Ce travail porte sur l'analyse asymptotique d'un problème de transmission avec couche mince dans un domaine bidimensionnel à coin. Précisément, on construit un dévelop\-pement asymptotique de la solution en fonction de l'épaisseur de la couche. La présence d'un coin engendre des singularités qui compromettent la construction habituelle du développement, par résolution alternative entre le domaine intérieur et la couche. Celles-ci sont traitées par l'introduction de profils construits dans un domaine infini avec couche d'épaisseur 1 à l'aide de la transformation de Mellin. On s'intéresse ensuite à la performance de la condition aux limites approchée, dont on sait qu'elle remplace l'effet de la couche mince jusqu'à l'ordre 3 dans le cas d'un domaine régulier. On montre que la présence d'un coin détériore son efficacité, ce d'autant plus que l'angle d'ouverture est grand. Des calculs numériques ont été effectués, qui confirment les résultats théoriques obtenus.

Le bruit constitue un problème sociétal majeur, en particulier en zones urbaines et périurbaines où les sources de bruit associées au traffic routier sont nombreuses et variées. Les logiciels de prévision acoustique actuels, basés sur des modèles énergétiques et géométriques et développés initialement pour des applications en milieux extérieurs faiblement bâtis, sont donc limités pour la prévision acoustique en milieux urbains et périurbains (présence de bâtis et d'encombrements, sources de bruit réelles mobiles avec un régime de fonctionnement variant dans le temps...). Le travail de thèse a consisté à proposer un modèle numérique temporel, adapté à la modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain. Parmi les méthodes envisageables, la méthode TLM ("Transmission Line Modelling") constitue une approche originale, puisqu'elle permet de considérer des domaines de propagation de géométries complexes en intégrant la plupart des phénomènes physiques mis en jeu lors de la propagation du son sur de grandes distances (diffraction, réflexion, phénomènes stationnaires, divergence géométrique, atténuation atmosphérique, effets micrométéorologiques). Toutefois, l'étude bibliographique a mis en évidence deux limitations majeures de la méthode pour répondre pleinement à notre problématique : l'implémentation de conditions aux frontières réalistes et la modélisation d'un milieu de propagation infini. Un modèle TLM générique a ainsi été développé, et permet de réaliser des simulations en deux ou en trois dimensions en combinant l'ensemble des phénomènes influant sur la propagation du son en milieux extérieurs densément bâtis. Une approche permettant d'implémenter une condition d'impédance aux frontières a également été proposée. La méthode consiste à approcher l'impédance par une somme de systèmes linéaires du premier ordre. L'usage d'une méthode de convolution récursive permet par ailleurs de limiter le coût numérique associé au calcul du champ de pression sonore sur la frontière. Des simulations de la propagation acoustique au-dessus de différents types de sols absorbants ont été réalisées et confrontées avec succès aux solutions analytiques. Concernant la modélisation d'un milieu de propagation infini, une formulation de couches absorbantes anisotropes permettant de limiter le domaine de calcul a également été développée. Enfin, des applications réalistes de problématiques "urbaines" (écrans acoustiques, façades et terrasses végétalisées) ont finalement été proposées.

Le but général de cette thèse est d'exploiter des modélisations asymptotiques pour la résolution de problèmes de diffraction inverse en électromagnétisme. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des conditions d'impédance généralisée qui modélisent notamment des matériaux fortement absorbants ou des revêtements de faible épaisseur. L'expression "impédance généralisée" signifie que la condition au bord fait intervenir un opérateur surfacique. Les conditions dites d'impédance classique entrent dans cette famille de conditions aux bord, dans ce cas, l'opérateur surfacique se réduit à la multiplication par une fonction. Dans le cadre des problèmes inverses, l'utilisation de modèles approchés permet de simplifier aussi bien la résolution numérique que l'analyse mathématique. De nombreux travaux ont été menés en diffraction inverse sur l'utilisation d'une condition d'impédance classique, nous les avons étendus pour des opérateurs surfaciques plus complexes faisant intervenir des dérivées tangentielles. Une partie importante de la thèse est consacrée à la mise en oeuvre des méthodes d'optimisation pour retrouver un obstacle ainsi que les paramètres définissant l'opérateur d'impédance. Nous présentons en particulier un calcul de dérivée de forme dans le cas où les équations de l'électromagnétisme se simplifient en une équation scalaire, nous étendons ensuite ce calcul aux équations de Maxwell vectorielles. Des exemples numériques de reconstruction de forme et de paramètres d'impédance viennent illustrer l'applicabilité des méthodes d'optimisation à notre problème inverse. Afin de compléter cette étude, nous avons utilisé une méthode qualitative - la méthode de factorisation - pour identifier un objet diffractant caractérisé par une condition d'impédance généralisée. Enfin, en relation avec les méthodes qualitatives, nous nous sommes penché sur l'utilisation des valeurs propres de transmission associées au problème de diffraction par des couches minces pour obtenir des informations sur la couche. Dans ce but, nous avons calculé et justifié le développement asymptotique de la première valeur propre de transmission intérieure par rapport à la faible épaisseur du revêtement. Ce développement donne une manière simple de calculer l'épaisseur du revêtement à partir du champ diffracté pour plusieurs fréquences.

Les problèmes de transmission avec couche mince sont délicats à approcher numériquement, en raison de la nécessité de construire des maillages à l’échelle de la couche mince. Il est courant d’éviter ces difficultés en usant de problèmes avec conditions aux limites approchées — dites d’impédance. Si l’approximation des problèmes de transmission par des problèmes d’impédance s’avère performante dans le cas de domaines réguliers, elle l’est beaucoup moins lorsque ceux-ci comportent des coins ou arêtes. L’objet de cette thèse est de proposer de nouvelles conditions d’impédance, plus performantes, afin de corriger cette perte de performance. Pour cela, les développements asymptotiques des différents problèmes-modèles sont construits et étudiés afin de localiser avec précision l’origine de la perte, en lien avec les profils singuliers associés aux coins et arêtes. De nouvelles conditions d’impédance sont construites, de type Robin multi-échelle ou Venctel. D’abord étudiées en dimension 2, elles sont ensuite généralisées à certaines situations en dimension 3. Des simulations viennent confirmer l’efficience des méthodes théoriques. / Transmission problems with thin layer are delicate to approximate numerically, because of the necessity to build meshes on the scale of the thin layer. It is common to avoid these difficulties by using problems with approximate boundary conditions — also called impedance conditions. Whereas the approximation of transmission problems by impedance problems turns out to be successful in the case of smooth domains, the situation is less satisfactory in the presence of corners and edges. The goal of this thesis is to propose new impedance conditions, more efficient, to correct this lack of performance. For that purpose, the asymptotic expansions of the various models -problems are built and studied to locate exactly the origin of the loss, in connection with the singular profiles associated to corners and edges. New impedance conditions are built, of multi-scale Robin or Venctel types. At first studied in dimension 2, they are then generalized in certain situations in dimension 3. Simulations have been carried out to confirm the efficiency of the theoretical methods to some.