Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de contrôlabilité uniforme des semidiscrets approximations de systèmes paraboliques. Dans une première partie, nous nous intéressons à la minimisation de Lq-norme (q > 2) des contrôles semidiscrete pour l'équation parabolique. Notre objectif est de dépasser la limitation de [LT06] à propos de l'ordre ½ de l'absence de limites d'opérateur de contrôle. Plus précisément, nous montrons que la propriété d'observabilité uniforme est également titulaire dans Lq (q > 2), même dans le cas d'un degré d'absence de limites supérieure à 1/2. En outre, une procédure de minimisation pour calculer les commandes d'approximation est fournie. L'étude de l'optimalité Lq dans lapremière partie est dans un contexte général. Cependant, les inégalités d'observabilité discrets qui sont obtenus ne sont pas aussi précises que celles dérivées puis avec des estimations de Carleman. Dans une seconde partie, dans le contexte particulier de unidimensionnels-finis différences nous démontrons une inégalité de Carleman pour une version semi-discret de l'opérateur parabole @t − @x(c@x) qui permet pour dériver les inégalités d'observabilité qui sont beaucoup plus précis. On considère ici que dans le cas où le coefficient de diffusion a un saut qui donne une formulation du problème de transmission. Conséquence de cette inégalité de Carleman, on en déduit cohérentes nul contrôlabilité des résultats pour les classes de linéaires et semi-linéaire des équations paraboliques. / In this thesis, we study uniform controllability properties of semi-discrete approximations for parabolic systems. In a first part, we address the minimization of the Lq-norm (q > 2) of semidiscrete controls for parabolic equation. Our goal is to overcome the limitation of [LT06] about the order 1/2 of unboundedness of the control operator. Namely, we show that the uniform observability property also holds in Lq (q > 2) even in the case of a degree of unboundedness greater than 1/2. Moreover, a minimization procedure to compute the approximation controls is provided. The study of Lq optimality in the first part is in a general context. However, the discrete observability inequalities that are obtained are not so precise than the ones derived then with Carleman estimates. In a second part, in the discrete setting of one-dimensional finite-differences we prove a Carleman estimate for a semi discrete version of the parabolic operator @t − @x(c@x) which allows one to derive observability inequalities that are far more precise. Here we consider in case that the diffusion coefficient has a jump which yields a transmission problem formulation. Consequence of this Carleman estimate, we deduce consistent null-controllability results for classes of linear and semi-linear parabolic equations.

Le réseau électrique joue un rôle important en tant qu'infrastructure majeure dans chaque pays. Toutefois, avec l'accroissement de la pression économique et environnementale, les systèmes électriques deviennent plus étendus, plus complexes et fonctionnant plus près de leur limite de stabilité. Les blackouts de réseau électrique qui se sont produits dans le monde ces dernières années sont la conséquence de cette situation. Cette thèse a pour objectif de fournir des solutions permettant de prévenir les blackouts de réseaux électriques. Une analyse des phénomènes de blackouts passés est tout d'abord proposée afin de comprendre leurs principales causes et leurs mécanismes. Sur la base de cette analyse, il est établi que les principales causes de blackouts sont directement liées aux problèmes de la stabilité, tels que la stabilité angulaire et la stabilité de tension. Afin de pouvoir prévenir les pannes du réseau causées par les problèmes de stabilité, une nouvelle approche énergétique fondée sur l'utilisation des gramiens de commandabilité et d'observabilité a été proposée. La méthode permet la meilleure sélection de contrôleurs/capteurs afin de pouvoir améliorer l'amortissement des oscillations électriques. Les résultats pourraient être appliqués à grande échelle aux systèmes électriques, afin de construire une nouvelle structure de commande robuste. Dans ce mémoire, cette approche énergétique a également été appliquée afin de maîtriser la stabilité transitoire. Il s'agit d'une méthode heuristique utilisant le gramien de commandabilité comme moyen de choisir les générateurs qui sont utilisés pour replanifier la production d'électricité afin d'améliorer la stabilité transitoire de plus en plus critique lors d'un blackout. Enfin, les principaux facteurs influençant l'écroulement de tension ont été pris en compte à long terme grâce à une approche par simulation dynamique. Une stratégie de contrôle préventif fondée sur un « power flow » optimal a été également proposée. Du point de vue de la prévention, le problème du délestage de charges en cas de sous-tension a été discuté et évalué.

Ce travail s'inscrit principalement dans le domaine de synthèse d'observateurs pour des synthèses non linéaires. D'une part le développement d'une nouvelle méthodologie de synthèse est proposée et d'autre part des résultats supplémentaires pour les observateurs à horizon glissant sont donnés. La première partie est plus directement dédiée aux rappels des notions de base d'observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ainsi qu'à la description des principales techniques de synthèse d'observateurs. De cette étude, il a été possible d'énoncer les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Dans une deuxième partie et grâce à l'étude des différentes techniques de synthèse, une nouvelle méthodologie de synthèse d'observateur pour des systèmes non linéaires a été développée. Cette méthodologie divise un systhème en [n] problèmes d'optimisation scalaires, dénommés problèmes élémentaires, qui peuvent être résolus en parallèle en utilisant un solveur numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi sclaire que pour de systèmes de grand ordre peut être très interessant de l'appliquer. La dernière partie est concentrée sur les observateurs à horizon glissant plus classiques et de traiter le cas où les hypothèses de régularité uniforme globale ne sont pas supposées. la description technique correspondante est donné à travers des définitions du rayon de régularité et du rayon d'observabilité.

L'observateur est un outil essentiel pour accéder à l'information, non mesurable directement, d'un système dynamique. Dans le cas des systèmes non linéaires, il y a une grande carence concernant la synthèse d'observateur. Motivée par l'absence d'une solution générique, cette thèse élargit la classe des systèmes non linéaires pour lesquels on peut appliquer les observateurs connus. Dans l'approche adoptée, le système non linéaire est transformé à travers un changement de coordonnées sous forme normale d'observabilité qui a une structure adéquate à la synthèse d'observateurs. Les difficultés liées aux conditions d'existence d'un changement de coordonnées sont mises en évidence et des solutions sont proposées. Par conséquent, la classe des systèmes non linéaires qui peuvent se mettre sous une forme normale d'observabilité est élargie. Dans un premier temps, nous avons proposé une forme normale d'observabilité étendue dépendante de la sortie en augmentant l'espace d'état par des variables auxiliaires. Ainsi, nous avons établi les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d’un changement de coordonnées permettant d’obtenir une telle forme. En outre, nous avons proposé, pour certains modèles, des procédures heuristiques pour la mise sous forme normale d'observabilité étendue dépendante de la sortie. Dans un deuxième temps, nous avons traité la mise sous forme normale d'observabilité d'un système non linéaire partiellement observable. Enfin, nous avons abordé la transformation d'une classe spéciale de systèmes non linéaires sous la forme normale d'observabilité réduite. L'efficacité et l'intérêt des méthodes développées sont établis au travers de plusieurs applications. / Observer is an essential means to access to no-measurable information of a dynamical system. In the case of nonlinear systems, there is a great deficiency concerning the observer design theory. Motivated by the lack of a generic solution to observer design, this thesis enlarges the class of nonlinear systems which admit a standard observer. Using a geometrical approach, the considered nonlinear systems are transformed through a change of coordinates into observer form, which has an adequate structure to the observer design. The difficulties related to the conditions on the existence of such a change of coordinates are highlighted and solutions are proposed. Therefore, the class of nonlinear systems which can be transformed under an observer form is expanded. Firstly, we proposed an extended output depending observer form which does not preserve the size of the original state space and we established the sufficient conditions for the existence of a change of coordinates enabling to construct the proposed form. Moreover, we proposed a heuristic procedure to construct the extended output depending observer form of some models. Secondly, we dealt with the observer form for some partially observable nonlinear systems. Finally, we discussed the transformation into the reduced observer form for a class of nonlinear systems. The efficiency and interest of the developed methods is established through several applications.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles mathématiques concernant certains problèmes d'écoulement de fluide à densité variable. Le premier chapitre résume l'ensemble de la thèse et se concentre sur les résultats obtenus, la nouveauté et la comparaison avec la littérature existante. Dans le deuxième chapitre, nous étudions la stabilisation locale des équations non homogènes de Navier-Stokes dans un canal 2d autour du flot de Poiseuille. Nous concevons un contrôle feedback de la vitesse qui agit sur l'entrée du domaine de sorte que la vitesse et la densité du fluide soient stabilisées autour du flot de Poiseuille, à condition que la densité initiale soit donnée par une constante additionnée d'une perturbation dont le support se situe loin du bord latéral du canal. Dans le troisième chapitre, nous étudions un système couplant les équations de Navier-Stokes compressibles à une structure élastique située à la frontière du domaine fluide. Nous prouvons l'existence locale de solutions solides pour ce système couplé. Dans le quatrième chapitre, notre objectif est d'étudier la nulle- contrôlabilité d'un problemè d'interaction fluide-structure linéarisé dans un canal bi dimensional. L'écoulement du fluide est ici modélisé par les équations de Navier-Stokes compressibles. En ce qui concerne la structure, nous considérons une poutre de type Euler-Bernoulli amortie située sur une partie du bord. Dans ce chapitre, nous établissons une inégalité d'observabilité pour le problème considéré d'interaction fluid-structure linéarisé qui constitue le premier pas vers la preuve de la nulle contrôlabilité du système. / In this thesis we study mathematical models concerning some fluid flow problems with variable density. The first chapter is a summary of the entire thesis and focuses on the results obtained, novelty and comparison with the existing literature. In the second chapter we study the local stabilization of the non-homogeneous Navier-Stokes equations in a 2d channel around Poiseuille flow. We design a feedback control of the velocity which acts on the inflow boundary of the domain such that both the fluid velocity and density are stabilized around Poiseuille flow provided the initial density is given by a constant added with a perturbation, such that the perturbation is supported away from the lateral boundary of the channel. In the third chapter we prove the local in time existence of strong solutions for a system coupling the compressible Navier-Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. In the fourth chapter our objective is to study the null controllability of a linearized compressible fluid structure interaction problem in a 2d channel where the structure is elastic and located at the fluid boundary. In this chapter we establish an observability inequality for the linearized fluid structure interaction problem under consideration which is the first step towards the direction of proving the null controllability of the system.

Le problème de la commande de machine asynchrone sans capteur mécanique de vitesse est très étudié dans les domaines de l'automatique et de l'électrotechnique. Ce travail porte sur la faisabilité de ce type de commande sur l'ensemble de la plage de vitesse et pour tout type de machine asynchrone afin d'être utilisée en traction ferroviaire. Une étude poussée de l'observabilité permet de définir une mesure quantitative continue de l'observabilité de la vitesse de la machine, appelée index d'observabilité. La synthèse d'un observateur confirme ainsi la correspondance entre les zones de faible index d'observabilité et celles où l'observation est de mauvaise qualité. L'index d'observabilité défini dans cette thèse permet donc de prédire les performances d'observation d'un système. L'originalité principale des travaux présentés tient dans l'utilisation de cet index d'observabilité dans la commande de la machine asynchrone sans capteur mécanique de vitesse. En tirant profit du degré de liberté qu'offre la variation d'amplitude du flux, nous proposons de garantir un index d'observabilité au-dessus d'un seuil tout en respectant les autres contraintes de la commande. L'observation de la vitesse devient alors précise sur toute la plage de vitesse, et un fonctionnement long est possible en tout point sans perturber le couple réalisé. Des expérimentations sur simulateur numérique viennent confirmer ces résultats, y compris lors de phases de patinage. L'observation des paramètres électriques est également étudiée afin de garantir la précision de l'observation de vitesse. Pour cela, la sensibilité de l'observation de vitesse aux variations de paramètres électriques et l'observabilité de ces paramètres sont étudiées, permettant de définir une nouvelle stratégie d'observation des paramètres électriques. Des essais sur banc de puissance, puis en application réelle sur un train régional, valident les performances de la commande sans capteur de vitesse proposée sur toute la plage de vitesse, et son adéquation aux contraintes d'une application ferroviaire. / The problem of speed sensorless control of induction machine is a well-studied problem in the field of automatic control and electrical engineering. This work addresses the problem of the feasibility of induction machine control over the whole speed range and for any type of induction machine, aiming at being used in a railway application. An intensive study of observability has defined a continuous quantitative measurement of the speed observability, named observability index. An observer was developped to confirme the correspondence between low-observability index areas and poor observation quality. The observability index defined in this thesis is thus a way to predict the observation performance of systems. The main originality of the work presented in this thesis is the use of this observability index in the induction machine speed sensorless drive. By taking advantage of the degree of freedom given by the variation of the flux amplitude, we propose to guarantee the observability index value above a given threshold while respecting the other constraints of the control. The speed observation becomes precise over the entire speed range, and a long time operation is possible on any point, without interfering with torque regulation. Experiments on real-time simulator confirm these results, including when slipping and sliding occurs. The electrical parameter observation is also studied to ensure the accuracy of speed observation. For this, the sensitivity of the speed observation to electrical parameter variations and the observability of these parameters are studied, leading to the definition of the electrical parameter observation strategy. The testings on power bench, and in real application on a regional train, validate the performance of the speed sensorless drive proposed on the entire speed range, and its suitability to the constraints of a railway application.