Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we consider two sufficient conditions for the global injectivity of local diffeomorphisms X : R2 → R2 of class C1. The first is based on the spectrum of X, in this case it is enough to consider X differentiable, and the second is known as Palais-Smale Condition. In fact, these conditions ensure the triviality of the foliations in R2 induced by the coordinated functions of X and this guarantees the global injectivity of the map X. Besides discussing the proofs of this results, we exhibit a collection of examples showing that such conditions provide different classes of globally injective maps. / Neste trabalho consideramos duas condições suficientes para que um difeomorfismo local X : R2 → R2, de classe C1, seja globalmente injetivo. A primeira baseada no espectro da aplicação X, neste caso basta considerar X diferenciável, e a segunda é a condição de Palais-Smale. De fato, tais condições garantem a trivialidade das folheações em R2 induzidas pelas funções coordenadas de X e isto garante a injetividade global da aplicação X. Além de apresentar as demonstrações destes resultados, exibimos uma coleção de exemplos que permitem concluir que tais condições estabelecem classes distintas de aplicações globalmente injetivas. / Mestre em Matemática

Nós estudaremos o comportamento de difeomorfismos do círculo, tanto do ponto de vista combinatório quanto do ponto de vista topológico e da teoria da medida, seguindo os trabalhos de Michael Herman. A cada homeomorfismo do círculo podemos associar um número real positivo, denominado número de rotação. Mostraremos que existe um conjunto de números irracionais de medida de Lebesgue total na reta tal que, se f é um difeomorfismo do círculo de classe \'C POT. r \' que preserva a orientação, com r maior ou igual a 3 e com número de rotação nesse conjunto, então f é pelo menos \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional. Além disso, mostraremos que dado um caminho \'f IND. t\' de classe \'C POT. 1\' definido em um intervalo [a;b] no conjunto dos difeomorfismos do círculo de classe \'C POT. r\' que preservam a orientação, com r maior ou igual a 3, o conjunto dos parâmetros em que \'f IND. t\' é \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional tem medida de Lebesgue positiva, desde que os números de rotação em \'f IND. a\' e \'f IND. b\' sejam distintos / We will study the generic behavior of circle diffeomorphisms, in the combinatorial, topological and measure-theoretical sense, following the work of Michael Herman. To each order preserving homeomorphism of the circle we can associate a positive real number, called rotation number, which is invariant under conjugacy. We will show that there is a set of irrational numbers with full Lebesgue measure on R such that, if f is a circle diffeomorphism of class \'C POT. r\', with r greater or equal 3 and with rotation number in that set, then f is at least \'C POT. r - 2\' -conjugated to an irrational translation. Moreover, we will show that if ft is a \'C POT. 1\' -path defined on a interval [a;b] over the set of the circle diffeomorphisms orientation preserving, with r \'> or =\' 3, then the set of parameters where \'f IND. t\' is \'C POT. r - 2\' -conjugated to a irrational translation has positive Lebesgue measure, since the rotation numbers of \'f IND. a\' and \'f IND. b\' are distinct

Neste trabalho nós estudamos os expoentes de Lyapunov de aplicações f : Td → Td homotópicas a uma aplicação Anosov linear e a continuidade absoluta de folheações. Nós mostramos para algumas classes de homotopia de aplicações que a soma dos expoentes de Lyapunov está limitado pela soma dos expoentes de Lyapunov da aplicação Anosov linear. Além disso, admitindo uma propriedade conhecida como densidade uniformemente limitada (UBD) nas folheações, mostramos uma igualdade entre a soma dos expoentes de Lyapunov de f e do Anosov linear. Também construímos um conjunto C1 aberto de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos do toro T4, preservando volume, com folheação central bidimensional não compacta e não absolutamente contínua. Ainda construímos um exemplo parcialmente hiperbólico com folhas centrais bidimensionais, não compactas onde a desintegração do volume ao longo da folheação central não é nem Lebesgue nem atômica. / In this work we study the Lyapunov exponents of maps f : Td → Td homotopic to a linear Anosov map. We proof for some homotopic classes of maps which the sum of Lyapunov exponents is bounded by the sum of the Lyapunov exponents of the linear Anosov map. Moreover, by assuming a property known as uniformly bounded density (UBD) in the foliations, we show an equality between the sum of the Lyapunov exponents of f and the linear Anosov. We also construct an C1 open set of volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms with non compact two dimensional center foliation and non absolutely continuous. We still build an example of partially hyperbolic diffeomorphism with non compact bidimensional center leaves where the disintegration of volume along the center foliation is neither Lebesgue nor atomic.

Neste trabalho estudamos relações entre expoente de Lyapunov e continuidade absoluta da folheação central para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conservativos de \'T POT. 3\'. Sobre tal tema, provamos que tipicamente (\'C POT. 1\' aberto e \'C POT. 2\' denso) os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos, conservativos de classe \'C POT. 2\' , do toro \'T POT. 3\', apresentam folheação central não absolutamente contínua. Desta maneira, respondemos positivamente uma pergunta proposta em [20]. Também neste trabalho, estudamos entropia topológica para Sistema Iterado de Funções. Neste contexto, damos uma nova demonstração para uma conjectura proposta em [14] e provada primeiramente em [15]. Apresentamos um método geométrico que nos permite calcular entropia para transformações de \'S POT. 1\', como em [15]. Além de disso o método apresentado se verifica para casos mais gerais, como por exemplo: transformações não comutativas / In this work we study relations between Lyapunov exponents, absolute continuity of center foliation for conservative partially hyperbolic diffeomorphisms of \'T POT. 3\'. About this theme, (on a \'C POT. 1\' open and \'C POT. 2\'dense set) of conservative partially hyperbolic \'C POT. 2\' diffeomorphisms of the 3-torus presents non absolutely continuous center foliation. So, we answer positively a question proposed in [20]. Also in this work, we study topological entropy for Iterated Functions Systems. In this setting, we give a proof for a conjecture proposed in [14] and firstly proved in [15]. We present a geometrical method that allows us to calcule the entropy for transformations of \'S POT. 1\', like in [15]. Furthermore this method holds for more general cases, for example: non commutative transformations

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Mostraremos que é possível aproximar um difeomorfismo simplético com derivada contínua por um difeomorfismo simplético, infinitamente diferenciáveis, sobre uma variedade simplética compacta. Além disso, provamos o Teorema de Darboux e Moser.

Neste trabalho estudamos relações entre expoente de Lyapunov e continuidade absoluta da folheação central para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conservativos de \'T POT. 3\'. Sobre tal tema, provamos que tipicamente (\'C POT. 1\' aberto e \'C POT. 2\' denso) os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos, conservativos de classe \'C POT. 2\' , do toro \'T POT. 3\', apresentam folheação central não absolutamente contínua. Desta maneira, respondemos positivamente uma pergunta proposta em [20]. Também neste trabalho, estudamos entropia topológica para Sistema Iterado de Funções. Neste contexto, damos uma nova demonstração para uma conjectura proposta em [14] e provada primeiramente em [15]. Apresentamos um método geométrico que nos permite calcular entropia para transformações de \'S POT. 1\', como em [15]. Além de disso o método apresentado se verifica para casos mais gerais, como por exemplo: transformações não comutativas / In this work we study relations between Lyapunov exponents, absolute continuity of center foliation for conservative partially hyperbolic diffeomorphisms of \'T POT. 3\'. About this theme, (on a \'C POT. 1\' open and \'C POT. 2\'dense set) of conservative partially hyperbolic \'C POT. 2\' diffeomorphisms of the 3-torus presents non absolutely continuous center foliation. So, we answer positively a question proposed in [20]. Also in this work, we study topological entropy for Iterated Functions Systems. In this setting, we give a proof for a conjecture proposed in [14] and firstly proved in [15]. We present a geometrical method that allows us to calcule the entropy for transformations of \'S POT. 1\', like in [15]. Furthermore this method holds for more general cases, for example: non commutative transformations

As famílias Anosov foram introduzidas por P. Arnoux e A. Fisher, motivados por generalizar a noção de difeomorfismo de Anosov. A grosso modo, as famílias Anosov são sequências de difeomorfismos (fi)i&#8712Z definidos em uma sequencia de variedades Riemannianas compactas (Mi)i&#8712Z, em que fi: Mi ->Mi+1 para todo i &#8712 Z, tal que a composição fi+no· · ·ofi, para n >=1, tem comportamento assintoticamente hiperbólico. Esta noção é conhecida como um sistema dinâmico não-estacionário ou um sistema dinâmico não-autônomo. Sejam M a união disjunta de cada Mi, para i &#8712 Z, e Fm(M) o conjunto consistente das famílias de difeomorfismos (fi)i&#8712Z de classe Cm definidos na sequência (Mi)i&#8712Z. O propósito principal deste trabalho é mostrar algumas propriedades das famílias Anosov. Em particular, mostraremos que o conjunto destas famílias é aberto em Fm(M), em que Fm(M) é munido da topologia forte (ou topologia Whitney); a estabilidade estrutural de certa classe de famílias Anosov, considerando conjugações topológicas uniformes; e várias versões para os Teoremas de variedades estáveis e instáveis. Os resultados que serão apresentados aqui generalizam alguns outros resultados obtidos em Sistemas Dinâmicos Aleatórios, os quais serão mencionados ao longo do trabalho. Além do anterior, será introduzida a entropia topológica para elementos em Fm(M) e mostraremos algumas das suas propriedades. Provaremos que esta entropia é contínua em Fm(M) munido da topologia forte. Porém, ela é descontínua em cada elemento de Fm(M) munido da topologia produto. Também apresentaremos um resultado que pode ser uma ferramenta de muita utilidade no estudo da continuidade da entropia topológica de difeomorfismos definidos em variedades compactas. Finalizaremos o trabalho dando uma lista de problemas que surgiram ao longo desta pesquisa e que serão analisados em um trabalho futuro. / Anosov families were introduced by P. Arnoux and A. Fisher, motivated by generalizing the notion of Anosov dieomorphisms. Roughly, Anosov families are sequences of dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on a sequence of compact Riemannian manifolds (Mi)i&#8712Z, where fi: Mi -> Mi+1 for all i &#8712 Z, such that the composition fi+n o · · · o fi, for n >=1, has asymptotically hyperbolic behavior. This notion is known as a non-stationary dynamical system or a non-autonomous dynamical system. Let M be the disjoint union of each Mi, for each i &#8712 Z, and Fm(M) the set consisting of families of Cm-dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on the sequence (Mi)i&#8712Z. The main goal of this work is to explore some properties of Anosov families. In particular, we will show that the set consisting of these families is open in Fm(M), where Fm(M) is endowed with the strong topology (or Whitney topology); the structural stability of a certain class of Anosov families, considering uniform topological conjugacies; and some versions of stable and unstable manifold theorems. The results that will be presented here generalize some results obtained in Random Dynamical Systems, which will be mentioned throughout the work. In addition to the above mentioned theorems, the topological entropy for elements in Fm(M) will be introduced, and we will show some of its properties. We will prove that this entropy is continuous on Fm(M) endowed with strong topology. However, it is discontinuous at each element of Fm(M) endowed with the product topology. We will also present a result that can be a very useful tool in the study of the continuity of the topological entropy of dieomorphisms dened on compact manifolds. We will nish the work by giving a list of problems that have arisen throughout this research and that will be analyzed in a future work.

As famílias Anosov foram introduzidas por P. Arnoux e A. Fisher, motivados por generalizar a noção de difeomorfismo de Anosov. A grosso modo, as famílias Anosov são sequências de difeomorfismos (fi)i&#8712Z definidos em uma sequencia de variedades Riemannianas compactas (Mi)i&#8712Z, em que fi: Mi ->Mi+1 para todo i &#8712 Z, tal que a composição fi+no· · ·ofi, para n >=1, tem comportamento assintoticamente hiperbólico. Esta noção é conhecida como um sistema dinâmico não-estacionário ou um sistema dinâmico não-autônomo. Sejam M a união disjunta de cada Mi, para i &#8712 Z, e Fm(M) o conjunto consistente das famílias de difeomorfismos (fi)i&#8712Z de classe Cm definidos na sequência (Mi)i&#8712Z. O propósito principal deste trabalho é mostrar algumas propriedades das famílias Anosov. Em particular, mostraremos que o conjunto destas famílias é aberto em Fm(M), em que Fm(M) é munido da topologia forte (ou topologia Whitney); a estabilidade estrutural de certa classe de famílias Anosov, considerando conjugações topológicas uniformes; e várias versões para os Teoremas de variedades estáveis e instáveis. Os resultados que serão apresentados aqui generalizam alguns outros resultados obtidos em Sistemas Dinâmicos Aleatórios, os quais serão mencionados ao longo do trabalho. Além do anterior, será introduzida a entropia topológica para elementos em Fm(M) e mostraremos algumas das suas propriedades. Provaremos que esta entropia é contínua em Fm(M) munido da topologia forte. Porém, ela é descontínua em cada elemento de Fm(M) munido da topologia produto. Também apresentaremos um resultado que pode ser uma ferramenta de muita utilidade no estudo da continuidade da entropia topológica de difeomorfismos definidos em variedades compactas. Finalizaremos o trabalho dando uma lista de problemas que surgiram ao longo desta pesquisa e que serão analisados em um trabalho futuro. / Anosov families were introduced by P. Arnoux and A. Fisher, motivated by generalizing the notion of Anosov dieomorphisms. Roughly, Anosov families are sequences of dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on a sequence of compact Riemannian manifolds (Mi)i&#8712Z, where fi: Mi -> Mi+1 for all i &#8712 Z, such that the composition fi+n o · · · o fi, for n >=1, has asymptotically hyperbolic behavior. This notion is known as a non-stationary dynamical system or a non-autonomous dynamical system. Let M be the disjoint union of each Mi, for each i &#8712 Z, and Fm(M) the set consisting of families of Cm-dieomorphisms (fi)i&#8712Z dened on the sequence (Mi)i&#8712Z. The main goal of this work is to explore some properties of Anosov families. In particular, we will show that the set consisting of these families is open in Fm(M), where Fm(M) is endowed with the strong topology (or Whitney topology); the structural stability of a certain class of Anosov families, considering uniform topological conjugacies; and some versions of stable and unstable manifold theorems. The results that will be presented here generalize some results obtained in Random Dynamical Systems, which will be mentioned throughout the work. In addition to the above mentioned theorems, the topological entropy for elements in Fm(M) will be introduced, and we will show some of its properties. We will prove that this entropy is continuous on Fm(M) endowed with strong topology. However, it is discontinuous at each element of Fm(M) endowed with the product topology. We will also present a result that can be a very useful tool in the study of the continuity of the topological entropy of dieomorphisms dened on compact manifolds. We will nish the work by giving a list of problems that have arisen throughout this research and that will be analyzed in a future work.