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1	Asymptotic Analysis of Systems of Partial Differential Equations for Fluid Structure Interaction / Asymptotische Analysis von Systemen Partieller Differentialgleichungen für Fluid-Struktur-Wechselwirkung Körber, Christopher January 2024 (has links) (PDF) We determine the asymptotic limit of a sequence of weak solutions for the interaction problem between several rigid bodies and an incompressible fluid in an arbitrary domain \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^d\) containing them. The limit is performed by letting the maximal diameter of the rigid bodies tend to zero and their number is allowed to grow to infinity, bounded by the logarithm of the maximal diameter. Both the fluid and the rigid bodies are allowed to be inhomogeneous and the viscosity of the fluid is allowed to depend on its density. The initial densities shall be bounded in \(L^{p_0}(\Omega)\) for some \(d<p_0\leq\infty\) and converge in \(L^1(\Omega)\), the initial momenta are assumed to converge weakly in \(L^2(\Omega)^d\) and the initial energies shall converge. Under these assumptions, the rigid bodies are negligible in the limit, meaning that up to a subsequence, density and velocity for the fluid-structure interaction problem converge weakly to a solution of the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations. The result holds in any dimension \(d\geq2\). We apply the asymptotic limit to the special case of initially periodically distributed rigid bodies of equal shape and obtain that the rigid bodies are negligible in the asymptotic limit, provided their size tends to zero fast enough compared to the period of the initial distribution. / Wir bestimmen den asymptotischen Grenzwert für eine Folge schwacher Lösungen des Problems der Wechselwirkung mehrerer starrer Körper mit einer inkompressiblen Flüssigkeit in einem beliebigen Gebiet \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^d\), welche jene enthält. Der Grenzwert wird derart gebildet, dass der maximale Durchmesser der starren Körper gegen Null konvergiert, während die Anzahl starrer Körper gegen unendlich streben darf, beschränkt durch den Logarithmus des maximalen Durchmessers. Sowohl die Flüssigkeit als auch die starren Körper dürfen inhomogen sein, und die Viskosität der Flüssigkeit kann von ihrer Dichte abhängen. Die Anfangsbedingungen für die Dichte sollen beschränkt sein in \(L^{p_0}(\Omega)\) für ein \(d<p_0\leq\infty\) und in \(L^1(\Omega)\) konvergieren, die Anfangsbedingungen des Impulses konvergieren schwach in \(L^2(\Omega)^d\) und die Anfangsenergien konvergieren. Unter diesen Annahmen sind die starren Körper im asymptotischen Grenzwert vernachlässigbar, was heißt, dass, zumindest auf einer Teilfolge, Dichte und Geschwindigkeit für die Fluid-Struktur Wechselwirkung schwach gegen eine Lösung der inhomogenen inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen konvergieren. Wir zeigen dieses Resultat in jeder Dimension \(d\geq2\). Weiter wenden wir es auf den Spezialfall von zu Beginn periodisch verteilten starren Körpern gleicher Form an. Wir erhalten, dass die starren Körper im asymptotischen Grenzwert vernachlässigbar sind, falls ihre Größe im Vergleich zur Periode der Anfangsverteilung schnell genug klein wird. Fluid-Struktur-Wechselwirkung Navier-Stokes-Gleichung Starrer Körper Schwache Lösung Homogenisierung <Mathematik> Partielle Differentialgleichung ddc:515
2	Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen mit Entartung / der Fall 1 < p < 2 Wolf, Jörg 31 May 2002 (has links) In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir schwache Lösungen, die zu einem geeigneten Sobolevraum gehören, q-elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen auf deren Regularität für den Fall 1 / In the present work we study the regularity of weak solution to q-elliptic and parabolic systems partial differential equations in appropriate Sobolev spaces in case 1 partielle Differentialgleichungen Systeme nichlinear Entartung elliptisch parabolisch Regularität partielle Hölderstetigkeit Differenzierbarkeit Differenzenmethode kontrolliertes Wachstum natürliches Wachstum Bochnerintegral Evolutionsgleichungen Hilberttransformation Sobolevräume schwache Lösung PDE systems nonlinear degeneration elliptic parabolic regularity partial Hölder continuity differentiability difference method controlled growth natural growth Bochner integral evolution equation Hilbert transform Sobolev space weak solution 510 Mathematik 27 Mathematik SK 540 ddc:510

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Asymptotic Analysis of Systems of Partial Differential Equations for Fluid Structure Interaction / Asymptotische Analysis von Systemen Partieller Differentialgleichungen für Fluid-Struktur-Wechselwirkung

Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen mit Entartung / der Fall 1 < p < 2