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Multivariate mixed Poisson processes are special multivariate counting processes whose coordinates are, in general, dependent. The first part of this thesis is devoted to properties which multivariate counting processes may possess. Such properties are, for example, the Markov property, the multinomial property and regularity. With regard to regularity we study the properties of transition probabilities and intensities. The second part of this thesis restricts the class of all multivariate counting processes by additional assumptions leading to different types of multivariate mixed Poisson processes which, however, are connected with each other. Using a multivariate version of the Bernstein-Widder theorem, it is shown that multivariate mixed Poisson processes are characterized by the multinomial property. Furthermore, regularity of multivariate mixed Poisson processes and properties of their moments are studied in detail. Throughout this thesis, two types of stability of properties of multivariate counting processes are studied: It is shown that most properties of a multivariate counting process are stable under certain linear transformations including the selection of single coordinates and summation of all coordinates. It is also shown that the different types of multivariate mixed Poisson processes under consideration are in a certain sense stable in time.

Multivariate mixed Poisson processes are special multivariate counting processes whose coordinates are, in general, dependent. The first part of this thesis is devoted to properties which multivariate counting processes may possess. Such properties are, for example, the Markov property, the multinomial property and regularity. With regard to regularity we study the properties of transition probabilities and intensities. The second part of this thesis restricts the class of all multivariate counting processes by additional assumptions leading to different types of multivariate mixed Poisson processes which, however, are connected with each other. Using a multivariate version of the Bernstein-Widder theorem, it is shown that multivariate mixed Poisson processes are characterized by the multinomial property. Furthermore, regularity of multivariate mixed Poisson processes and properties of their moments are studied in detail. Throughout this thesis, two types of stability of properties of multivariate counting processes are studied: It is shown that most properties of a multivariate counting process are stable under certain linear transformations including the selection of single coordinates and summation of all coordinates. It is also shown that the different types of multivariate mixed Poisson processes under consideration are in a certain sense stable in time.

Die Aktionspotential (AP) -Aktivität einzelner kortikaler Neuronen kann messbare sensorische Effekte hervorrufen. Es ist jedoch nicht bekannt, wie AP-Sequenzen Parameter und spezifische neuronale Subtypen die hervorgerufenen Sinnesempfindungen beeinflussen. Hier haben wir einen ‘Reverse-Physiology‘ Ansatz angewendet, um die Beziehung zwischen der Aktivität einzelner Neuronen und der Empfindung zu untersuchen. Zunächst wird der Prozess der Nanostimulation, eine von der juxtazellulären Markierungstechnik abgeleiteten Einzelzell-Stimulationsmethode, detailliert beschrieben. Nanostimulation ist einfach anzuwenden und kann auf eine Vielzahl von identifizierbaren Neuronen in narkotisierten und wachen Tieren angewandt werden. Wir beschreiben die Aufnahmetechnik und die elektrische Konfiguration für Nanostimulation. Während eine exakte zeitliche Bestimmung der AP nicht erreicht wurde, konnten Frequenz und Anzahl der AP parametrisch kontrolliert werden. Wir zeigen, dass Nanostimulation auch angewendet werden kann, um sensorische Reaktionen in identifizierbaren Neuronen selektiv zu inhibieren. Als nächstes haben wir untersucht wie sich die Frequenz und Anzahl der AP sowie die Regelmäßigkeit der Pulsfolge auf die Detektion von Einzelzell-Stimulationen im somatosensorischen Kortex von Ratten auswirken. Für mutmaßlichen erregende regular-spiking Neuronen erhöhte sich die Nachweisbarkeit mit abnehmender Frequenz und Anzahl der AP. Die Stimulation einzelner, mutmaßlichen inhibitorischer und schnell feuernder Neuronen führte zu wesentlich stärkeren sensorischen Effekten, die unabhängig von Frequenz und Anzahl der AP waren. Außerdem fanden wir heraus, dass Unregelmäßigkeiten der Pulsfolge die sensorischen Effekte von putativ erregenden Neuronen stark erhöhten. Diese Unregelmäßigkeiten wurden in durchschnittlich 8% der Durchgänge festgestellt. Unsere Daten deuten darauf hin, dass das es auf Verhaltnisebene eine große Sensivität für kortikale AP und deren zeitlichen Abfolge gibt. / The action potential (AP) activity of single cortical neurons can evoke measurable sensory effects, but it is not known how spiking parameters and specific neuronal subtypes affect the evoked sensations. Here we applied a reverse physiology approach to investigate the relationship between single neuron activity and sensation. First, we provide a detailed description of the procedures involved in nanostimulation, a single-cell stimulation method derived from the juxtacellular labeling technique. Nanostimulation is easy to apply and can be directed to a wide variety of identifiable neurons in anesthetized and awake animals. We describe the recording approach and the parameters of the electric configuration underlying nanostimulation. While exact AP timing has not been achieved, AP frequency and AP number can be parametrically controlled. We demonstrate that nanostimulation can also be used to selectively inhibit sensory responses in identifiable neurons. Next, we examined the effects of AP frequency, AP number and spike train regularity on the detectability of single-cell stimulation in rat somatosensory cortex. For putative excitatory, regular spiking neurons detectability increased with decreasing AP frequencies and decreasing AP numbers. Stimulation of single putative inhibitory, fast spiking neurons led to much larger sensory effects that were not dependent on AP frequency and AP number. In addition, we found that spike train irregularity greatly increased the sensory effects of putative excitatory neurons, with irregular spike trains being detected in on average 8% of trials. Our data suggest that the behaving animal is extremely sensitive to cortical APs and their temporal patterning.

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir schwache Lösungen, die zu einem geeigneten Sobolevraum gehören, q-elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen auf deren Regularität für den Fall 1 / In the present work we study the regularity of weak solution to q-elliptic and parabolic systems partial differential equations in appropriate Sobolev spaces in case 1

This thesis is devoted to the study of optimal control problems governed by a quasistatic, thermoviscoplastic model at small strains with linear kinematic hardening, von Mises yield condition and mixed boundary conditions. Mathematically, the thermoviscoplastic equations are given by nonlinear partial differential equations and a variational inequality of second kind in order to represent the elastic, plastic and thermal effects. Taking into account thermal effects we have to handle numerous mathematical challenges during the analysis of the thermoviscoplastic model, mainly due to the low integrability of the nonlinear terms on the right-hand side of the heat equation. One of our main results is the existence of a unique weak solution, which is proved by means of a fixed-point argument and by employing maximal parabolic regularity theory. Furthermore, we define the related control-to-state mapping and investigate properties of this mapping such as boundedness, weak continuity and local Lipschitz continuity. Another major result is the finding that the mapping is Hadamard differentiable; a main ingredient is the reformulation of the variational inequality, the so called viscoplastic flow rule, as a Banach space-valued ordinary differential equation with non-differentiable right-hand side. Subsequently, we consider an optimal control problem governed by thermoviscoplasticity and show the existence of a minimizer. Finally, close this thesis with numerical examples. / Diese Arbeit ist der Untersuchung von Optimalsteuerproblemen gewidmet, denen ein quasistatisches, thermoviskoplastisches Model mit kleinen Deformationen, mit linearem kinematischen Hardening, von Mises Fließbedingung und gemischten Randbedingungen zu Grunde liegt. Mathematisch werden thermoviskoplastische Systeme durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen und eine variationelle Ungleichung der zweiten Art beschrieben, um die elastischen, plastischen und thermischen Effekte abzubilden. Durch die Miteinbeziehung thermischer Effekte, treten verschiedene mathematische Schwierigkeiten während der Analysis des thermoviskoplastischen Systems auf, die ihren Ursprung hauptsächlich in der schlechten Regularität der nichtlinearen Terme auf der rechten Seite der Wärmeleitungsgleichung haben. Eines unserer Hauptresultate ist die Existenz einer eindeutigen schwachen Lösung, welches wir mit Hilfe von einem Fixpunktargument und unter Anwendung von maximaler parabolischer Regularitätstheorie beweisen. Zudem definieren wir die entsprechende Steuerungs-Zustands-Abbildung und untersuchen Eigenschaften dieser Abbildung wie die Beschränktheit, schwache Stetigkeit und lokale Lipschitz Stetigkeit. Ein weiteres wichtiges Resultat ist, dass die Abbildung Hadamard differenzierbar ist; Hauptbestandteil des Beweises ist die Umformulierung der variationellen Ungleichung, der sogenannten viskoplastischen Fließregel, als eine Banachraum-wertige gewöhnliche Differentialgleichung mit nichtdifferenzierbarer rechter Seite. Schließlich runden wir diese Arbeit mit numerischen Beispielen ab.