Nous nous intéressons à la modélisation de la propagation d'ondes dans le sous sol. Nous présentons deux modèles de propagation : (i) une généralisation du modèle de Zener pour les milieux viscoélastiques, (ii) le modèle de Biot pour les milieux poroélastiques. Nous menons une analyse mathématique complète de ces modèles : résultat d'existence, d'unicité et de décroissance de l'énergie. Pour la résolution numérique nous construisons une méthode spécifique à chaque modèle, basée sur des approches variationnelles, une approximation par éléments finis mixtes en espace et différences finies en temps. Nous montrons pour chaque schéma, un résultat de décroissance d'énergie discrète qui conduit à une condition suffisante de stabilité. Pour simuler la propagation d'ondes dans les milieux ouverts, nous adaptons la technique de couches absorbantes parfaitement adaptées aux ondes viscoélastiques et poroélastiques. Enfin, nous présentons des validations numériques des méthodes développées.

Le propos de cette étude est la modélisation numérique de la guitare acoustique dans le domaine temporel. La méthode consiste en l'élaboration d'un modèle qui s'attache à décrire les phénomènes vibratoires et acoustiques mis en jeu depuis le pincer de corde jusqu'au rayonnement 3D du son. La corde est modélisée par une équation des ondes amortie 1D. Elle est couplée à la table d'harmonie via le chevalet. Le mouvement de la table est régi par le modèle de plaque mince amortie de Kirchhoff--Love pour un matériau orthotrope et hétérogène, percée d'un trou et encastrée sur son bord externe. Le reste du corps de la guitare (fond, bords, manche...) est supposé rigide. La table rayonne à l'intérieur et à l'extérieur de la cavité. La modélisation complète du champ acoustique rayonné est une approche originale comparativement aux études antérieures portant sur la guitare. On obtient un système d'équations aux dérivées partielles que l'on résout numériquement dans le domaine temporel. On utilise une méthode spectrale spécifique pour la résolution de l'équation de plaque dynamique de Kirchhoff-Love. Pour l'équation de corde et l'équation des ondes acoustiques, on utilise une méthode mixte standard pour l'approximation spatiale et des différences finies centrées en temps. Le problème d'interaction fluide-structure est résolu par une méthode de domaines fictifs qui permet d'approcher finement la géométrie de la guitare tout en utilisant un maillage cubique régulier pour le calcul du champ sonore 3D. L'originalité du schéma de résolution du modèle est un couplage stable entre une méthode de résolution exacte en temps et une méthode discrète. Un nombre important de simulations numériques est réalisées, montrant la validité de la méthode et les très riches potentialités d'une telle approche.

Le but de cette thèse est la construction de schémas numériques pour la simulation de phénomènes de propagation d'ondes acoustiques et électromagnétiques basés sur des discrétisations en espace par éléments finis conformes, ces schémas ayant pour vocation à être d'ordre arbitrairement élevé et aussi efficaces que possible. Dans le cadre de l'équation des ondes scalaire nous reprenons le problème de la condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de Lagrange (cf. Cohen-Joly-Tordjmann) pour en décrire un algorithme de construction général. Cet algorithme nous a permis de déterminer un nouvel élément fini avec condensation de masse de type $P_6$. Nous présentons aussi une nouvelle approche permettant une condensation partielle de la matrice de masse. Dans le cadre de la propagation d'ondes électromagnétiques modélisée par les équations de Maxwell, nous présentons une méthode de couplage conforme d'éléments finis d'arête rectangulaires (avec condensation de la matrice de masse) et triangulaires, permettant d'optimiser le profil de la matrice de masse (et donc d'en optimiser l'inversion) pour les simulations dans des domaines à géométrie complexe. Nous présentons aussi une discrétisation en temps d'ordre arbitrairement élevé, basée sur une procédure de type Cauchy-Kowalewski, que l'on a stabilisée. Toutes les discrétisations présentées ont été implémentées, testées de manière exhaustive et leur efficacité a été comparée, dans une série de tests numériques, à celle des discrétisations couramment utilisées pour ce type d'applications telles que les discrétisations en espace par éléments finis de Lagrange standards, et les discrétisations symplectiques ou de Runge-Kutta en temps

Ce travail, à l'interface entre les mathématiques appliquées et la physique, s'articule autour de la modélisation numérique des vésicules biologiques, un modéle pour les globules rouges du sang. Pour cela, le modéle de Canham et Helfrich est adopté pour décrire le comportement des vésicules. La modélisation numérique utilise la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Un nouvel algorithme de résolution numérique combinant une technique de multiplicateurs de Lagrange avec une adaptation automatique de maillages garantit la conservation exacte des volumes et des surfaces. Cet algorithme permet donc de dépasser une limitation cruciale actuelle de la méthode des fonctions de niveau, à savoir les pertes de masse couramment observées dans ce type de problémes. De plus, les propriétés de convergence de la méthode des fonctions de niveau se trouvent ainsi grandement améliorées, comme l'indiquent de nombreux tests numériques. Ces tests comprennent notamment des problémes d'advection élémentaires, des mouvements par courbure moyenne ainsi que des mouvements par diffusion de surface. Concernant l'équilibre statique des vésicules, une condition générale d'équilibre d'Euler-Lagrange est obtenue à l'aide d'outils de dérivation de forme. En dynamique, le mouvement d'une vésicule sous l'action d'un écoulement de cisaillement est étudié dans le cadre des nombres de Reynolds élevés. L'effet du confinement est considéré, et les régimes classiques de chenille de char et de basculement sont retrouvés. Finalement, pour la premiére fois, l'effet des termes inertiels est étudié et on montre qu'au delà d'une valeur critique du nombre de Reynolds, la vésicule passe d'un mouvement de basculement à un mouvement de chenille de char.

Nous nous intéressons à la propagation d'ondes en milieu élastique non-borné. Nous développons une nouvelle formulation mixte H(div)-L2 du système de l'élastodynamique linéaire et lui appliquons la "méthode des éléments finis mixtes spectraux". Cette nouvelle méthode permet, par un choix judicieux d'espaces d'approximation et une condensation de masse, d'obtenir un schéma explicite de stockage réduit, en donnant la même solution que la méthode des éléments finis spectraux. Nous introduisons ensuite des couches absorbantes parfaitement adaptées pour modéliser les milieux non-bornés. Des phénomènes d'instabilité sont révélés et analysés pour certains matériaux élastiques 2D. La méthode numérique obtenue est validée et testée sur des modèles réalistes en acoustique et élastique. Une analyse par ondes planes donne des résultats de dispersion numérique et montre la supériorité des maillages adaptés aux vitesses du milieu. Enfin, une extension au couplage fluide-structure 2D est mise en place.

Ce travail, à l'interface entre les mathématiques appliquées et la physique, s'articule autour de la modélisation numérique des vésicules biologiques, un modéle pour les globules rouges du sang. Pour cela, le modéle de Canham et Helfrich est adopté pour décrire le comportement des vésicules. La modélisation numérique utilise la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Un nouvel algorithme de résolution numérique combinant une technique de multiplicateurs de Lagrange avec une adaptation automatique de maillages garantit la conservation exacte des volumes et des surfaces. Cet algorithme permet donc de dépasser une limitation cruciale actuelle de la méthode des fonctions de niveau, à savoir les pertes de masse couramment observées dans ce type de problémes. De plus, les propriétés de convergence de la méthode des fonctions de niveau se trouvent ainsi grandement améliorées, comme l'indiquent de nombreux tests numériques. Ces tests comprennent notamment des problémes d'advection élémentaires, des mouvements par courbure moyenne ainsi que des mouvements par diffusion de surface. Concernant l'équilibre statique des vésicules, une condition générale d'équilibre d'Euler-Lagrange est obtenue à l'aide d'outils de dérivation de forme. En dynamique, le mouvement d'une vésicule sous l'action d'un écoulement de cisaillement est étudié dans le cadre des nombres de Reynolds élevés. L'effet du confinement est considéré, et les régimes classiques de chenille de char et de basculement sont retrouvés. Finalement, pour la premiére fois, l'effet des termes inertiels est étudié et on montre qu'au delà d'une valeur critique du nombre de Reynolds, la vésicule passe d'un mouvement de basculement à un mouvement de chenille de char. / This work, at the interface between the Applied Mathematics and Physics is connected about the numerical modelisation of biological vesicles, a pattern for the red blood cells. For this reason, the pattern of Canham and Helfrich is adopted to describe the behaviour of the vesicles. The numerical modelisation uses the Level Set method in finite element framework. A new algorithm of numerical resolution combining one technique of Lagrange multipliers with an automatic mesh adaptation ensures the accurate conservation of volumes and surfaces. Thus this algorithm enables to exceed an existing crucial restriction of the Level Set method, that's to say, the wastes of mass usually noticed in this kind of problems. Moreover, the proprieties of convergence of the Level Set method are thus much more improved, as shown in many numerical tests. Those tests chiefly include elementary problems of advection, motions by mean curvature just as motions by spread of surface. Concerning the static equilibrum of the vesicles, a mechanical equilibrum equation (Euler-Lagrange equation) of a vesicle membrane under a generalized elastic bending energy is obtained and the approach is based on shape optimization tools. In dynamics, the motion of a vesicle under the effect of a shear flow is elaborated in the frames of reference of high Reynolds numbers. The effect of confinement is respected, and the standard regimes of tank-treading and of tumbling motion are found again. Finally, for the first time, the effect of the inertia terms is elaborated and we show that beyond a critical value of the number of Reynolds the vesicle passes from a tumbling motion to a tank-treading motion.