Ingeniero Civil Matemático / Sea $X$ un evtlc y $\Phi$ una función convexa, semicontinua inferior y propia en $X$. Dados $\lambda\in\R$ y $\delta\geq 0$, se prueba que para $\overline{x}\in S_\lambda:=[\Phi\leq\lambda]$ se cumple la fórmula \begin{equation} N^\delta_{S_\lambda}(\overline{x})=\sigma^*-\limsup_{\substack{\mu(\epsilon-\Phi(\overline{x})+\lambda)\to \delta \\ \mu\geq 0}}\mu\partial_\epsilon\Phi(\overline{x}), \label{sis} \tag{$\star$} \end{equation} sin necesidad de condiciones de calificación. En espacios de Banach, se recupera una fórmula para el cono normal que involucran el subdiferencial de Fenchel exacto, pero en puntos cercanos a $\overline{x}$. En el caso que el punto $\overline{x}$ satisfaga la condición de calificación de Slater, se extiende la validez de fórmulas conocidas en espacios de Banach a los evtlc. Se analiza el caso del cono normal a una intersección finita de conjuntos de subnivel. Se estudia qué es el lado derecho de \eqref{sis} en el caso que $\overline{x}\notin S_\lambda$ y $S_\lambda\neq\phi$, y el caso $S_\lambda=\phi$, para $\delta=0$. Por polaridad se muestra una caracterización del cono tangente a $S_\lambda$, cuando $\lambda=\Phi(\overline{x})$. Se ve una condición necesaria y suficiente de optimalidad para un problema de optimización convexa. Por último, por medio de \eqref{sis}, se muestra la semicontinuidad exterior de un operador, y se utiliza este hecho para probar una propiedad asintótica de un sistema dinámico de segundo orden que involucra al operador.

This thesis describes the Delta-Normal method of computing Value-at-Risk. The advantages and disadvantages of the Delta-Normal method compared to the Historical and Monte Carlo method of computing Value-at-Risk are discussed. The Delta-Normal method of computing Value-at-Risk is compared with the Historical Simulation method of Value-at-Risk using an implementation of portfolio consisting of ten stocks for 400 time intervals. Based on the normality of the distribution of the portfolio risk factors, Delta-Normal would be suitable if the distribution is normal and Historical Simulation method of calculating Value-at-Risk would be ideally suited if the distribution is non-normal.

<p>Riskvärdering har under 90-talet blivit ett allt mer medvetet begrepp. Ett populärt instrument vid riskvärdering är Value at Risk då denna modell skapar ett gemensamt riskmått för olika typer av portföljer och derivat. VaR mäter den maximala värdeförändringen för en portfölj där sannolikheten och tidshorisonten är förutbestämd. I uppsatsen har en konfidensnivå på 95 procent antagits vilket medför att de verkliga förlusterna ska överstiga VaR en gång av tjugo.</p><p>Icke-linjära instrument, såsom optioner, är svåra att riskvärdera då dess pris förändras oproportionerligt gentemot dess underliggande. För att beräkna VaR kan flertalet modeller appliceras och dessa har olika egenskaper.</p><p>Det är därför av intresse att ta reda på om Delta-Normal metoden, Monte Carlo simulering och Historisk simulering ger samma svar vid riskvärdering av optioner. Vidare syftar denna uppsats till att söka svar på om dessa tre VaR-modeller ger ett tillfredsställande resultat på 95 procentig konfidensnivå. För att få svar på dessa funderingar har vi i empiriavsnittet genomfört två hypotesprövningar.</p><p>Den första slutsatsen som kan dras av undersökningen är att det inte går att skilja på det VaR som Delta-Normal metoden och Historisk simulering tagit fram. Vid ett hypotestest för proportioner blev resultatet att endast för Monte Carlo simuleringen kunde inte nollhypotesen förkastas. Detta innebär att det finns stöd för att de verkliga förlusterna överstiger Monte Carlo simuleringens beräknade VaR en gång av tjugo.</p>

Riskvärdering har under 90-talet blivit ett allt mer medvetet begrepp. Ett populärt instrument vid riskvärdering är Value at Risk då denna modell skapar ett gemensamt riskmått för olika typer av portföljer och derivat. VaR mäter den maximala värdeförändringen för en portfölj där sannolikheten och tidshorisonten är förutbestämd. I uppsatsen har en konfidensnivå på 95 procent antagits vilket medför att de verkliga förlusterna ska överstiga VaR en gång av tjugo. Icke-linjära instrument, såsom optioner, är svåra att riskvärdera då dess pris förändras oproportionerligt gentemot dess underliggande. För att beräkna VaR kan flertalet modeller appliceras och dessa har olika egenskaper. Det är därför av intresse att ta reda på om Delta-Normal metoden, Monte Carlo simulering och Historisk simulering ger samma svar vid riskvärdering av optioner. Vidare syftar denna uppsats till att söka svar på om dessa tre VaR-modeller ger ett tillfredsställande resultat på 95 procentig konfidensnivå. För att få svar på dessa funderingar har vi i empiriavsnittet genomfört två hypotesprövningar. Den första slutsatsen som kan dras av undersökningen är att det inte går att skilja på det VaR som Delta-Normal metoden och Historisk simulering tagit fram. Vid ett hypotestest för proportioner blev resultatet att endast för Monte Carlo simuleringen kunde inte nollhypotesen förkastas. Detta innebär att det finns stöd för att de verkliga förlusterna överstiger Monte Carlo simuleringens beräknade VaR en gång av tjugo.

none

Bakgrund: I och med att Basel II har instiftats i Sverige så måste finansiella institutioner beräkna sin marknadsrisk på sina portföljer. Detta kan göras genom olika VaR metoder. Dessa ger dock olika uppskattningar på marknadsrisken. De finansiella instituten får använda sig av den metod som de anser reflektera marknadsrisken bäst. Det finns dock ingen metod som utsetts till standard. Syfte: Syftet med detta arbete är att jämföra olika VaR-metoders skattning av marknadsrisken utifrån verkligt utfall, för att urskilja vilken metod som är funktionsdugligast. Avgränsningar: Denna undersökning inkluderar fyra olika VaR metoder. Dessa är Historisk Simulation, Delta-Normal, RiskMetrics och GARCH(1,1). VaR metoderna kommer att undersökas på portföljer som endast består av svenska aktier noterade på Stockholmsbörsens Large-, Mid- eller Small Cap lista. Metod: Vi har konstruerat fyra olika portföljer som vi sedermera har beräknat VaR för mellan 1998-04-01 t.o.m. 2008-04-01. Dessa uppskattningar har sedermera jämförts, m.h.a. backtesting, med det verkliga utfallet för portföljerna. Utifrån detta har vi analyserat vilken form av metod som är funktionsdugligast. Resultat, slutsatser: Vi kan konstatera att ingen av de metoder som vi har undersökt är godkända enligt vår backtesting. Om vi bortser från detta så verkar RiskMetrics vara funktionsdugligast då denna metod innehar få överträdelser och uppskattar marknadsrisken på ett effektivt sätt. Detta samtidigt som RiskMetrics är stabilast under hela undersökningsperioden.

<p>Bakgrund: I och med att Basel II har instiftats i Sverige så måste finansiella institutioner beräkna sin marknadsrisk på sina portföljer. Detta kan göras genom olika VaR metoder. Dessa ger dock olika uppskattningar på marknadsrisken. De finansiella instituten får använda sig av den metod som de anser reflektera marknadsrisken bäst. Det finns dock ingen metod som utsetts till standard.</p><p>Syfte: Syftet med detta arbete är att jämföra olika VaR-metoders skattning av marknadsrisken utifrån verkligt utfall, för att urskilja vilken metod som är funktionsdugligast.</p><p>Avgränsningar: Denna undersökning inkluderar fyra olika VaR metoder. Dessa är Historisk Simulation, Delta-Normal, RiskMetrics och GARCH(1,1). VaR metoderna kommer att undersökas på portföljer som endast består av svenska aktier noterade på Stockholmsbörsens Large-, Mid- eller Small Cap lista.</p><p>Metod: Vi har konstruerat fyra olika portföljer som vi sedermera har beräknat VaR för mellan 1998-04-01 t.o.m. 2008-04-01. Dessa uppskattningar har sedermera jämförts, m.h.a. backtesting, med det verkliga utfallet för portföljerna. Utifrån detta har vi analyserat vilken form av metod som är funktionsdugligast.</p><p>Resultat, slutsatser: Vi kan konstatera att ingen av de metoder som vi har undersökt är godkända enligt vår backtesting. Om vi bortser från detta så verkar RiskMetrics vara funktionsdugligast då denna metod innehar få överträdelser och uppskattar marknadsrisken på ett effektivt sätt. Detta samtidigt som RiskMetrics är stabilast under hela undersökningsperioden.</p>