Les deux premières parties de cette thèse s'inscrivent dans le contexte des analogies entre l'irrégularité pour les connexions méromorphes et la ramification sauvage des faisceaux l-adiques. On y développe l'analogue pour les connexions méromorphes de la construction d'Abbes et Saito, tout d'abord dans le cas d'un trait, puis en dimension supérieure. En première partie, on prouve une formule explicite reliant les invariants produits par la construction d'Abbes et Saito appliquée à un module différentiel M aux parties les plus polaires des formes différentielles intervenant dans la décomposition de Levelt-Turrittin de M. Dans la seconde, on généralise en dimension supérieure l'observation issue de la première partie que sur un corps algébriquement clos, les modules produits par la construction d'Abbes et Saito sont des sommes finies de modules exponentiels associés à des formes linéaires. Dans la dernière partie de cette thèse, on montre que le lieu des points stables d'une connexion méromorphe M le long d'un diviseur lisse est un sous-ensemble de l'intersection des lieux où les faisceaux d'irrégularité de M et End M sont des systèmes locaux. Enfin, on discute d'une stratégie d'attaque de l'inclusion réciproque, et on démontre à l'aide d'un critère d'André pour les points stables que si elle est vraie en dimension 2, alors elle est vraie en toute dimension.

Dans cette thèse, on étude le complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur un schéma au-dessus d'un trait en utilisant la théorie de ramification d'Abbes et Saito. La première partie est consacrée à une nouvelle preuve d'une formule de Deligne et Kato qui calcule la dimension du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une courbe relative lisse au-dessus d'un trait strictement local. Deligne a considéré le cas où le faisceau n'a pas de ramification verticale, et Kato a traité le cas général. Notre approche est basée sur une notion locale de cycle caractéristiquedéfinie grâce au conducteur de Swan raffiné d'Abbes et Saito. Dans la deuxième partie, on démontre une formule qui calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une variété lisse au-dessus d'un trait d'égale caractéristique, vérifiant une certaine condition de ramification. Tsushima a introduit la classe caractéristique raffinée du faisceau et il a démontré qu'elle calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe de ses cycles proches par une formule du type Lefschetz-Verdier. On calcule la classe caractéristique raffinée comme un produit d'intersection sur le fibré cotangent logarithmique de la variété faisant apparaître le cycle caractéristique du faisceau défini par Abbes et Saito et la section nulle. / In this thesis, we study the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a scheme over a trait, using ramification theory of Abbes and Saito. The first part is devoted to a new proof of a formula of Deligne and Kato that computes the dimension of the stalks of the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a smooth relative curve over a strictly local trait. Deligne considered the case where the sheaf has no vertical ramification and Kato extended the formula to the general case. Our approach is based on a local notion of characteristic cycle defined using the refined Swan conductor of Abbes and Saito. In the second part, we prove a formula that computes the Swan conductor of the cohomology of the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a smooth variety over a trait of equal characteristic, satisfying a certain ramification condition. Tsushima introduced the refined characteristic class of the sheaf and he proved that it computes the Swan conductor of the cohomology of its nearby cycle complex by a Lefschetz-Verdier type formula.We compute the refined characteristic class as an intersection product on the logarithmic cotangent bundle of the variety, involving the characteristic cycle of the sheaf defined by Abbes and Saito and the zero section.

Dans cette thèse, on étude le complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur un schéma au-dessus d'un trait en utilisant la théorie de ramification d'Abbes et Saito. La première partie est consacrée à une nouvelle preuve d'une formule de Deligne et Kato qui calcule la dimension du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une courbe relative lisse au-dessus d'un trait strictement local. Deligne a considéré le cas où le faisceau n'a pas de ramification verticale, et Kato a traité le cas général. Notre approche est basée sur une notion locale de cycle caractéristiquedéfinie grâce au conducteur de Swan raffiné d'Abbes et Saito. Dans la deuxième partie, on démontre une formule qui calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une variété lisse au-dessus d'un trait d'égale caractéristique, vérifiant une certaine condition de ramification. Tsushima a introduit la classe caractéristique raffinée du faisceau et il a démontré qu'elle calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe de ses cycles proches par une formule du type Lefschetz-Verdier. On calcule la classe caractéristique raffinée comme un produit d'intersection sur le fibré cotangent logarithmique de la variété faisant apparaître le cycle caractéristique du faisceau défini par Abbes et Saito et la section nulle.

Cette thèse est consacrée à définir et étudier des invariants motiviques associés aux ensembles semi-algébriques dans les corps valués. Ceux-ci sont les combinaisons booléennes d'ensembles définis par des inégalités valuatives. L'outil principal que nous utilisons est l'intégration motivique, une forme de théorie de la mesure à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés définies sur le corps résiduel. Dans une première partie, on définit la notion de densité locale motivique. C'est un analogue valuatif du nombre de Lelong complexe, de la densité réelle de Kurdyka-Raby et de la densité p-adique de Cluckers-Comte-Loeser. C'est un invariant métrique à valeurs dans un localisé du groupe de Grothendieck des variétés. Notre résultat principal est que cet invariant se calcule sur le cône tangent muni de multiplicités motiviques. On établit un analogue de la formule de Cauchy-Crofton locale. On montre enfin que dans le cas d'une courbe plane, la densité motivique est égale à la somme des inverses des multiplicités des branches. L'objet de la seconde partie est de définir un morphisme d'anneau du groupe de Grothendieck des ensembles semi-algébriques sur un corps valué K vers le groupe de Grothendieck de la catégorie d'Ayoub des motifs rigides analytiques sur K. On montre qu'il étend le morphisme qui envoie la classe d'une variété algébrique sur la classe de son motif cohomologique à support compact. Cela fournit donc une notion virtuelle de motif cohomologique à support compact pour les variétés rigides analytiques. On montre également un théorème de dualité permettant de comparer le motif cohomologique de la fibre de Milnor analytique avec la fibre de Milnor motivique. / This thesis is devoted to define and study some motivic invariants associated to semialgebraic sets in valued fields. They are boolean combinations of sets defined by valuative inequalities. Our main tool is the theory of motivic integration, which is a kind of measure theory with values in the Grothendieck group of varieties defined over the residue field. In the first part, we define the notion of motivic local density. It is a valuative analog of complex Lelong number, Kurdyka-Raby real density and p-adic density of Cluckers- Comte-Loeser. It is a metric invariant with values in a localization of the Grothendieck group of varieties. Our main result is that it can be computed on the tangent cone with motivic multiplicities. We also establish an analog of the local Cauchy-Crofton formula. We finally show that the density of a germ of plane curve defined over the residue field is equal to the sum of the inverses of the multiplicities of the formal branches of the curve. The goal of the second part is to define a ring morphism from the Grothendieck group of semi-algebraic sets defined over a valued field K to the Grothendieck group of Ayoub’s categoryof rigid analytic motives over K. We show that it extends the morphism sending the class of an algebraic variety to the class of its cohomological motive with compact support. This gives a notion of virtual cohomological motive with compact support for rigid analytic varieties. We also show a duality theorem allowing us to compare the cohomological motive of the analytic Milnor fiber with the motivic Milnor fiber.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux singularités d'espaces analytiques complexes définis comme le lieu des zéros d'un morphisme sans pente. Nous étudions dans un premier temps les cycles proches et les cycles évanescents associés à un tel morphisme. Dans un deuxième temps nous cherchons à comprendre la théorie de Hodge des morphismes sans pente.La première partie de cette thèse est consacrée à apporter des compléments au travail de P. Maisonobe sur les morphismes sans pente. Nous commençons par construire un morphisme de comparaison entre cycles proches algébriques (pour les $mathscr{D}$-modules) et cycles proches topologiques (pour les faisceaux pervers). Nous montrons ensuite que ce morphisme est un isomorphisme dans le cas d'un morphisme sans pente. Enfin nous construisons un foncteur cycles évanescents topologiques pour un morphisme sans pente et nous démontrons que ce foncteur et le foncteur cycles proches topologiques de P. Maisonobe se placent dans le diagramme de triangles exacts attendu.Dans la seconde partie de cette thèse nous étudions les morphismes sans pente pour les modules de Hodge mixtes. Nous démontrons dans un premier temps la commutativité des cycles proches et des cycles évanescents itérés appliqués à un module de Hodge mixte dans le cas d'un morphisme sans pente. Dans un deuxième temps nous définissons la notion << strictement sans pente >> pour un module de Hodge mixte et nous démontrons sa stabilité par image directe propre. Nous démontrons comme application la compatibilité de la filtration de Hodge et des filtrations de Kashiwara-Malgrange pour certains modules de Hodge purs supportés sur une hypersurface à singularités quasi-ordinaires. / In this thesis we are interested in singularities of complex varieties defined as the zero locus of a morphism without slope. In a first time we study nearby cycles and vanishing cycles associated to such morphisms. In a second time we want to understand Hodge theory of morphisms without slope.The first part of this thesis is devoted to add some complements to the work of P. Maisonobe on morphisms without slope. We start with the construction of a comparison morphism between algebraic nearby cycles (for $mathscr{D}$-modules) and topological nearby cycles (for perverse sheaves). Then we show that this morphism is an isomorphism in the case of a morphism without slope. Finally we construct a topological vanishing cycles functor for a morphism without slope et we prove that this functor and the topological nearby cycles functor of P. Maisonobe fit into the expected diagram of exact triangles.In the second part of the thesis we study morphisms without slope for mixed Hodge modules. We first show the commutativity of iterated nearby cycles and vanishing cycles applied to a mixed Hodge module in the case of a morphism without slope. Second we define the notion "strictly without slope" for a mixed Hodge module and we show that it is preserved by proper direct image. As an application we prove the compatibility of the Hodge filtration and Kashiwara-Malgrange filtrations for some pure Hodge modules with support an hypersurface with quasi-ordinary singularities.