Grundlage der vorliegenden Arbeit sind mathematische Aspekte des Kapillarflächenproblems. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden existierende glatte Lösungen des klassischen Kapillarflächenproblems betrachtet. Diese sind unbeschränkt, wenn das Definitionsgebiet Spitzen enthält. Es wird eine Vielzahl von asymptotischen Formeln hergeleitet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit verallgemeinerten Lösungen des allgemeinen Kapillar- flächenproblems. Es wird die Existenz dieser Lösungen unter sehr schwachen Voraussetzungen bewiesen. Für konstante Gravitationspotentiale und Benetzungsverhalten werden verallgemeinerte Lösungen näher untersucht und z. T. sogar explizit konstruiert. Die Eigenschaften einer speziellen Klasse solcher Lösungen könnte einen Beitrag zur Erklärung des Wasseranstiegs in Bäumen liefern. / The present paper is based on mathematical aspects of the capillary surface problem. It is divided into two parts. In the first part we consider the classical capillary surface problem, for which smooth solutions exist. These solutions are unbounded if the domain of definition contains cusps. We prove a large variety of asymptotic formulas. The second part is concerned with generalized solutions of the general capillary problem, for which there is not always a smooth solution. We prove existence of generalized solutions under very weak preconditions. We can construct some generalized solutions for zero-gravity and constant wetting-behaviour explicitly. These solutions have a very restricted geometry and could be of interest for the understanding of water lift in trees.

Le développement dentaire est essentiellement étudié chez la souris, modèle mammifère le plus commun en biologie. Cependant, contrairement à la majorité des mammifères, les souris ne remplacent pas leurs dents. Ainsi, les mécanismes impliqués dans le remplacement dentaire mammalien sont encore inconnus. Au cours de cette thèse, nous nous sommes intéressés au développement et remplacement dentaire mammalien en utilisant le lapin Oryctolagus cuniculus comme modèle d’étude. Le lapin étant déjà séquencé, utilisé en recherche biomédicale avec une période de gestation courte et remplaçant ses dents, il semblait être un modèle pertinent en odontologie. Le lapin était un modèle méconnu du point de vue du développement dentaire, nous avons donc d’abord réalisé une étude histo-morphologique afin de caractériser la mise en place des dents déciduales et permanentes. Des reconstructions 3D des tissus mous ont été réalisés à différents stades embryonnaires afin d’obtenir une chronologie du développement et remplacement dentaire. Cette chronologie commence aux premières observations morphologiques de l’initiation du développement des premières dents jusqu’à la minéralisation des dernières dents à se développer.Puis, suite à l’identification dans la bibliographie de gènes candidats potentiellement impliqués dans le remplacement dentaire, nous avons étudiés les profils d’expressions de ces gènes afin de mieux comprendre la régulation spatio-temporelle du remplacement dentaire chez le lapin. Nous avons ensuite replacé nos résultats sur le développement chez le lapin dans un contexte évolutif. Ainsi, nous avons réalisé une étude d’anatomie comparée chez les lagomorphes actuels et quelques fossiles afin d’identifier des variations morphologiques dentaires au cours de leur histoire évolutive. Nous nous sommes particulièrement intéressé à la mise en place des cuspides au cours de l’odontogénèse ainsi qu’aux variations de la surface occlusale des dents supérieure tout au long de la vie des lapins et autres lagomorphes. En comparant les variations au cours de l’évolution avec celles observées lors de l’ontogénie dentaire chez le lapin nous avons identifié des processus d’hétérochronies du développement. Nous avons ainsi montré que la molaire actuelle du lapin suit un processus de péramorphose, donc de surdéveloppement, en comparaison aux lagomorphes fossiles. Le lapin est ainsi un modèle animal prometteur en biologie du développement et en évolution afin de mieux comprendre la mise en place du remplacement dentaire mammalien ainsi que les variations de forme dentaire au cours de l’évolution des mammifères. / Tooth development is essentially studied in mice, the favorite mammalian model in biology. However, mice do not replace their teeth on contrary to numerous mammals. So, the mechanisms involved in mammalian tooth replacement are still unknown. In this thesis, we focused on mammalian dental development and replacement using the European rabbit Oryctolagus cuniculus as animal model. The European rabbit is already sequenced, used in biomedical field, has a short gestation time and replaced its teeth, so rabbit seemed to be a relevant model in dental research.Rabbit dental development was not defined, so we first performed a histo-morphological study to characterize the development of deciduous and permanent teeth. 3D soft tissue reconstructions were performed at different embryonic stages to obtain a chronology of tooth development and replacement. This chronology begins with the first morphological observations of the initiation of the development of the first tooth until the mineralization of the last tooth to develop.Then, we identified in the bibliography candidate genes potentially involved in dental replacement. We studied the expression profiles of these genes in order to better understand the spatio-temporal regulation of tooth replacement in rabbits.We then returned our results to rabbit development in an evolutionary context. Thus, we performed a comparative anatomy study in the current lagomorphs and some fossils in order to identify dental morphological variations during their evolutionary history. We were particularly interested in the setting of cusps during odontogenesis as well as in the variations of the occlusal surface of the upper cheek teeth throughout the life of rabbits and other lagomorphs. Comparing changes during evolution with those observed during dental ontogeny in rabbits allow us to identify heterochronous processes of development. We have shown that the current molar rabbit follows a process of peramorphosis, so an overdevelopment compared to fossil lagomorphs.The rabbit is thus a promising animal model in developmental and evolutionary biology to better understand the implementation of mammalian tooth replacement and tooth shape variations during mammalian evolution.

Cette thèse à pour objet l’étude des résonances du laplacien sur les variétés à pointes. Ce sont des variétés dont les bouts sont des pointes hyperboliques réelles. Ces objets ont été introduits par Selberg pour les surfaces à pointes de courbure constante dans les années 50. Leur définition a ensuite été étendue en courbure variable par Lax et Phillips. Les résonances sont les poles d’une famille méromorphe de fonctions propres généralisées du laplacien. Elles sont associées au spectre continu du laplacien. Pour analyser ce spectre continu, plusieurs directions de recherche sont explorées ici. D’une part, on obtient des résultats sur la localisation de ces résonances. En particulier, si la courbure est négative, on montre que pour un ensemble générique de métriques, les résonances se séparent en deux ensembles. Le premier est contenu dans une bande près du spectre continu. L’autre partie est composé de résonances qui s’éloignent du spectre. Ceci laisse une zone de taille log sans résonance.D’autre part, on étudie les mesures microlocales associées à certaines suites de paramètre spectraux. En particulier, on montre que pour des suites de paramètres spectraux qui s’approche du spectre, mais pas trop vite, la mesure microlocale associée est nécessairement la mesure de Liouville. Cette propriété est valable quand la courbure de la variété est négative. / In this thesis, we study the resonances of the Laplace operator on cusp manifolds. They are manifolds whose ends are real hyperbolic cusps. The resonances were introduced by Selberg in the 50's for the constant curvature cusp surfaces. Their definition was later extended to the case of variable curvature by Lax and Phillips. The resonances are the poles of a meromorphic family of generalized eigenfunctions of the Laplace operator. They are associated to the continuous spectrum of the Laplace operator. To analyze this continuous spectrum, different directions of research are investigated.On the one hand, we obtain results on the localization of resonances. In particular, if the curvature is negative, for a generic set of metrics, they split into two sets. The first one is included in a band near the spectrum. The other is composed of resonances that are far from the spectrum. This leaves a log zone without resonances. On the other hand, we study the microlocal measures associated to certain sequences of spectral parameters. In particular we show that for some sequences of parameters that converge to the spectrum, but not too fast, the associated microlocal measure has to be the Liouville measure. This property holds when the curvature is negative.

Grundlage der vorliegenden Arbeit sind mathematische Aspekte des Kapillarflächenproblems. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden existierende glatte Lösungen des klassischen Kapillarflächenproblems betrachtet. Diese sind unbeschränkt, wenn das Definitionsgebiet Spitzen enthält. Es wird eine Vielzahl von asymptotischen Formeln hergeleitet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit verallgemeinerten Lösungen des allgemeinen Kapillar- flächenproblems. Es wird die Existenz dieser Lösungen unter sehr schwachen Voraussetzungen bewiesen. Für konstante Gravitationspotentiale und Benetzungsverhalten werden verallgemeinerte Lösungen näher untersucht und z. T. sogar explizit konstruiert. Die Eigenschaften einer speziellen Klasse solcher Lösungen könnte einen Beitrag zur Erklärung des Wasseranstiegs in Bäumen liefern. / The present paper is based on mathematical aspects of the capillary surface problem. It is divided into two parts. In the first part we consider the classical capillary surface problem, for which smooth solutions exist. These solutions are unbounded if the domain of definition contains cusps. We prove a large variety of asymptotic formulas. The second part is concerned with generalized solutions of the general capillary problem, for which there is not always a smooth solution. We prove existence of generalized solutions under very weak preconditions. We can construct some generalized solutions for zero-gravity and constant wetting-behaviour explicitly. These solutions have a very restricted geometry and could be of interest for the understanding of water lift in trees.

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