Dans le contexte de la modélisation aléatoire des événements récurrents, un modèle statistique particulier est exploré. Ce modèle est fondé sur la théorie des processus de comptage et est construit dans le cadre d'analyse de défaillances dans les réseaux d'eau. Dans ce domaine nous disposons de données sur de nombreux systèmes observés durant une certaine période de temps. Les systèmes étant posés à des instants différents, leur âge est utilisé en tant qu'échelle temporelle dans la modélisation. Le modèle tient compte de l'historique incomplet d'événements, du vieillissement des systèmes, de l'impact négatif des défaillances précédentes sur l'état des systèmes et des covariables. Le modèle est positionné parmi d'autres approches visant à l'analyse d'événements récurrents utilisées en biostatistique et en fiabilité. Les paramètres du modèle sont estimés par la méthode du Maximum de Vraisemblance (MV). Une covariable dépendante du temps est intégrée au modèle. Il est supposé qu'elle est extérieure au processus de défaillance et constante par morceaux. Des méthodes heuristiques sont proposées afin de tenir compte de cette covariable lorsqu'elle n'est pas observée. Des méthodes de simulation de données artificielles et des estimations en présence de la covariable temporelle sont proposées. Les propriétés de l'estimateur (la normalité, le biais, la variance) sont étudiées empiriquement par la méthode de Monte Carlo. L'accent est mis sur la présence de deux directions asymptotiques : asymptotique en nombre de systèmes n et asymptotique en durée d'observation T. Le comportement asymptotique de l'estimateur MV constaté empiriquement est conforme aux résultats théoriques classiques. Il s'agit de l'asymptotique en n. Le comportement T-asymptotique constaté empiriquement n'est pas classique. L'analyse montre également que les deux directions asymptotiques n et T peuvent être combinées en une unique direction : le nombre d'événements observés. Cela concerne les paramètres classiques du modèle (les coefficients associés aux covariables fixes et le paramètre caractérisant le vieillissement des systèmes). Ce n'est en revanche pas le cas pour le coefficient associé à la covariable temporelle et pour le paramètre caractérisant l'impact négatif des défaillances précédentes sur le comportement futur du système. La méthodologie développée est appliquée à l'analyse des défaillances des réseaux d'eau. L'influence des variations climatiques sur l'intensité de défaillance est prise en compte par une covariable dépendante du temps. Les résultats montrent globalement une amélioration des prédictions du comportement futur du processus lorsque la covariable temporelle est incluse dans le modèle. / In the context of stochastic modeling of recurrent events, a particular model is explored. This model is based on the counting process theory and is built to analyze failures in water distribution networks. In this domain the data on a large number of systems observed during a certain time period are available. Since the systems are installed at different dates, their age is used as a time scale in modeling. The model accounts for incomplete event history, aging of systems, negative impact of previous failures on the state of systems and for covariates.The model is situated among other approaches to analyze the recurrent events, used in biostatistics and in reliability. The model parameters are estimated by the Maximum Likelihood method (ML). A method to integrate a time-dependent covariate into the model is developed. The time-dependent covariate is assumed to be external to the failure process and to be piecewise constant. Heuristic methods are proposed to account for influence of this covariate when it is not observed. Methods for data simulation and for estimations in presence of the time-dependent covariate are proposed. A Monte Carlo study is carried out to empirically assess the ML estimator's properties (normality, bias, variance). The study is focused on the doubly-asymptotic nature of data: asymptotic in terms of the number of systems n and in terms of the duration of observation T. The asymptotic behavior of the ML estimator, assessed empirically agrees with the classical theoretical results for n-asymptotic behavior. The T-asymptotics appears to be less typical. It is also revealed that the two asymptotic directions, n and T can be combined into one unique direction: the number of observed events. This concerns the classical model parameters (the coefficients associated to fixed covariates, the parameter characterizing aging of systems). The presence of one unique asymptotic direction is not obvious for the time-dependent covariate coefficient and for a parameter characterizing the negative impact of previous events on the future behavior of a system.The developed methodology is applied to the analysis of failures of water networks. The influence of climatic variations on failure intensity is assessed by a time-dependent covariate. The results show a global improvement in predictions of future behavior of the process when the time-dependent covariate is included into the model.

Ce travail est centré sur la charactérisation de certaines classes de processus aléatoires par des formules de dualité. En particulier on considérera des processus réciproques à sauts, un cas jusqu'à présent négligé dans la littérature.Dans la première partie nous formulons de façon innovante une charactérisation des processus à accroissements indépendants. Celle-ci est basée sur une formule de dualité pour des processus infiniment divisibles, déjà connue dans le cadre du calcul de Malliavin. On va présenter deux nouvelles méthodes pour prouver cette formule, qui n'utilisent pas la décomposition en chaos de l'espace des fonctionnelles de carré intégrable. Une méthode s'appuie sur une formule d'intégration par parties satisfaite par des vecteurs aléatoires infiniment divisibles. Sous cet angle, notre charactérisation est une généralization du lemme de Stein dans le cas Gaussien et du lemme de Chen dans le cas Poissonien. La généralité de notre approche nous permet de plus, de présenter une charactérisation des mesures aléatoires infiniment divisibles.Dans la deuxième partie de notre travail nous nous concentrons sur l'étude des classes réciproques de processus de Markov avec ou sans sauts, et sur leur charactérisation. On commence avec un résumé des résultats déjà existants concernant les classes réciproques de diffusions browniennes comme solutions d'une formule de dualité. Nous obtenons notamment une nouvelle interprétation des classes réciproques comme les solutions d'une équation de Newton. Cela nous permet de relier nos résultats à la mécanique stochastique d'une part et à la théorie du contrôle optimale, d'autre part. La formule de dualité nous permet aussi de prouver une propriété d'invariance par retournement du temps de la classe réciproque d'une diffusion brownienne.En outre nous obtenons une série de nouveaux résultats concernant les processus de sauts purs. Nous décrivons d'abord la classe réciproque associée à un processus markovien de comptage, c'est-à-dire un processus de sauts de taille un, puis en présentons une charactérisation par une formule de dualité. Cette formule contient une dérivée stochastique, une intégrale stochastique compensée, et une fonctionnelle qui est une grandeur invariante de la classe réciproque. De plus nous livrons une interprétation de la classe réciproque comme ensemble des solutions d'un problème de contrôle optimal. Enfin, par une utilisation appropriée de la formule de dualité, nous montrons que la classe réciproque d'un processus markovien de comptage est invariante par retournement du temps.Quelques-uns de ces résultats restent valables pour des processus de sauts purs dont les sauts sont de taille variée. En particulier nous montrons que certaines fonctionnelles dites invariants réciproques permettent de distinguer différentes classes réciproques. Notre dernier résultat est la charactérisation de la classe réciproque d'un processus de Poisson composé dès lors que les (tailles des) différents sauts sont incommensurables. / This work is concerned with the characterization of certain classes of stochastic processes via duality formulae. In particular we consider reciprocal processes with jumps, a subject up to now neglected in the literature. In the first part we introduce a new formulation of a characterization of processes with independent increments. This characterization is based on a duality formula satisfied by processes with infinitely divisible increments, in particular Lévy processes, which is well known in Malliavin calculus. We obtain two new methods to prove this duality formula, which are not based on the chaos decomposition of the space of square-integrable functionals. One of these methods uses a formula of partial integration that characterizes infinitely divisible random vectors. In this context, our characterization is a generalization of Stein's lemma for Gaussian random variables and Chen's lemma for Poisson random variables. The generality of our approach permits us to derive a characterization of infinitely divisible random measures.The second part of this work focuses on the study of the reciprocal classes of Markov processes with and without jumps and their characterization. We start with a resume of already existing results concerning the reciprocal classes of Brownian diffusions as solutions of duality formulae. As a new contribution, we show that the duality formula satisfied by elements of the reciprocal class of a Brownian diffusion has a physical interpretation as a stochastic Newton equation of motion. Thus we are able to connect the results of characterizations via duality formulae with the theory of stochastic mechanics by our interpretation, and to stochastic optimal control theory by the mathematical approach. As an application we are able to prove an invariance property of the reciprocal class of a Brownian diffusion under time reversal.In the context of pure jump processes we derive the following new results. We describe the reciprocal classes of Markov counting processes, also called unit jump processes, and obtain a characterization of the associated reciprocal class via a duality formula. This formula contains as key terms a stochastic derivative, a compensated stochastic integral and an invariant of the reciprocal class. Moreover we present an interpretation of the characterization of a reciprocal class in the context of stochastic optimal control of unit jump processes. As a further application we show that the reciprocal class of a Markov counting process has an invariance property under time reversal. Some of these results are extendable to the setting of pure jump processes, that is, we admit different jump-sizes. In particular, we show that the reciprocal classes of Markov jump processes can be compared using reciprocal invariants. A characterization of the reciprocal class of compound Poisson processes via a duality formula is possible under the assumption that the jump-sizes of the process are incommensurable.

<p>    </p> <p>The counting process is the fundamental of many real-world problems with event data. Poisson process, used as the background intensity of Hawkes process, is the most commonly used point process. The Hawkes process, a self-exciting point process fits to temporal event data, spatial-temporal event data, and event data with covariates. We study the Hawkes process that fits to heterogeneous drug overdose data via a novel semi-parametric approach. The counting process is also related to survival data based on the fact that they both study the occurrences of events over time. We fit a Cox model to temporal event data with a large corpus that is processed into high dimensional covariates. We study the significant features that influence the intensity of events. </p>

傳統人壽保險契約之分析利用等價原則(principal of equivalience) 來對商品評價。即保險人所收保費之現值等於保險人未來責任(保險金額給付)之現值。然而對於權益連結壽險商品而言，其結合傳統商品之風險(如利率風險、死亡率風險等)與財務風險，故更增加其評價困難性。過去研究中在假設預定利率為常數與死亡率為給定的情況下，利用Black-Scholes (1973)評價公式推導出公式解。然而Black-Scholes評價公式是建構在完全市場上，對於權益連結壽險商品而言其已不符合完全市場之假設，因此本文放寬完全市場之假設來對此商品重新評價與避險。 在財務市場上，對於不完全市場(incomplete markets)下請求權(contingent claims)之評價與避險，已發展出數個不同評價方法。本文利用均數變異避險(mean-variance hedging)方法(Follmer&Sondermann ，1986)所衍生之風險極小化(risk-minimization)觀念來對此保險衍生性金融商品評價與避險，並找到一風險衡量測度(Moller , 1996、1998a、2000)來評估發行此商品保險人需承受多少風險。 / In this study, actuarial equivalent principle and no-arbitrage pricing theory are used in pricing and valuation for unit-linked life insurance policies.　Since their market values cannot be replicated through the self-finance strategies due to market incompleteness, the theoretical setup in Black and Scholes (1973) and Follmer and Sondermann (1986) are adopted to develop the pricing and hedging strategies. Counting process is employed to characterize the transition pattern of the policyholder and the linked assets are modeled through the geometric Brownian motions. Equivalent martingale measures are adapted to derive the pricing formulas. Since the benefit payments depend on the performance of the underlying portfolios and the health status of the policyholder, mean-variance minimization criterion is employed to evaluate the financial risk. Finally pricing and hedging issues are examined through the numerical illustrations. Monte Carlo method is implemented to approximate the market premiums according to the payoff structures of the policies. In this paper, we show that the risk-minimization criterion can be used to determine the hedging strategies and access the minimal intrinsic risks for the insurers.

Multivariate mixed Poisson processes are special multivariate counting processes whose coordinates are, in general, dependent. The first part of this thesis is devoted to properties which multivariate counting processes may possess. Such properties are, for example, the Markov property, the multinomial property and regularity. With regard to regularity we study the properties of transition probabilities and intensities. The second part of this thesis restricts the class of all multivariate counting processes by additional assumptions leading to different types of multivariate mixed Poisson processes which, however, are connected with each other. Using a multivariate version of the Bernstein-Widder theorem, it is shown that multivariate mixed Poisson processes are characterized by the multinomial property. Furthermore, regularity of multivariate mixed Poisson processes and properties of their moments are studied in detail. Throughout this thesis, two types of stability of properties of multivariate counting processes are studied: It is shown that most properties of a multivariate counting process are stable under certain linear transformations including the selection of single coordinates and summation of all coordinates. It is also shown that the different types of multivariate mixed Poisson processes under consideration are in a certain sense stable in time.

共變數的值會隨著時間而改變時，我們稱之為時間相依之共變數。時間相依之共變數往往具有重複測量的特性，也是長期資料裡最常見到的一種共變數形態；在對時間相依之共變數進行重複測量時，可以考慮每次測量的間隔時間相同或是間隔時間不同兩種情形。在間隔時間相同的情形下，我們可以忽略間隔時間所產生的效應，利用分組的Cox模式或是合併的羅吉斯迴歸模式來分析，而合併的羅吉斯迴歸是一種把資料視為“對象 時間單位”形態的分析方法；此外，分組的Cox模式和合併的羅吉斯迴歸模式也都可以用來預測存活機率。在某些條件滿足下，D’Agostino等六人在1990年已經證明出這兩個模式所得到的結果會很接近。 當間隔時間為不同時，我們可以用計數過程下的Cox模式來分析，在計數過程下的Cox模式中，資料是以“對象 區間”的形態來分析。2001年Bruijne等人則是建議把間隔時間也視為一個時間相依之共變數，並將其以B-spline函數加至模式中分析；在我們論文的實證分析裡也顯示間隔時間在延伸的Cox模式中的確是個很顯著的時間相依之共變數。延伸的Cox模式為間隔時間不同下的時間相依之共變數提供了另一個分析方法。至於在時間相依之共變數的預測方面，我們是以指數趨勢平滑法來預測其未來時間點的數值；利用預測出來的時間相依之共變數值再搭配延伸的Cox模式即可預測未來的存活機率。 / It is so called “time-dependent covariates” that the values of covariates change over time. Time-dependent covariates are measured repeatedly and often appear in the longitudinal data. Time-dependent covariates can be regularly or irregularly measured. In the regular case, we can ignore the TEL(time elapsed since last observation) effect and the grouped Cox model or the pooled logistic regression model is employed to anlalyze. The pooled logistic regression is an analytic method using the“person-period”approach. The grouped Cox model and the pooled logistic regression model also can be used to predict survival probablity. D’Agostino et al. (1990) had proved that pooled logistic regression model is asymptotically equivalent to the grouped Cox model. If time-dependent covariates are observed irregularly, Cox model under counting process may be taken into account. Before making the prediction we must turn the original data into“person-interval”form, and this data form is also suitable for the prediction of grouped Cox model in regular measurements. de Bruijne et al.(2001) first considered TEL as a time-dependent covariate and used B-spline function to model it in their proposed extended Cox model. We also show that TEL is a very significant time-dependent covariate in our paper. The extended Cox model provided an alternative for the irregularly measured time-dependent covariates. On the other hand, we use exponential smoothing with trend to predict the future value of time-dependent covariates. Using the predicted values with the extended Cox model then we can predict survival probablity.

Multivariate mixed Poisson processes are special multivariate counting processes whose coordinates are, in general, dependent. The first part of this thesis is devoted to properties which multivariate counting processes may possess. Such properties are, for example, the Markov property, the multinomial property and regularity. With regard to regularity we study the properties of transition probabilities and intensities. The second part of this thesis restricts the class of all multivariate counting processes by additional assumptions leading to different types of multivariate mixed Poisson processes which, however, are connected with each other. Using a multivariate version of the Bernstein-Widder theorem, it is shown that multivariate mixed Poisson processes are characterized by the multinomial property. Furthermore, regularity of multivariate mixed Poisson processes and properties of their moments are studied in detail. Throughout this thesis, two types of stability of properties of multivariate counting processes are studied: It is shown that most properties of a multivariate counting process are stable under certain linear transformations including the selection of single coordinates and summation of all coordinates. It is also shown that the different types of multivariate mixed Poisson processes under consideration are in a certain sense stable in time.