determinística com dependência temporal arbitrária. Nossa análise estatística do sistema físico é baseada na solução exata da equação de Fokker-Planck adequada ao problema. Obtém-se a evolução temporal, no espaço de fase, para uma dada distribuição inicial que caracteriza um \"ensemble\" de osciladores forçados que apresentam estados excitados na forma de estados coerentes e estados coerentes comprimidos e pulsantes. A comparação direta com a formulação quântica do mesmo problema nos faz reconhecer que é possível obter da física clássica alguns resultados antes só obtidos pela teoria quântica. Identificamos na radiação de ponto zero o ingrediente que torna possível entender a estabilidade do estado fundamental e o princípio de incerteza. / Classical stochastic electrodynamics may be understood as classical electrodynamics theory, when a new element of physical reality is included: The zero point electrodynamics fluctuations. Under this approach, we study the interaction of a charged harmonic oscillator with the thermal radiation and zero point radiation. We include the effect of dissipation by the radiation reaction force. We also study the excitation of this oscillator by a deterministic force with arbitrary temporal dependence. Our statistical analysis of the physical system is based on the exact solution of the appropriate Fokker-Planck equation. We get the temporal evolution in phase space for a given initial distribution that characterizes one \"ensemble\" of forced oscillators that presents excited states in the coherent and squeezed states form. A direct comparison with the quantum formulation of the same problem make us recognize that it is possible to get some results from classical physics which were accomplished previously only by quantum theory. We identify in the zero point radiation the ingredient that makes it possible to understand the stability of the fundamental state and the uncertainty principle.

Neste trabalho realizamos a implementação experimental de informação quântica (IQ) em um sistema de dois bits quânticos (q-bits) de spin 3/2 via ressonância quadrupolar nuclear (RQN). Foram implementadas portas lógicas quânticas que são necessárias para a criação e manipulação dos estados pseudo-puros (PPSs). Ademais, foi proposto um método de tomografia de estado quântico (TEQ) baseado na seleção de coerências de múltiplo quantum por ciclagem de fases. A TEQ foi empregada para avaliar os estados quânticos implementados experimentalmente. A amostra utilizada foi um monocristal de KClO3, o núcleo medido foi 35Cl, que possui spin 3/2. Neste sistema foi possível obter os quatro PPSs da base computacional. Sobre os PPSs foram aplicados portas lógicas quânticas CNOT e Hadamard, que produziram estados de sobreposição e estados emaranhados. Sobre os estados emaranhados foram analisados os conceitos de correlações clássicas e quânticas. A TEQ dos estados implementados experimentalmente mostrou altas fidelidades (maior de 90%). Também foi possível criar estados coerentes de spin aplicando rotações sobre os PPSs. Com base nos estados coerentes de spin foram gerados estados coerentes comprimidos mediante a aplicação de evoluções não lineares, presentes naturalmente em sistemas de RQN. Estes resultados promissores mostram que a RQN pode ser satisfatoriamente aplicada como uma ferramenta experimental em estudos de IQ. / In this work we describe the experimental implementation of quantum information processing (QIP) in a two spin qubits system by nuclear quadrupole resonance (NQR). We implemented quantum gates and their applications in the creation and manipulation of pseudo-pure state (PPS). Furthermore, we propose one method of Quantum State Tomography (QST) based on coherence pathways selected by RF phase cycling. QST is one of the tools used to evaluate QIP implementations, it allows to completely evaluate the quantum state of the spin system. We experimentally implemented NQR-QIP in a KClO3 single crystal and observing 35Cl, a spin 3/2 nucleus. It was possible to obtain all the four PPS associated with the computational basis and to apply the Controlled-not (CNOT) and Hadamard gates on them. The reading of the resulting states was performed by the proposed QST method, and resulted in experimental quantum state fidelities greater than 90%. It was also possible to create squeezed spin states. This states are generated by non linear interactions, which naturally arise in a NQR system. These are very promising results and they indicate that NQR can be successfully applied as an experimental tool for studying fundamental QIP theory.

The main sources of airframe noise in commercial aircrafts are the landing gear and the highlift devices. Among the high-lift devices, the slat deserves special attention since it represents a distributed source along the wing span. During approach and landing the noise generated by the slat can be comparable to the engine generated noise. For the design of quieter high-lift systems, it is important to understand the physics responsible for the slat noise generation. The objective of the work described in this thesis is to correlate the dynamics of large scale turbulent structures at different airfoil configurations with the characteristics of the noise generated by these structures. Four different configurations were investigated, ranging two airfoil angles of attack and three slat positions relative to the main element. The unsteady flow data was provided by a Lattice-Boltzmann based computational code. The Proper Orthogonal Decomposition technique was used for the objective identification of large scale structures in the slat region. Two different metrics were considered for the eduction of the coherent structures: one based on the Turbulent Kinetic Energy of the structures; and one based on their correlation to the noise emitted by the slat. The results of the transient simulations showed good agreement with wind tunnel measurements, providing confidence on the relevance of the analysis. The noise spectra of three of the cases simulated were dominated by a series of narrowband peaks at low frequency, while the spectrum of the remaining case was broadband in nature. Analysis of the averaged flow showed a large variation of the size and shape of the recirculating zone inside the slat cove and on the reattachment position of the mixing layer, between the simulated cases. The results indicated that, as the reattachment point approximates the region of the gap between the slat and the main element, the noise emission power increases. The large scale structures most correlated to the noise were typically two-dimensional and their shape suggests they resulted from the growth of disturbances in the mixing layer due to the inflectional instability. The dynamics of the noise correlated structures at the frequencies of the peaks was consistent with the existence of an acoustic feedback mechanism acting inside the slat cove. Based on the observation of the educed structures a model to predict the frequencies of peaks was proposed, showing good agreement with the frequencies computed from the unsteady flow data. / As principais fontes de ruído não propulsivo em aeronaves comerciais são os trens-de-pouso e os dispositivos híper-sustentadores. Entre os dispositivos híper-sustentadores, o eslate se destaca por constituir uma fonte distribuída ao longo da envergadura da asa. Durante a fase de aproximação e aterrissagem, o eslate pode gerar ruído com níveis comparáveis ao gerado pelos motores. Para viabilizar projetos de aerofólios com eslates menos ruidosos, é importante compreender os fenômenos fluidodinâmicos responsáveis pela geração desse ruído. O trabalho descrito neste texto tem por objetivo verificar se existe correlação entre o comportamento de grandes estruturas turbulentas em diferentes configurações do aerofólio com as características do ruído aeroacústico gerado por elas. O escoamento em quatro configurações diferentes foi estudado, abrangendo dois ângulos de ataque e três posições do eslate em relação ao elemento principal. Os dados do escoamento para análise foram gerados através de simulações numéricas não estacionárias utilizando um código comercial baseado no Método Lattice-Boltzmann. O método da Decomposição Ortogonal Apropriada foi utilizado para a identificação das estruturas de grande escala baseada em critérios objetivos. Duas métricas distintas foram utilizadas, uma baseada na energia cinética turbulenta e outra baseada na correlação com as ondas acústicas geradas a partir do eslate. Os resultados das simulações transientes apresentaram boa concordância com resultados experimentais. O espectro de ruído de três casos simulados são dominados por picos de baixa frequência, enquanto o espectro do quarto caso é tipicamente de banda larga. A análise do escoamento indica uma tendência de aumento do ruído à medida que o recolamento se aproxima do bordo de fuga do eslate. As estruturas mais correlacionadas com o ruído são tipicamente bi-dimensionais e seu formato indica que são resultado do crescimento de perturbações na camada de mistura devido à instabilidade inflexional. A dinâmica das estruturas correlecionadas com o ruído na frequência dos picos é consistentes com a existência de uma retro-alimentação das perturbações da camada de mistura por ondas acústica na cova do eslate. Um modelo para previsão das frequências dos picos foi proposto a partir da observação das estruturas identificadas pela Decomposição Ortogonal Apropriada, mostrando boa concordância com as frequências observadas nos espectros calculados com base nos dados transientes das simulações.

[pt] A expansão e a interligação de Sistemas de Energia Elétrica (SEE) tem enfatizado o uso de equivalentes dinâmicos pelas companhias de serviço de eletricidade, nos estudos de planejamento e operação, para representação das porções do sistema não pertinentes à sua área de atuação. Com a redução das dimensões do modelo do sistema obtém-se um aumento de velocidade dos estudos com minimização dos custos e do esforço computacional. Além desses aspectos o uso de equivalentes contorna o problema de capacidade limitada de memória dos sistemas de computação e se enquadra na atual estrutura física e conceitual dos minicomputadores. Em estudos de estabilidade de SEE, o objetivo básico de equivalentes dinâmicos é o de simular as reações do sistema externo quando ocorrem distúrbios no sistema interno. O grande calor deste tipo de simplificação reside em sua capacidade de reconhecer a tendência dinâmica do sistema. Esta pesquisa apresenta um método para cálculo de equivalentes dinâmicos para estudos de estabilidade transitória baseado na agregação de geradores que oscilam conjuntamente após uma dada perturbação. O modelo reduzido obtido por transformações topológicas, e constituído de parâmetros similares aos habitualmente empregados na modelagem de sistemas de energia elétrica sendo numericamente estável. Ao final, alguns resultados são apresentados no intuito de atestar a validade do método proposto. / [en] The spread and the interconection of Electrical Power Systems have been stressed the employment of dynamic equivalents by Electrical Power Companies for representing system áreas that they are not responsible for at planning and operation studies. Due to system model dimension reduction, studies have become faster with reduced costs and computational task requiriments. Besides, dynamic equivalents overcome computational system limited memory capability problems ant fit easily into the up-to-date phisical and coceptual structure of the minicomputers. As an aid to Electrical Power System Stability studies, the objective of the dynamic equivalents is to simulate external system. The great merit of this lind of overcoming is its ability on revealing the system dynamic trend. This research shows a method of computing dynamic equivalents for transitory stability studies based con the agregation of the generators that oscilate together from an initial perturbation on. The reduced model, got from topological transformations, is built of parameters that are similar to usually employed on Electrical Energy System modeling been numerically stable. At the end, some results are shown as an attempt to test the performance of the method.

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:13:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 283471 bytes, checksum: 3c03d229984755f09c77c7e98c3f465e (MD5) Previous issue date: 2011-06-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we present a quantum description of a mesoscopic RLC circuit without source. For this purpose, we model this system for that of a damped harmonic oscillator which is described by the Caldirola-Kanai Hamiltonian. Then, with the aid of the quantum invariant method we solve the Schrödinger equation associated with this Hamiltonian and write the corresponding wave functions in terms of a particular solution of the Milne-Pinney equation. We also construct coherent states for the RLC quantized, and evaluate the quantum fluctuations of the charge and the magnetic flux, as well as the corresponding product of uncertainty. / Nesta dissertação, apresentamos uma descrição quântica de um circuito RLC mesoscópico sem fonte. Com esta finalidade, modelamos este sistema para aquele de um oscilador harmônico amortecido, que é descrito pelo Hamiltoniano de Caldirola-Kanai. Então, com a ajuda do método de invariantes quânticos, resolvemos a equação de Schrödinger para este Hamiltoniano e escrevemos as funções de onda correspondentes em termos da solução particular da equação de Milne-Pinney. Também construímos estados coerentes para o circuito RLC quantizado, e calculamos as flutuações quânticas da carga e do fluxo magnético, bem como o produto de incerteza correspondente.