Cette thèse est une contribution à un problème classique de la géométrie algorithmique et combinatoire : l’étude des k-sets d’un ensemble V de n points du plan. Nous introduisons d’abord la notion de chaîne d’inclusion de convexes qui est un ordonnancement des points de V tel qu’aucun point n’appartient à l’enveloppe convexe de ceux qui le précèdent. Tout k-set d’une sous-suite commençante de la chaîne est appelé un k-set de la chaîne. Nous montrons que le nombre de ces k-sets est un invariant de V et qu’il est égal au nombre de régions du diagramme de Voronoï d’ordre k de V. Nous en déduisons un algorithme en ligne pour construire les k-sets des sommets d’une ligne polygonale simple dont chaque sommet est à l’extérieur de l’enveloppe convexe des sommets qui le précèdent sur la ligne. Si c est le nombre total de k-sets construits, la complexité de notrealgorithme est en O(n log n+c log^2 k) et est équivalente, par k-set construit, à celle du meilleur algorithme connu. Nous montrons ensuite que la méthode algorithmique classique de division-fusion peut être adaptée à la construction des k-sets de V. L’algorithme qui en résulte a une complexité enO(n log n+c log^2 k log(n/k)), où c est le nombre maximum de k-sets d’un ensemble de n points.Nous prouvons enfin que les centres de gravité des k-sets d’une chaîne d’inclusion de convexes sont les sommets d’une triangulation qui appartient à la même famille de triangulations, dites centroïdes, que le dual du diagramme de Voronoï d’ordre k. Nous en d´déduisons un algorithme qui construit des triangulations centroïdes particulières en temps O(n log n+k(n-k) log^2 k), ce qui est plus efficace que les algorithmes connus jusque là. / This thesis is a contribution to a classical problem in computational and combinatorial geometry: the study of the k-sets of a set V of n points in the plane. First we introduce the notion of convex inclusion chain that is an ordering of the points of V such that no point is inside the convex hull of the points that precede it. Every k-set of an initial sub-sequence of the chain is called a k-set of the chain. We prove that the number of these k-sets is an invariant of V and is equal to the number of regions in the order-k Voronoi diagram of V. We then deduce an online algorithm for the construction of the k-sets of the vertices of a simple polygonal line such that every vertex of this line is outside the convex hull of all its preceding vertices on the line. If c is the total number of k-sets built with this algorithm, the complexity of our algorithm is in O(n log n + c log^2k) and is equal, per constructed k-set, to the complexity of the best algorithm known. Afterward, we prove that the classical divide and conquer algorithmic method can be adapted to the construction of the k-sets of V. The algorithm has a complexity of O(n log n + c log^2k log(n/k)), where c is the maximum number of k-sets of a set of n points. We finally prove that the centers of gravity of the k-sets of a convex inclusion chain are the vertices of a triangulation belonging to the family of so-called centroid triangulations. This family notably contains the dual of the order-k Voronoi diagram. We give an algorithm that builds particular centroid triangulations in O(n log n + k(n- k) log^2 k) time, which is more efficient than all the currently known algorithms.

La génomique structurale a donnée accès à un nombre remarquable d'informations sur le protéome. De nature essentiellement combinatoire---il apparaît que certaines protéines interagissent en complexe, elles gagnent à être complémentées par des modèles tridimensionnels pour étendre la connaissance jusqu'au niveau structural. Récemment, de tels modèles ont été reconstruits pour le pore nucléaire, en intégrant diverses données biophysiques et biochimiques. Cependant, la nature qualitative de ces modèles empêche une complète synergie entre ceux-ci et les données expérimentales. Cette thèse propose trois développements répondant à ces limitations. Premièrement, nous introduisons les modèles tolérancés pour représenter des formes aux contours incertains par un continuum de modèles. Nous montrons qu'un modèle tolérancé est équivalent à un diagramme de Voronoi additif multiplicatif, et nous développons le lambda-complexe, l'équivalent de l'alpha-complexe, pour un tel diagramme. Deuxièmement, nous utilisons les modèles tolérancés pour représenter des assemblages protéiques. Nous expliquons comment un modèle tolérancé peut être utilisé pour évaluer la stabilité des contacts entre les protéines et pour valider la cohérence d'un tel modèle vis à vis de données expérimentales. Troisièmement, nous proposons des outils pour comparer des graphes de contact entre protéines, issus d' une part d'un modèle tolérancé, et d'autre part d'un modèle connu à résolution atomique. L'ensemble de ces concepts et outils est utilisé pour sonder les reconstructions du pore nucléaire mentionnées ci-dessus.

Le calcul géométrique en modélisation et en CAO nécessite la résolution approchée, et néanmoins certifiée, de systèmes polynomiaux. Nous introduisons de nouveaux algorithmes de sous-division afin de résoudre ce problème fondamental, calculant des développements en fractions continues des coordonnées des solutions. Au delà des exemples concrets, nous fournissons des estimations de la complexité en bits et des bornes dans le modèle de RAM réelle. La difficulté principale de toute méthode de résolution consiste en les points singuliers isolés. Nous utilisons les systèmes locaux inverses et des calculs numériques certifiés afin d'obtenir un critère de certification pour traiter les solutions singulières. Ce faisant, nous sommes en mesure de vérifier l'existence et l'unicité des singularités d'une structure de multiplicité donnée. Nous traitons deux principales applications géométriques. La première: l'approximation des ensembles semi-algébriques plans, apparaît fréquemment dans la résolution de contraintes géométriques. Nous présentons un algorithme efficace pour identifier les composants connexes et pour calculer des approximations polygonales et isotopiques à l'ensemble exact. Dans un deuxième temps, nous présentons un cadre algébrique afin de calculer des diagrammes de Voronoi. Celui-ci sera applicable à tout type de diagramme dans lequel la distance à partir d'un site peut être exprimé par une fonction polynomiale à deux variables (anisotrope, diagramme de puissance etc). Si cela n'est pas possible (par exemple diagramme de Apollonius, VD des ellipses etc), nous étendons la théorie aux distances implicitement données.

Un graphe est un objet mathématique modélisant des relations sur un ensemble d' éléments. Il est utilisé dans de nombreux domaines a des fi ns de modélisation. La taille et la complexité des graphes manipulés de nos jours entraînent des besoins de visualisation a fin de mieux les analyser. Dans cette thèse, nous présentons différents travaux en visualisation interactive de graphes qui s'attachent a exploiter les architectures de calcul parallèle (CPU et GPU) disponibles sur les stations de travail contemporaines. Un premier ensemble de travaux s'intéresse a des problématiques de dessin de graphes. Dessiner un graphe consiste a le plonger visuellement dans un plan ou un espace. La première contribution dans cette thématique est un algorithme de regroupement d'arêtes en faisceaux appelé Winding Roads. Cet algorithme intuitif, facilement implémentable et parallélisable permet de reduire considérablement les problèmes d'occlusion dans un dessin de graphe dus aux nombreux croisements d'arêtes. La seconde contribution est une méthode permettant de dessiner un réseau métabolique complet. Ce type de reseau modélise l'ensemble des réactions biochimiques se produisant dans les cellules d'un organisme vivant. L'avantage de la méthode est de prendre en compte la décomposition du réseau en sous-ensembles fonctionnels ainsi que de respecter les conventions de dessin biologique. Un second ensemble de travaux porte sur des techniques d'infographie pour la visualisation interactive de graphes. La première contribution dans cette thématique est une technique de rendu de courbes paramétriques exploitant pleinement le processeur graphique. La seconde contribution est une méthode de rendu nommée Edge splatting permettant de visualiser la densité des faisceaux d'arêtes dans un dessin de graphe avec regroupement d'arêtes. La dernière contribution porte sur des techniques permettant de mettre en évidence des sous-graphes d'interêt dans le contexte global d'une visualisation de graphes.

Dans cette thèse, nous proposons un cadre Riemannien pour comparer, déformer, calculer des statistiques et organiser de manière hiérarchique des surfaces faciales. Nous appliquons ce cadre à la biométrie faciale 3D où les défis sont les expressions faciales, les variations de la pose et les occultations du visage par des objets externes. Les surfaces faciales sont repr'esentées par un ensemble de courbes de niveaux et de courbes radiales. L'ensemble des courbes fermées (de niveau) constitue une sous-variété non-linéaire de dimension infinie et est utilisé pour représenter le nez, la partie la plus stable du visage. La surface faciale est présentée, par ailleurs, par une collection indexée de courbes radiales. Dans ce cas, le calcul se simplifie et l'espace des formes des courbes ouvertes se ramène à une hyper sphère de l'espace de Hilbert. La comparaison dans l'espace des formes se fait via une métrique élastique afin de faire face aux d'eformations non-isométriques (ne conservant pas les longueurs) des surfaces faciales. Nous proposons des algorithmes pour calculer les moyennes, les vecteurs propres dans ces variétés non-linéaires et l'estimation des parties manquantes des surfaces faciales 3D. L'approche présentée dans cette thèse a été validée sur des Benchmarks connus (FRGCv2, GAVAB, BOSPHORUS) et obtenu des résultats compétitifs par rapport aux méthodes de l'état de l'art.

This thesis focuses on range searching data structures, an elementary problem in computational geometry with research spanning decades. These problems often involve very large data sets. Processor speeds increase faster than memory speeds, thus the gap between the rate at which CPUs can process data and the rate at which it can be retrieved is increasing. To bridge this gap, various levels of cache are used. Since cache misses are costly, algorithms should be cache-friendly. The input-output (I/O) model was the first model for constructing cache-efficient algorithms, focusing on a two-level memory hierarchy. Algorithms for this model require manual tuning to determine optimal values for hardware dependent parameters, and are only optimal at a single level of a memory hierarchy. Cache-oblivious (CO) algorithms are built without knowledge of the hierarchy, allowing them to be optimal across all levels at once. There exist strong theoretical and practical results for I/O-efficient range searching. Recently, the CO model has received attention, but range searching remains poorly understood. This thesis explores data structures for CO range counting and reporting. It presents the first space and worst-case query-time optimal approximate range counting structure for a family of related problems, and associated O(N log N)-space query-optimal reporting structures. The approximate counting structure is the first of its kind in internal memory, I/O and CO models. Researchers have been trying to create linear-space query-optimal CO reporting structures. This thesis shows that for a variety of problems, linear space is in fact impossible. Heuristics are also used for building cache-friendly algorithms. Space-filling curves are continuous functions mapping multi-dimensional sets into one-dimensional ones. They are used to build search structures in the hopes that objects that were close in the original space remain close in the resulting ordering. This results in queries incurring fewer page swaps when traversing the structure. The Hilbert curve is notably good at this, but often imposes a space or time penalty. This thesis introduces compact Hilbert indices, which remove the ineffiency inherent for input point sets with bounding boxes smaller than their bounding hypercubes.

Selon la méthode utilisée pour construire un modèle structural en trois dimensions et selon l'application à laquelle il est destiné, son maillage, en d'autres termes sa représentation informatique, doit être adapté afin de respecter des critères de type, de nombre et de qualité de ses éléments. Les méthodes de maillage développées dans d'autres domaines que la géomodélisation ne permettent pas de modifier le modèle d'entrée. Ceci est souhaitable en géomodélisation afin de mieux contrôler le nombre d'éléments du maillage et leur qualité. L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes de maillage permettant de remplir ces objectifs afin de gérer la complexité géométrique des modèles structuraux définis par frontières. Premièrement, une analyse des sources de complexité géométrique dans ces modèles est proposée. Les mesures développées constituent une première étape dans la définition d'outils permettant la comparaison objective de différents modèles et aident à caractériser précisément les zones plus compliquées à mailler dans un modèle. Ensuite, des méthodes originales de remaillage surfacique et de maillage volumique fondées sur l'utilisation des diagrammes de Voronoï sont proposées. Les fondements de ces deux méthodes sont identiques : (1) une optimisation de type Voronoï barycentrique est utilisée pour globalement obtenir un nombre contrôlé d'éléments de bonne qualité et (2) des considérations combinatoires permettant de construire localement le maillage final, éventuellement en modifiant le modèle initial. La méthode de remaillage surfacique est automatique et permet de simplifier un modèle à une résolution donnée. L'originalité de la méthode de maillage volumique est que les éléments générés sont de types différents. Des prismes et pyramides sont utilisés pour remplir les zones très fines du modèle, tandis que le reste du modèle est rempli avec des tétraèdres.

We focus on the two overlapping areas of preference queries and dataset summarization. A (linear) preference query specifies the relative importance of the attributes in a dataset and asks for the tuples that best match those preferences. Dataset summarization is the task of representing an entire dataset by a small, representative subset. Within these areas, we focus on three important sub-problems, significantly advancing the state-of-the-art in each. We begin with an investigation into a new formulation of preference queries, identifying a neglected and important subclass that we call threshold projection queries. While literature typically constrains the attribute preferences (which are real-valued weights) such that their sum is one, we show that this introduces bias when querying by threshold rather than cardinality. Using projection, rather than inner product as in that literature, removes the bias. We then give algorithms for building and querying indices for this class of query, based, in the general case, on geometric duality and halfspace range searching, and, in an important special case, on stereographic projection. In the second part of the dissertation, we investigate the monochromatic reverse top-k (mRTOP) query in two dimensions. A mRTOP query asks for, given a tuple and a dataset, the linear preference queries on the dataset that will include the given tuple. Towards this goal, we consider the novel scenario of building an index to support mRTOP queries, using geometric duality and plane sweep. We show theoretically and empirically that the index is quick to build, small on disk, and very efficient at answering mRTOP queries. As a corollary to these efforts, we defined the top-k rank contour, which encodes the k-ranked tuple for every possible linear preference query. This is tremendously useful in answering mRTOP queries, but also, we posit, of significant independent interest for its relation to myriad related linear preference query problems. Intuitively, the top-k rank contour is the minimum possible representation of knowledge needed to identify the k-ranked tuple for any query, without apriori knowledge of that query. We also introduce k-regret minimizing sets, a very succinct approximation of a numeric dataset. The purpose of the approximation is to represent the entire dataset by just a small subset that nonetheless will contain a tuple within or near to the top-k for any linear preference query. We show that the problem of finding k-regret minimizing sets—and, indeed, the problem in literature that it generalizes—is NP-Hard. Still, for the special case of two dimensions, we provide a fast, exact algorithm based on the top-k rank contour. For arbitrary dimension, we introduce a novel greedy algorithm based on linear programming and randomization that does excellently in our empirical investigation. / Graduate / 0984

Η παρούσα διατριβή κινείται στο χώρο των Ασύρματα Δικτυωμένων Συστημάτων και έχει ως αντικείμενο τη μελέτη και τη σύνθεση μηχανισμών που βελτιώνουν τη λειτουργία τους. Ο όρος Ασύρματα Δικτυωμένα Συστήματα αναφέρεται στα συστήματα των οποίων τα δομικά στοιχεία συνδέονται μέσω ασύρματων δικτύων, με την έμφαση να δίνεται στα αυτό-οργανωμένα δίκτυα και στα δίκτυα αισθητήρων. Η βελτιστοποίηση και ο έλεγχος ενός Ασύρματα Δικτυωμένου Συστήματος γίνεται με γνώμονα την Ποιότητα των παρεχόμενων Υπηρεσιών του δικτύου, η οποία χρησιμοποιείται ως μέτρο αξιολόγησης και επαναπροσδιορισμού των παραμέτρων λειτουργίας αυτού. Προσεγγίζοντας το θέμα από την οπτική γωνία του δικτύου, οι μηχανισμοί που είναι υπεύθυνοι για τη βελτιστοποίηση της λειτουργίας των Ασύρματα Δικτυωμένων Συστημάτων, αποστασιοποιούνται από την ανάπτυξη νέων πρωτοκόλλων για τα διάφορα επίπεδα του μοντέλου αναφοράς Ανοιχτής Διασύνδεσης Συστημάτων. Για τον λόγο αυτό, αναφορικά με το μοντέλο αναφοράς Ανοιχτής Διασύνδεσης Συστημάτων, το ζήτημα της βελτιστοποίησης της λειτουργίας των Ασύρματα Δικτυωμένων Συστημάτων προσεγγίζεται από τα ακραία επίπεδα της στοίβας πρωτοκόλλων, και συγκεκριμένα από την οπτική γωνία του Επιπέδου Εφαρμογής και του Φυσικού Επιπέδου. Στο Επίπεδο Εφαρμογής το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην διασφάλιση των περιθωρίων ευστάθειας για τα Ασύρματα Δικτυωμένα Συστήματα Ελέγχου. Η διασφάλιση της ομαλής λειτουργίας του συστήματος κλειστού βρόχου βασίζεται σε διακοπτικές δομές ελέγχου, των οποίων οι παράμετροι λειτουργίας καθορίζονται από την Ποιότητα Υπηρεσίας του δικτύου, και συγκεκριμένα από το ποσοστό των επιτυχώς ληφθέντων πακέτων. Στο Φυσικό Επίπεδο εξετάζεται αρχικά το πρόβλημα αποκατάστασης της συνδεσιμότητας μεταξύ των μελών ενός Ασύρματα Δικτυωμένου Συστήματος και στην συνέχεια το πρόβλημα επαναπροσδιορισμού της ποιότητας των ασύρματων ζεύξεων. Οι κεντρικοποιημένοι και κατανεμημένοι μηχανισμοί που αναπτύσσονται για τη βελτιστοποίηση των παραμέτρων της Ποιότητας Υπηρεσίας των Ασύρματα Δικτυωμένων Συστημάτων στο Φυσικό Επίπεδο βασίζονται σε εργαλεία της Υπολογιστικής Γεωμετρίας, συνδυάζοντας τα χωρικά χαρακτηριστικά ενός Ασύρματα Δικτυωμένου Συστήματος με δημοφιλή μοντέλα διάδοσης μεγάλης κλίμακας. Τέλος, η αξιολόγηση των μεθόδων ελέγχου και βελτιστοποίησης της λειτουργίας των Ασύρματα Δικτυωμένων Συστημάτων πραγματοποιείται με την εφαρμογή τους σε κατάλληλες πειραματικές διατάξεις και σε ένα καθορισμένο σύνολο σεναρίων εξομοίωσης. / The primary objective of the present PhD thesis is the analysis and the synthesis of mechanisms and algorithms that optimize the operation of Wireless Networked Systems. The term Wireless Networked Systems is used to describe the distributed systems, whose components are interconnected over wireless networks. Referring to wireless networking, the emphasis is given at the self-organized Ad-hoc and Sensor Networks. The effort made is focused on the reconfiguration of the Quality of Service of the underlying network. From such a perspective, the mechanisms responsible for improving the Quality of Service differentiate from the design of novel, specialized communication protocols. More specifically, with respect to the Open Systems Interconnection Reference Model (OSI-RM), the optimization issues of the Wireless Networked Systems’ operation are examined at the Application and Physical Layer. At the Application Layer, problems related to the guarantee of the stability margins for Wireless Networked Controlled Systems are studied. More precisely, the assurance of the desired performance for the closed-loop controlled system is based on switching control techniques. The optimization decision variables are determined by the network’s Quality of Service parameters. At the Physical Layer the objective is twofold: (a) to establish the physical connectivity among the members of the Wireless Networked System and (b) to optimize of the wireless link’s quality. Based on the combination of the spatial characteristics of the Wireless Networked Systems with large-scale radio propagation models, the centralized and distributed mechanisms, synthesized for the optimization of the network’s Quality of Service at the Physical Layer, exploit effectively concepts adopted by the Computational Geometry. Finally, properly developed experimental testbeds and network simulation scenaria are utilized to examine the efficiency of the synthesized mechanisms for the control and optimization of the operation of Wireless Networked Systems at the Application and Physical Layer.

Représenter un objet géométrique complexe par un ensemble de primitives simples est une tâche souvent fondamentale, que ce soit pour la reconstruction et la réparation de données, ou encore pour faciliter la visualisation ou la manipulation des données. Le choix de la ou les primitives, ainsi que celui de la méthode d'approximation, impactent fortement les propriétés de la représentation de forme qui sera obtenue.Dans cette thèse, nous utilisons les boules comme seule primitive. Nous prenons ainsi un grand soin à décrire les unions finies de boules et leur structure. Pour cela, nous nous reposons sur les faisceaux de boules. En particulier, nous aboutissons à une description valide en toute dimension, sans hypothèse de position générale. En chemin, nous obtenons également plusieurs résultats portant sur les tests d'inclusion locale et globale dans une union de boules.Nous proposons également une nouvelle méthode d'approximation par union finie de boules, l'approximation par boules à (delta,epsilon)-près. Cette approche contraint l'union de boules à couvrir un sous-ensemble de la forme d'origine (précisément, un epsilon-érodé), tout en étant contenu dans un sur-ensemble de la forme (un delta-dilaté). En nous appuyant sur nos précédents résultats portant sur les unions de boules, nous démontrons plusieurs propriétés de ces approximations. Nous verrons ainsi que calculer une approximation par boules à (delta,epsilon)-près qui soit de cardinal minimum est un problème NP-complet. Pour des formes simples dans le plan, nous présentons un algorithme polynomial en temps et en espace qui permet de calculer ces approximations de cardinal minimum. Nous concluons par une généralisation de notre méthode d'approximation pour une plus large variété de sous-ensembles et sur-ensembles. / Describing a complex geometric shape with a set of simple primitives is often a fundamental task for shape reconstruction, visualization, analysis and manipulation. The type of primitives, as well as the choice of approximation scheme, both greatly impact the properties of the resulting shape representation.In this PhD, we focus on balls as primitives. Using pencils of balls, we carefully describe finite unions of balls and their structure. In particular, our description holds in all dimension without assuming general position. On our way, we also establish various results and tools to test local and global inclusions within these unions.We also propose a new approximation scheme by union of balls, the (delta,epsilon)-ball approximation. This scheme constrains the approximation to cover a core subset of the original shape (specifically, an epsilon-erosion), while being contained within a superset of the shape (a delta-dilation). Using our earlier results regarding finite unions of balls, we prove several properties of these approximations. We show that computing a cardinal minimum (delta,epsilon)-ball approximation is an NP-complete problem. For simple planar shapes however, we present a polynomial time and space algorithm that outputs a cardinal minimum approximation. We then conclude by generalizing the approximation scheme to a wider range of core subsets and bounding supersets.