L'objet de cette thèse est la diffusion numérique sécurisée réalisée à l'aide de courbes elliptiques. Le premier chapitre est consacré au calcul de points de l-torsion sur une courbe elliptique définie sur un corps fini de caractéristique p. Plus précisément, nous combinons un algorithme rapide de calcul d'isogénies dû à Bostan, Morain, Salvy et Schost avec l'approche p-adique suivie par Joux et Lercier. Nous obtenons ainsi le premier algorithme valide sans limitation sur l et p dont la complexité est similaire à celle de l'algorithme proposé par Bostan et al. Dans le deuxième chapitre, nous développons un modèle générique de groupes avec couplage qui généralise les modèles présentés auparavant dans la littérature. Nous fournissons un cadre général permettant de prouver dans ce modèle les hypothèses cryptographiques reliées au problème du logarithme discret sur des groupes avec couplage. Dans le troisième chapitre, nous proposons et étudions un nouveau schéma de diffusion pour des récepteurs sans état. À la différence des schémas s'appuyant sur des techniques de recouvrement par des sous-ensembles définis par des arbres binaires, notre schéma considère que l'ensemble des récepteurs destinataires d'un message est décrit par des attributs. La taille du chiffré est linéaire en le nombre d'attributs utilisés dans cette description, mais ne dépend pas du nombre de destinataires. Par rapport à d'autres schémas basés sur des attributs, le déchiffrement nécessite des capacités de calculs bien plus faibles. Le dernier chapitre est consacré à un schéma de chiffrement avec traçage de traîtres, c'est-à-dire conçu pour lutter contre le piratage dans la distribution sécurisée de contenus vers de nombreux destinataires. Nous proposons un nouveau schéma, utilisant des techniques de marquage de contenu, présentant un taux de chiffrement constant et une sécurité contre des décodeurs pirates puissants. Une particularité de ce schéma est la possibilité pour un destinataire de déchiffrer à la volée le contenu transmis.

Dans cette thèse nous examinons en détail le problème du logarithme discret dans les corps finis. Dans la première partie, nous nous intéressons à la notion de friabilité et à l'algorithme ECM, le plus rapide test de friabilité connu. Nous présentons une amélioration de l'algorithme en analysant les propriétés galoisiennes des polynômes de division. Nous continuons la présentation par une application d'ECM dans la dernière étape du crible algébrique (NFS). Dans la deuxième partie, nous présentons NFS et son algorithme correspondant utilisant les corps de fonctions (FFS). Parmi les améliorations examinées, nous montrons qu'on peut accélérer le calcul de logarithme discret au prix d'un pré-calcul commun pour une plage de premiers ayant le même nombre de bits. Nous nous concentrons ensuite sur la phase de sélection polynomiale de FFS et nous montrons comment comparer des polynômes quelconques à l'aide d'une unique fonction. Nous concluons la deuxième partie avec un algorithme issu des récentes améliorations du calcul de logarithme discret. Le fait marquant est la création d'une procédure de descente qui a un nombre quasi-polynomial de nœuds, chacun exigeant un temps polynomial. Cela a conduit à un algorithme quasi-polynomial pour les corps finis de petite caractéristique.

Ma thèse porte sur l'étude des couplages, et plus particulièrement leur utilisation en cryptographie. Mes premiers travaux ont portés sur l'arithmétique des couplages à travers une comparaison des complexités en nombre d'opérations des couplages de Weil et Tate. Puis je me suis intéressée à l'étude de l'arithmétique utile pour les couplages. Un de mes travaux propose d'utiliser une représentation alternative des corps finis pour améliorer l'efficacité des calculs impliqués dans les couplages. Le second étudie en détail l'arithmétique des couplages pour les courbes dont le degré d'enfoncement est 15. Ces premiers travaux m'ont permis de me familiariser avec les couplages et je me suis alors orientée vers la résistance aux attaques par canaux cachés des algorithmes de couplage. J'ai étudié les faiblesses de l'algorithme de Miller lorsqu'il subit des attaques par analyse de consommation de courant et par injection de fautes.

Les couplages sont des outils mathématiques introduits par André Weil en 1948. Ils sont un sujet très en vogue depuis une dizaine d'années en cryptographie asymétrique. Ils permettent en effet de réaliser des opérations cryptographiques impossible à réaliser simplement autrement tel que la signature courte et la cryptographie basée sur l'identité. Ces dernières années, le calcul des couplages est devenu plus facile grâce à l'introduction de nouvelles méthodes de calculs mathématiques particulièrement efficaces sur les courbes elliptiques dites les courbes bien adaptées aux couplages. Aujourd'hui, nous sommes au stade de transfert de cette technologie, de la théorie vers la mise en œuvre pratique, sur des composants électroniques. Ce transfert soulève de nombreuses problématiques qui s'avèrent difficile à surmonter à cause de la différence de culture scientifique entre mathématiciens et micro-électroniciens. Dans le présent document, en premier lieu, nous avons étudié le problème de l'implémentation du couplage dans des environnements restreints. En effet, le calcul du couplage de Tate, ou aussi de l'une de ses variantes, nécessite plusieurs variables pour être implémenté, par conséquent, il nécessite une bonne partie de la mémoire du composant électronique sur lequel nous souhaitons implémenter un tel couplage.Dans ce contexte, en faisant des optimisations mathématiques, nous avons pu implémenté ces couplages dans des environnements retreints. Le deuxième problème que nous avons traité dans cette thèse est celui de la sécurité des protocoles cryptographiques basés sur les couplages. Dans ce contexte, puisque les couplages sur les courbes elliptiques sont censés d'être matériellement attaqués, nous devons le protéger contre ces attaques. Nous avons étudié les attaques sur les couplages et nous avons proposé une contre-mesure. / Les couplages sont des outils mathématiques introduits par André Weil en 1948. Ils sont un sujet très en vogue depuis une dizaine d'années en cryptographie asymétrique. Ils permettent en effet de réaliser des opérations cryptographiques impossible à réaliser simplement autrement tel que la signature courte et la cryptographie basée sur l'identité. Ces dernières années, le calcul des couplages est devenu plus facile grâce à l'introduction de nouvelles méthodes de calculs mathématiques particulièrement efficaces sur les courbes elliptiques dites les courbes bien adaptées aux couplages. Aujourd'hui, nous sommes au stade de transfert de cette technologie, de la théorie vers la mise en œuvre pratique, sur des composants électroniques. Ce transfert soulève de nombreuses problématiques qui s'avèrent difficile à surmonter à cause de la différence de culture scientifique entre mathématiciens et micro-électroniciens. Dans le présent document, en premier lieu, nous avons étudié le problème de l'implémentation du couplage dans des environnements restreints. En effet, le calcul du couplage de Tate, ou aussi de l'une de ses variantes, nécessite plusieurs variables pour être implémenté, par conséquent, il nécessite une bonne partie de la mémoire du composant électronique sur lequel nous souhaitons implémenter un tel couplage.Dans ce contexte, en faisant des optimisations mathématiques, nous avons pu implémenté ces couplages dans des environnements retreints. Le deuxième problème que nous avons traité dans cette thèse est celui de la sécurité des protocoles cryptographiques basés sur les couplages. Dans ce contexte, puisque les couplages sur les courbes elliptiques sont censés d'être matériellement attaqués, nous devons le protéger contre ces attaques. Nous avons étudié les attaques sur les couplages et nous avons proposé une contre-mesure.

E. Bombieri et J. Pila ont introduit une méthode qui donne les bornees sur le nombre de points entiers qui sont appartiennent d'un arc donné (sous les plusieurs hypothèses).Dans la partie algébrique nous généralisons la méthode de Bombieri Pila pour le cas des champs de fonction de genre $0$ avec une variable. Ensuite, nous appliquons le résultat pour calculer le nombre de courbes elliptiques qui sont dans la même classe d'isomorphisme avec leurs coefficients dans une petite boîte.Une fois que nous avons prouvé ça, la question naturelle est de savoir si nous pouvons l'améliorer dans certains cas particuliers. Nous allons étudier le cas des courbes elliptiques en utilisant la partie de conjecture par Birch Swinnerton-Dyer, les propriétés des fonctions de hauteur bien avec les empilements compacts.Après, dans une partie analytique nous donnons la version explicite du théorème de Bombieri Vinogradov. Ce théorème est un résultat important concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules $q$ variant jusqu'à $Q$. Notre but est d'améliorer les résultats existant de cette façon (voir cite{Akbary2015}), donc nous pouvons réduire la puissance du facteur logarithmique en utilisant l'inégalité de grand crible et l'identité de Vaughan. / E.Bombieri and J.Pila introduced a method to bound the number of integral points in a small given box (under some conditions). In algebraic part we generalise this method to the case of function fields of genus $0$ in ove variable. Then we apply the result to count the number of elliptic curves falling in the same isomorphic class with coefficients lying in a small box.Once we are done the natural question is how to improve this bound for some particular families of curves. We study the case of elliptic curves and use the fact that the necessary part of Birch Swinnerton-Dyer conjecture holds over function fields. We also use the properties of height functions and results about sphere packing.In analytic part we give an explicit version of Bombieri-Vinogradov theorem. This theorem is an important result that concerns the error term in Dirichlet's theorem in arithmetic progressions averaged over moduli $q$ up to $Q$. We improve the existent result of such type given in cite{Akbary2015}. We reduce the logarithmic power by using the large sieve inequality and Vaughan identity.

Le chiffrement d'une communication sur un canal quelconque pose un problème de taille. Un émetteur doit en effet transmettre au récepteur une information lui permettant de décoder une communication chiffrée. Le canal d'information n'étant souvent pas physiquement sécurisé, cette information préliminaire doit être transmise sans que les interlocuteurs n'aient à se soucier qu'un autre acteur puisse intercepter cette information. Différents algorithmes ont été développés afin de rendre possible cet échange préliminaire. Parmi les algorithmes communéments utilisés, la cryptographie à courbe elliptique permet de maximiser la sécurité d'une communication avec un minimum d'échange préliminaire d'information. La cryptographie à courbe elliptique repose sur la multiplication d'un point sur cette courbe par un scalaire. Cette opération est relativement lourde au niveau logiciel. Le développement d'un co-processeur spécialisé pour cette opération devient alors pertinent. Ce mémoire résume le développement de pareil co-processeur. Ce dernier a été développé sur FPGA en minimisant les ressources logiques utilisées tout en maximisant la fréquence d'horloge opérationnelle. De plus, le nombre d'opérations sur la courbe elliptique a été minimisé en représentant l'entier multipliant le point sur la courbe elliptique sous sa forme numérique ω-NAF. Ce mémoire propose également une façon inédite pour générer aléatoirement un entier sous sa forme ω-NAF en minimisant les ressources logiques nécessaires pour pareille opération. / The encryption of a communication on a given channel may appear hazardous. An interlocutor must transmit to another one enough information allowing both interlocutors to encrypt or decrypt the communication. Since the communication channel is visible to potentially malicious actors, this preliminary information must be exchanged without worrying about others intercepting it. Several algorithms were developed making that exchange possible. Among the most commonly used algorithms, elliptic curve cryptography provides the highest strength per bit. Elliptic curve cryptography is based on the multiplication of a point on this curve by a scalar. This operation is relatively complex when implemented in software. The use of a specialized co-processor becomes an interesting approach to perform this operation. This thesis describes the development of such a co-processor. It has been developed targeting a FPGA, minimizing the use of logical resources while maximizing the operating frequency. Moreover, the number of operations on the elliptic curve have been minimized by representing the scalar multiplying the point of the elliptic curve in its ω-NAF form. A method randomly generating an integer in its ω-NAF representation is also proposed. This method can be implemented in hardware using a minimum of logical resources.

Alors qu'initialement utilisés pour résoudre le Problème du Logarithme Discret (DLP) dans le groupe de points d'une courbe elliptique, les couplages sont très à la mode en cryptographie ces années car ils permettent de construire de nouveaux protocoles cryptographiques. Cependant, le calcul efficace du couplage dépend de l'arithmétique du modèle de courbe elliptique choisi et du corps sur lequel cette courbe est définie. Dans cette thèse, nous calculons le couplage sur deux modèles de Jacobi de courbes elliptiques puis nous introduisons et étudions l'arithmétique d'un nouveau modèle d'Ewards de courbe elliptique défini en toutes caractéristiques. Plus précisément, Nous utilisons l'interprétation géométrique de la loi de groupe sur l'intersection des quadriques de Jacobi pour obtenir pour la première fois dans la littérature, les formules explicites de la fonction de Miller pour le calcul du couplage de Tate sur cette courbe. Pour un calcul de couplage avec un degré de plongement pair, nous définissons la tordue quadratique pour obtenir des étapes de doublement et d'addition efficaces dans l'algorithme de Miller. Ensuite nous utilisons un isomorphisme entre la quartique spéciale de Jacobi Ed: Y²=dX⁴+Z⁴ et le modèle de Weierstrass pour obtenir la fonction de Miller nécessaire au calcul du couplage de Tate. Pour un degré de plongement divisible par 4, nous définissons la tordue d'ordre 4 de cette courbe pour obtenir un résultat meilleur du calcul du couplage de Tate par rapport aux courbes elliptiques sous forme de Weierstrass. Notre résultat améliore en même temps les derniers résultats obtenus sur cette courbe. Ce résultat est donc le meilleur connu à ce jour, à notre connaissance, pour le calcul du couplage de Tate sur les courbes possédant des tordues d'ordre 4. En 2006, Hess et al. introduisent le couplage Ate, qui est une version améliorée du couplage de Tate. Nous calculons ce couplage et ses variantes sur la même quartique. Nous y obtenons encore des résultats meilleurs. Notre troisième contribution est l'introduction d'un nouveau modèle d'Edwards de courbe elliptique d'équation 1+x²+y²+x²y²=Xxy. Ce modèle est ordinaire sur les corps de caractéristique 2 et nous montrons qu'il est birationnellement équivalent au modèle original d'Edwards x²+y²=c²(1+x²y²) en caractéristique différente de 2. Pour ce faire, nous utilisons la théorie des fonctions thêta et un modèle intermédiaire que nous appelons modèle thêta de niveau 4. Nous utilisons les relations de Riemann des fonctions thêta pour étudier l'arithmétique de ces deux courbes. Nous obtenons d'une part une loi de groupe complète, unifiée et en particulier compétitive en caractéristique 2 et d'autre part nous présentons les meilleures formules d'addition différentielle sur le modèle thêta de niveau 4. / While first used to solve the Discrete Logarithm Problem (DLP) in the group of points of elliptic curves, bilinear pairings are now useful to construct many public key protocols. The efficiency of pairings computation depends on the arithmetic of the model chosen for the elliptic curve and of the base field where the curve is defined. In this thesis, we compute and implement pairings on elliptic curves of Jacobi forms and we study the arithmetic of a new Edwards model for elliptic curves defined over any finite field. More precisely, We use the geometric interpretation of the group law of Jacobi intersection curves to obtain the first explicit formulas for the Miller function in Tate pairing computation in this case. For pairing computation with even embedding degree, we define and use the quadratic twist of this curve to obtain efficient formulas in the doubling and addition stages in Miller's algorithm. Moreover, for pairing computation with embedding degree divisible by 4 on the special Jacobi quartic elliptic curve Ed :Y²=dX⁴+Z⁴, we define and use its quartic twist to obtain a best result with respect to Weierstrass curves. Our result is at the same time an improvement of a result recently obtained on this curve, and is therefore, to our knowledge, the best result to date on Tate pairing computation among all curves with quartic twists. In 2006, Hess et al. introduced the concept of Ate pairing which is an improving version of the Tate pairing. We extend the computation of this pairing and its variations to the curve E_d. Again our theoretical results show that this curve offers the best performances comparatively to other curves with quartic twists, especially Weiertrass curves. As a third contribution, we introduce a new Edwards model for elliptic curves with equation 1+x²+y²+x²y²=\lambda xy. This model is ordinary over binary fields and we show that it is birationally equivalent to the well known Edwards model x²+y²=c²(1+x²y²) over non-binary fields. For this, we use the theory of theta functions to obtain an intermediate model that we call the level 4 theta model. We study the arithmetic of these curves, using Riemann relations of theta functions. The group laws are complete, unified, efficient and are particularly competitive in characteristic 2. Our formulas for differential addition on the level four theta model over binary fields are the best to date among well known models of elliptic curves.

Un réseau de capteurs sans fil (RCSF) est constitué d’un grand nombre de nœuds capteurs autonomes qui collaborent ensemble pour la surveillance d’une zone, d’une machine, d’une personne etc.. Dans certaines applications,les données critiques doivent être protégées contre toute utilisation frauduleuse et être accessibles en temps réel. Le besoin d’apporter une solution de sécurité fiable et adaptée paraît donc essentiel. Les solutions de sécurité utilisées dans les réseaux traditionnels ne sont pas directement applicables dans les RCSFs, car développer des primitives de sécurité en utilisant de faibles ressources devient un véritable défi. Dans cette thèse, nous proposons des solutions nouvelles peu gourmandes en ressources qui tiennent compte des faibles capacités de défense d’un réseau autonome. Dans cette optique nous appliquons des mécanismes cryptographiques bas´es sur les fonctions de hachage et les courbes elliptiques. Un focus sur différents mécanismes de sécurité peu gourmands en ressources nous permet la mise en évidence des rapports de forces entre les RCSFs et leurs vulnérabilités. Notre première contribution vise `a améliorer la sécurité et les performances en termes d’´énergie sur des protocoles d’authentification existants tout en utilisant les mêmes mécanismes. Dans la deuxième contribution, on utilise le concept de probabilité de risque afin de déterminer la consommation énergétique dans différentes architectures de déploiement. Dans la troisième contribution nous présentons un nouveau mécanisme d’accélération de la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques définies dans des corps finis premiers. Ce mécanisme bas´e sur l’opposé et l’ordre d’un point, réduit le nombre d’opérations de points dans un intervalle donné, et présente en plus l’avantage de pouvoir être combiné avec les techniques existantes. Enfin dans notre dernière contribution, nous nous sommes intéressés à l’accélération du calcul des points résultants du partitionnement du scalaire qui introduisent des coûts additionnels de calcul et de stockage mémoire. Nous comparons différentes formules de points existantes en mettant en évidence leur efficacité. / A Wireless Sensor Network (WSN) consists of a large number of sensor nodes which collaborate so as tomonitor environnement. For various WSNs’ applications, the collected data should be protected by preventingunauthorized users from gaining the information. The need to find a reliable and adaptive security solution isvery important. Most current standard security protocols designed for traditional networks cannot be applieddirectly in WSN. For this reason, providing a variety of security functions with limited resources is a realchallenge. Our research work seeks to find secure efficient solutions that take into account the rather weakdefense of an autonomous network. In this way, we apply lightweight cryptography mechanisms based on hashfunction and elliptic curves. A focus on different security mechanisms and lightweight security algorithms canhighlight the strength ratio between WSNs and their vulnerabilities. Our first contribution is on a secure energyefficient solution, it uses the same mechanism and aims to enhance the security weaknesses of existing solutions.The second contribution uses the concept of probability risk analysis to show to which level the proposedsolution justifies the better energy consumption for a given network architecture. In the third contribution, wepresent a new technique to accelerate scalar multiplication on elliptic curves cryptography over prime field forlight-weight embedded devices like sensor nodes. Our method reduces the computation of scalar multiplicationby an equivalent representation of points based on point order in a given interval and can also act as a supportfor most existing methods. Finally our last contribution presents a fast pre-computation algorithm in a parallelscalar multiplication to avoid the storage of pre-computation points which requires extra memory. We alsoprovide a comparison of different formulas so as to find out their efficiency.

Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d'isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique $p$ appelé module supersingulier. Nous le comparons à d'autres modules de Hecke : l'homologie de la courbe modulaire $X_0(p)$ et l'ensemble des formes modulaires de poids $2$ et de niveau $p$. Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de $X_0(p)$ nous permettent d'appliquer ces résultats à l'étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers $p$ pour lesquels le quotient de $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) par l'opérateur d'Atkin-Lehner n'a pour points rationnels que les pointes et les points CM.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à des briques utiles à la cryptographie asymétrique et principalement au problème du logarithme discret. Dans une première partie, nous présentons un survol de différentes notions algorithmiques de couplages sur des jacobiennes de courbes de genre 2 et décrivons les détails d'une implémentation soigneuse. Nous faisons une comparaison à niveau de sécurité équivalent avec les couplages sur les courbes elliptiques. Une deuxième partie est dévolue à la recherche de modèles efficaces pour les courbes elliptiques et les surfaces de Kummer non-ordinaires en caractéristique 2. Pour le genre 1, nous obtenons que le modèle d'Edwards binaire se déduit du modèle d'Edwards classique en caractéristique zéro. Pour le genre $2$, nous utilisons des techniques de "déformation" qui consistent à considérer une famille de jacobiennes sur un anneau des séries formelles, telle que la fibre générique soit ordinaire et la fibre spéciale soit la jacobienne considérée. Il s'agit alors de montrer que la loi de groupe sur la fibre générique s'étend à tout le modèle. Nous comparons les lois de composition ainsi obtenues avec celles déjà connues.