Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas, Florianópolis, 2013 / Made available in DSpace on 2013-12-05T23:11:54Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013 / A análise e síntese de sistemas lineares sujeitos a perturbações limitadas tem interesse na teoria de controle, pois vários fenômenos físicos podem ser representados ou aproximados sob esta forma. Em particular, no caso de sistemas com entradas de controle sujeitas a uma classe de não-linearidades, pertencentes a uma faixa de operação, o sistema de controle pode ser aproximado por um sistema linear com perturbação limitada. Além disso, é possível adaptar este problema para tratar o caso de sistemas de controle com atraso no tempo, sujeitos a perturbações aditivas. Neste e em outros casos, a modelagem do sistema sujeito a perturbações limitadas é interessante para o desenvolvimento de ferramentas teóricas e de cálculo para a análise e síntese destes sistemas de controle. Neste caso, devido à presença de perturbações persistentes, é interessante observar a convergência das trajetórias dos estados do sistema a uma região próxima da origem. A partir desse contexto, são propostas no trabalho condições LMIs para análise e síntese de sistemas lineares, em tempo contínuo e discreto, sujeitos a perturbações limitadas, as quais podem ser representadas sob uma forma politópica. Assim, deseja-se encontra um conjunto elipsoidal invariante, que é atrator para os estados do sistema, e uma matriz de ganhos de malha fechada, a fim de se encontrar uma solução para o problema de controle. Serão apresentados alguns exemplos numéricos, no intuito de demonstrar a utilidade de aplicação dos resultados propostos. <br> / Abstract: The analysis and synthesis of linear systems subject to bounded disturbances is important in control theory because various physical phenomena can be represented or approximated in such form. In particular, in the case of systems with control inputs subject to certain nonlinearity classes and evolving in a determined region of operation, the control system can be approximated by a linear system with bounded additive disturbances. Furthermore, it is possible to adapt this problem to treat the case of control systems with time delays subject to additive disturbances. In this and other cases, the modeling of systems subject to bounded disturbances is fundamental to the development of theoretical and computational tools for the analysis and synthesis of control systems. Due to the presence of persistent disturbances, it is interesting to observe the convergence of the trajectories of the system towards a region near the origin. In this context, the present work establishes LMI conditions for the analysis and synthesis of continuous and discrete time linear systems subject to bounded disturbances that are represented in a polytopic form. Thus, it is desired to find an ellipsoidal invariant set, which is an attractor for the system, and a state feedback gain matrix, in order to find a solution to the control problem. Some examples are presented in order to illustrate the utility of the proposed results.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2018. / Submitted by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-07-12T19:56:22Z No. of bitstreams: 1 2018_HenriqueRennóZanata.pdf: 483481 bytes, checksum: ff042c7e9956f29cd0ab4c203aa6e7cb (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-07-14T20:16:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2018_HenriqueRennóZanata.pdf: 483481 bytes, checksum: ff042c7e9956f29cd0ab4c203aa6e7cb (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-14T20:16:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2018_HenriqueRennóZanata.pdf: 483481 bytes, checksum: ff042c7e9956f29cd0ab4c203aa6e7cb (MD5) Previous issue date: 2018-07-06 / Kirchhoff estacionárias em um domínio limitado Ω ⊂R^Ne uma classe de equações de Kirchhoff- Schrödinger estacionárias em R^2. A primeira envolve uma espécie de competição entre termos côncavo e convexo perto da origem e crescimento arbitrário no infinito. A segunda envolve crescimento exponencial crítico no sentido da desigualdade de Trudinger-Moser. / Ibno uthnids ewdo drko,m waein a Ωpp layn vda ari actiloanssa l omf estthaotidosn atroy sKtuirdcyh hao cffl-aSscsh oröf dsitnagtieorn aerqyu aKtiirocnhsh oinff .e qTuhaet ifoirnsst ionn ea involves a sort of competition between concave and convex terms near the origin and arbitrary growth at infinity. The second one involves critical exponential growth at infinity in the sense of Trudinger-Moser inequality.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-04-25Bitstream added on 2014-06-13T19:55:33Z : No. of bitstreams: 1 gaggfilho_la_me_ilha.pdf: 3131916 bytes, checksum: 6bc40667bc0804d4b0e78df38c549d5b (MD5) / Este trabalho estuda diversas estratégias de controle semi-ativo para a redução de vibração em suspensões veiculares empregando amortecedores magnetoreológicos (MR). A modelagem do amortecedor MR é feita utilizando o modelo de Bouc-Wen modificado. A fim de entender o princípio de funcionamento de um amortecedor MR, uma análise dinâmica é conduzida. Nesta análise o comportamento não linear do amortecedor MR é caracterizado através de laços histeréticos. Quando incorporado ao modelo da suspensão de ¼ de carro, outros efeitos não lineares são evidenciados. Compreendido o comportamento de todo o modelo da suspensão semi-ativa, diversos controladores são estudados e projetados. Este trabalho pode ser dividido em duas frentes. A primeira é o projeto de controladores via LMIs, que possuem uma formulação sólida e permitem o projeto de controladores com altos índices de desempenho. A segunda é o projeto de controladores nebulosos, cuja formulação teórica sobre estabilidade ainda encontra dificuldades, entretanto, é muito utilizada e tem experimentado grandes avanços devido a sua fácil implementação. O controlador nebuloso utilizado neste trabalho foi projetado por um processo automático através da otimização por algoritmo genético. Todos os controladores projetados neste trabalho são comparados com as estratégias de controle passivo. Outras comparações também foram realizadas com o controle semi-ativo utilizando um controlador LQR e um controlador nebuloso do tipo Mamdani sem otimização. Simulações numéricas com diversas excitações de entrada foram conduzidas. O trabalho termina demonstrando a superioridade do controle nebuloso via algoritmo genético e sua potencialidade para o futuro. Houve destaque também para o controlador que reduz a norma H2 via LMI. / This work studies several semi-active control strategies for vibration attenuation in vehicle suspensions employing magnetorheological dampers (MR). The modeling of MR damper is made using the Bouc-Wen modified model. In order to understand the principle of operation of an MR damper, a dynamic analysis is conducted. In this analysis the nonlinear behavior of the MR damper is characterized by hysteretic loops. When it is incorporated into the ¼ car suspension model, other nonlinear effects are evident. After this study, different controllers are designed. This work can be divided into two phases. The first one applies controllers projected via by LMIs, which has a solid formulation and allows high performances to the controllers. The second one uses a fuzzy controller, whose theoretical formulation on stability still faces difficulties. However, it is widely used and has been demonstrating great advances due to its easy implementation. The fuzzy controller used in this work was designed by an automatic process through optimization by genetic algorithm. All controllers projected are compared with passive control strategies. Other comparisons were also performed with semi-active control using a LQR controller and a Mamdani fuzzy controller without optimization. Numerical simulations with different input excitations were conducted. The work ends up demonstrating the superiority of the fuzzy controller with genetic algorithm and its potential for the future. There was also a highlight for the controller that reduces the H2 norm by LMIs.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:31Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-05-24Bitstream added on 2014-06-13T18:49:29Z : No. of bitstreams: 1 manesco_rm_me_ilha.pdf: 1114845 bytes, checksum: 86414a871a4a2dd233af7709965f2bb3 (MD5) / Este trabalho trata do problema de estabilização robusta e de novas técnicas de otimização robusta de sistemas lineares contínuos no tempo sujeitos a incertezas politópicas no modelo. Todo trabalho é fundamentado em leis de controle por realimentação estática de saída. As técnicas de projetos apresentam condições suficientes na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para Linear Matrix Inequalities), formuladas com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Além do mais, índices de desempenho como a taxa de decaimento também são considerados no modelo, visto que, garantir apenas a estabilidade nem sempre é suficiente para fins de engenharia. As modelagens LMIs são realizadas através de lemas largamente utilizados em diversas áreas de sistema de controle, como, por exemplo, o lema de Finsler, que permite o uso tanto de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros (PDLF, acrônimo inglês para Parameter-Dependent Lyapunov Function) quanto o uso de LMIs clássicas baseadas na existência de uma função de Lyapunov quadrática comum (CQLF, acrônimo inglês para Common Quadratic Lyapunov Function) para assegurar a estabilidade assintótica dos sistemas. Comparações entre ambos os métodos de projeto foram realizadas, e o presente trabalho apresenta resultados menos conservadores na maior parte das ocasiões, isto é, na maioria das vezes os problemas podem ser solucionados com PDLFs e não com CQLFs. Ainda, é proposta neste trabalho uma nova técnica para otimização da norma de controladores de saída e comparações são realizadas entre os métodos como forma de verificar a sua eficácia. O desafio deste trabalho consiste em realizar projetos de controladores robustos via LMIs através da realimentação estática de saída que fossem passíveis de implementação... / This thesis addresses the problem of robust stabilization and robust new optimization techniques for continuous-time linear systems subject to polytopic uncertainties in the model. All work is based on static output feedback control laws. The text presents sufficient conditions for control projects in the form of Linear Matrix Inequalities (LMIs), formulated in terms of the Lyapunov stability theory. Moreover, performance indices as decay rate are also considered in the model, since only ensure stability is not always sufficient for engineering purposes. The modeling is performed using LMIs widely used lemmas in several areas of control systems , such as, for example, the Lemma of Finsler, which allows the use of Parameters Dependent Lyapunov Functions (PDLFs) as the use of classic LMIs based on the existence of a Common Quadratic Lyapunov Functions (CQLFs) to ensure asymptotic stability of the systems. Comparisons between the two design methods were performed, and the present work shows less conservative results on most occasions, in other words, the problems can be solved with PDLFs and not with CQLFs in most cases. Still, this work proposes a new technique for optimizing the norm of output controllers and comparisons are made between the methods as a way to verify its effectiveness. The challenge of this work was to carry out robust controllers designs based on LMIs through static output feedback that could be implemented on a real physical system subject to failure. Thus, simulations were made and the designed output controllers were implemented in a 3-DOF (Degrees Of Freedom) helicopter bench of Quanserr trademark, always seeking alternative controllers with better performance and lower norm that... (Complete abstract click electronic access below)

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:32Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-08-23Bitstream added on 2014-06-13T18:07:12Z : No. of bitstreams: 1 000739809.pdf: 4366704 bytes, checksum: 7b91676847d065a319125291de36dfeb (MD5) / Neste trabalho foi aplicado um método para detecção de falhas utilizando-se filtros H'infinito', no helicóptero de bancada 3-DOF e no servomotor Shake table II, equipamentos da Quanser R . Para o helicóptero foram impostos dois tipos de falhas. No primeiro caso, foi projetado um filtro H'infinito' para a detecção de falha no motor traseiro da aeronave. No segundo caso, foi projetado um filtro H'infinito' para a detecção de falhas no sensor do ângulo de viagem, considera-se ainda que o modelo do helicóptero possui uma incerteza do tipo politópica. Nos dois casos, o helicóptero também está sujeito a uma perturbação exógena. Para o servomotor Shake table II foi projetado um filtro H'infinito' para a detecção de falha no atuador. A metodologia se mostra eficiente na prática para os tipos de falhas impostas. / In this work, it was implemented a method for fault detection via H'infinit' filters in a 3-DOF helicopter model and a servomotor Shake table II, facilities from Quanser R . For the helicopter were imposed two types of faults. In the first case, an H'infinit' filter was designed for the fault detection in the back motor of the aircraft. In the second case, an H'infinit' filter was designed for the fault detection in the sensor travel angle, also considering that the helicopter model has a polytopic uncertainty. In both cases, the helicopter is also subjected to an exogenous disturbance. For the servomotor Shake table II an H'infinit' filter was designed for the fault detection in the actuator. The methodology was efficient for these faults imposed.

Orientador: Vicente Lopes Júnior / Coorientador: Gustavo Luiz Chagas Manhães de Abreu / Banca: Michael John Brennan / Banca: Paulo Roberto Gardel Kurka / Resumo: Este trabalho estuda diversas estratégias de controle semi-ativo para a redução de vibração em suspensões veiculares empregando amortecedores magnetoreológicos (MR). A modelagem do amortecedor MR é feita utilizando o modelo de Bouc-Wen modificado. A fim de entender o princípio de funcionamento de um amortecedor MR, uma análise dinâmica é conduzida. Nesta análise o comportamento não linear do amortecedor MR é caracterizado através de laços histeréticos. Quando incorporado ao modelo da suspensão de ¼ de carro, outros efeitos não lineares são evidenciados. Compreendido o comportamento de todo o modelo da suspensão semi-ativa, diversos controladores são estudados e projetados. Este trabalho pode ser dividido em duas frentes. A primeira é o projeto de controladores via LMIs, que possuem uma formulação sólida e permitem o projeto de controladores com altos índices de desempenho. A segunda é o projeto de controladores nebulosos, cuja formulação teórica sobre estabilidade ainda encontra dificuldades, entretanto, é muito utilizada e tem experimentado grandes avanços devido a sua fácil implementação. O controlador nebuloso utilizado neste trabalho foi projetado por um processo automático através da otimização por algoritmo genético. Todos os controladores projetados neste trabalho são comparados com as estratégias de controle passivo. Outras comparações também foram realizadas com o controle semi-ativo utilizando um controlador LQR e um controlador nebuloso do tipo Mamdani sem otimização. Simulações numéricas com diversas excitações de entrada foram conduzidas. O trabalho termina demonstrando a superioridade do controle nebuloso via algoritmo genético e sua potencialidade para o futuro. Houve destaque também para o controlador que reduz a norma H2 via LMI. / Abstract: This work studies several semi-active control strategies for vibration attenuation in vehicle suspensions employing magnetorheological dampers (MR). The modeling of MR damper is made using the Bouc-Wen modified model. In order to understand the principle of operation of an MR damper, a dynamic analysis is conducted. In this analysis the nonlinear behavior of the MR damper is characterized by hysteretic loops. When it is incorporated into the ¼ car suspension model, other nonlinear effects are evident. After this study, different controllers are designed. This work can be divided into two phases. The first one applies controllers projected via by LMIs, which has a solid formulation and allows high performances to the controllers. The second one uses a fuzzy controller, whose theoretical formulation on stability still faces difficulties. However, it is widely used and has been demonstrating great advances due to its easy implementation. The fuzzy controller used in this work was designed by an automatic process through optimization by genetic algorithm. All controllers projected are compared with passive control strategies. Other comparisons were also performed with semi-active control using a LQR controller and a Mamdani fuzzy controller without optimization. Numerical simulations with different input excitations were conducted. The work ends up demonstrating the superiority of the fuzzy controller with genetic algorithm and its potential for the future. There was also a highlight for the controller that reduces the H2 norm by LMIs. / Mestre

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-04T18:00:00Z No. of bitstreams: 1 2014_JamerInsupeRoldanGonzales.pdf: 823215 bytes, checksum: ff34501bb90f494ad35535e0cd68aec7 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-04T12:38:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_JamerInsupeRoldanGonzales.pdf: 823215 bytes, checksum: ff34501bb90f494ad35535e0cd68aec7 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-04T12:38:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_JamerInsupeRoldanGonzales.pdf: 823215 bytes, checksum: ff34501bb90f494ad35535e0cd68aec7 (MD5) / Os principais resultados desta dissertação são baseados no artigo de M. Aizenman, D. J. Barsky, e R. Fernández intitulado: The Phase Transition in a Geral Class of Ising-Type Models is Sharp. O objetivo central é mostrar a prova de dois teoremas: O primeiro (na ordem do artigo) mostra que, numa classe geral de modelos de spins (tipo Ising estão incluídos), a temperatura crítica para susceptibilidade e para a magnetização coincidem. O segundo teorema, que implica o primeiro, estabelece importantes desigualdades diferenciais nessa classe geral de modelos, que em no casso do modelo de spins de Ising é dada por M ≤ βh× +M3 + βM2 σM/σβ. Também mostramos a prova da desigualdade de Simon-Lieb baseada no artigo de B. Simon intitulado: Correlation inequalities and the decay of correlations in ferromagnets. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main results of this master’s thesis are based on the M. Aizenman, D. J. Barsky, and R. Fernández’s paper named: The Phase Transition in a Geral Class of Ising-Type Models is Sharp. The aim is to present the proof of two theorems: the first one states that in a general class of spins models (Ising type are included), the critical temperature for susceptibility and magnetization are the same. The second theorem, which implies the first one, is about certain di_erential inequalities for that general class of models, which in the Ising model reads M ≤ βh× +M3 + βM2 σM/σβ. We also show the proof of the Simon-lieb inequality based on the paper by B. Simon whose title is: Correlation inequalities and the decay of correlations in ferromagnets.

Orientador: Antônio Carlos Patrocinio / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T12:22:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pereira_JaksonDaCruz_M.pdf: 1462332 bytes, checksum: 393b1f36be156bf1cdedb16da1cc3fcd (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O presente trabalho se dedica ao estudo das médias aritmética, geométrica e harmônica. Inicialmente, definimos cada uma das médias e trabalhamos suas aplicações através da resolução de problemas. Posteriormente destacamos as desigualdades entre as médias e suas aplicações / Abstract: This dissertation is dedicated to the study of the arithmetic, geometric and harmonic means. Initially, we defined each of the means and applied its uses through problem resolution. Afterwards, we gave emphasis to the inequalities between the means and its uses / Mestrado / Matemática em Rede Nacional / Mestre em Matemática em Rede Nacional

Orientador: Marcelo Minhoto Carvalho Teixeira / Banca: Edvaldo Assunção / Banca: Vilma Alves de Oliveira / Banca: Leonardo Amaral Mozelli / Banca: Edson Italo Mainardi Junior / Resumo: Neste trabalho são apresentadas duas novas propostas de condições de estabilidade para sistemas não lineares descritos através de modelos fuzzy Takagi-Sugeno (TS) baseadas em funções de Lyapunov fuzzy (FLF). A primeira proposta e baseada na determinação algébrica do hiper-retângulo composto pelo conjunto fechado das derivadas temporais das funções de pertinência de sistemas fuzzy TS e é formulada em termos de desigualdades matriciais lineares, em inglês Linear Matrix Inequalities (LMIs). A segunda proposta é baseada na obtenção também algébrica, de um politopo formado pela interseção do hiper-plano das derivadas temporais das funções de pertinência com o hiper-retângulo. são propostos dois teoremas que fornecem condições necessárias e suficientes para esse problema de estabilidade. Exemplos, utilizando o software MATLAB, ilustram os resultados numéricos, mostrando que o hiper-retângulo fornece resultados mais relaxados, no sentido de reduzir o conservadorismo, em relação aos da literatura e a estrutura proposta através de politopos apresenta os mesmos resultados com tempos de execução computacionais consideravelmente menores. Portanto, as propostas apresentadas generalizam as já existentes na literatura, para o estudo da estabilidade assintótica de sistemas não lineares baseados em FLF, para sistemas fuzzy TS / Abstract: This thesis proposes two new stability conditions regarding nonlinear systems des- cribed by Takagi-Sugeno (TS) fuzzy models, based on Fuzzy Lyapunov Functions (FLF). The first result is based on the hyper-rectangle defined by the closed set of the time deriva- tives of the membership functions of TS fuzzy systems, and is described by a set of Linear Matrix Inequalities (LMIs). The second result is based on the obtention of a polytope composed by the intersection of the hyperplane of the time derivatives of the membership functions with the hyper-rectangle. Two proposed theorems offer necessary and sufficient conditions for this stability problem. Examples, using the MATLAB software, illustrate the numerical results and show that the hyper-rectangle allows the reduction of the con- servatism of the stability analysis considering similar results available in the literature and with the polytope it is possible to obtain the same results with a smaller computati- onal time. Therefore, the proposed methods generalize previous results about asymptotic stability available in the literature, for nonlinear systems described by TS fuzzy models, based on FLF / Doutor

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:49Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-10-25Bitstream added on 2014-06-13T19:46:56Z : No. of bitstreams: 1 yoshimura_vl_dr_ilha.pdf: 20355281 bytes, checksum: 3940d4cd88accd5b22ddd0f62457078b (MD5) / Este trabalho aborda os Sistemas Chaveados Afins, em particular com questões de desempenho e observação de estado. Inicialmente, uma revisão do estado da arte foi realizada, que contém uma observação quanto à possibilidade de não existência de pontos de equilíbrio. Devido a esse fato, uma extensão das definições de estabilidade foi utilizada. Em seguida, questões geométricas foram levantadas para Sistemas Chaveados Lineares e, posteriormente estendidas para os Afins. Estas questões geométricas possibilitaram a verificação de alterações nas leis de chaveamento de forma a beneficiar o desempenho do sistema. Com a inserção da taxa de convergência garantida nas Desigualdades Matriciais Lineares existentes em trabalhos anteriores, chegou-se ao estabelecimento dos parâmetros de desempenho a serem aperfeiçoados. Na sequência, a composição de leis de chaveamento foi proposta através duas técnicas: a Função de Lyapunov Quadrática Chaveada e a Função de Lyapunov com Atratores Chaveados. Esta composição mostrou-se eficiente para a busca de um melhor compromisso entre parâmetros de desempenho conflitantes e, com efeito, pode melhorar um e outro parâmetro conflitantes. Por fim, uma técnica para a observação de estado em Sistemas Chaveados Afins foi proposta: o Observador de Luenberger Chaveado. Este observador foi analisado para os casos de reconstrução de estado, controle baseado em observação de estado e controle baseado em observação de estado na presença de modos não-Hurwitz. Para o primeiro caso, relaxações das Desigualdades Matriciais Lineares foram propostas com o uso do Lema da Projeção Recíproca e do Lema de Finsler. Ainda, uma otimização de norma das matrizes de ganho da saída foi feita, com o uso de Desigualdades Matriciais Lineares aplicadas à norma de Frobenius dessas matrizes... / This work deals with the Switched Affine Systems, particularly with their performance and state observation. Initially, a state-of-the-art review was developed, where an important point was raised on the possibility of absence of equilibrium points. This way, the stability concept was slightly modified. Then, geometrical questions were studied for the Switched Linear Systems and, subsequently extended for the Switched Affine Systems. Those geometrical questions allowed the verification of switching law alterations in such a way that their performance was enhanced. Thereofore, with the guaranteed convergence rate insertion in the existent LinearMatrix Inequalities in previous works, performance parameters to be increased were established. Following, a switching law composition method was proposed through two techniques: the Switched Quadratic Lyapunov Function and the Lyapunov Function with Switched Attractors. That composition showed itself efficient in a search for a better trade-off between conflicting performance parameters and, in fact, it may simultaneously enhance them. Finally, a technique for state observation in Switched Affine Systems was proposed: the Switched Luenberger Observer. This observer was analysed for the cases of state reconstruction, observer-based control and observer-based control in the presence of non-Hurwitz modes. For the first case, Linear Matrix Inequalities relaxations were proposed through the usage of the Reciprocal Projection Lemma and the Finsler’s Lemma. Yet, a norm optimization of the output gain matrices was achieved through the usage of Linear Matrix Inequalities applied to the Frobenius norm of those matrices. All the study was done with applications to the control of DC-DC converters, immediate examples of the Switched Affine Systems theory, given their nature