Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis está dedicada al estudio del sistema de Boussinesq estacionario: \begin{subequations}\label{sum_sp:eqn_Boussinesq} \begin{equation} -\nu \Delta\vu +(\vu\cdot\nabla)\vu+\nabla \pi=\theta\vg \text{\quad en $\Omega$,}\qquad \div\;\vu=0 \text{\quad en $\Omega$,} \end{equation} \begin{equation} -\kappa \Delta\theta +\vu\cdot\nabla\theta=h \text{\quad en $\Omega$,} \end{equation} \end{subequations} donde $\Omega\subset\R{3}$ es un conjunto abierto, acotado y conexo; $\vu$, $\pi$ y $\theta$ representan el campo de velocidades, la presión y la temperatura del fluido, respectivamente, siendo éstas las incógnitas del sistema; $\nu>0$ es la viscosidad cinemática del fluido, $\kappa>0$ es la difusividad térmica del fluido, $\vg$ es la aceleración de la gravedad y $h$ es una fuente de calor aplicada al fluido. El objetivo de esta tesis es el estudio de la teoría $L^p$ para el sistema de Boussinesq estacionario considerando dos diferentes tipos de condiciones de frontera del campo de velocidades. En efecto, en una primera etapa, se considerará la condición de frontera de Dirichlet no homogéneo \begin{equation}\label{sum_sp:cond_Dirichlet_velocity} \vu=\vub\text{\quad sobre\quad}\Gamma, \end{equation} donde $\Gamma$ denota la frontera del dominio; mientras que en una segunda etapa, el campo de velocidades tendrá prescrito la condición de frontera de Navier no homogéneo \begin{equation}\label{sum_sp:cond_Navier_velocity} \vu\cdot\vn=0,\quad 2\left[\DT(\vu)\vn\right]_{\vt}+\alpha\;\vu_{\vt}=\bm{a},\text{\quad sobre\quad}\Gamma, \end{equation} donde $\DT(\vu)=\frac{1}{2}\left(\nabla\vu+(\nabla\vu)^T\right)$ es el tensor de deformación asociado con el campo de velocidades $\vu$, $\vn$ es el vector normal unitario exterior, $\vt$ es el correspondiente vector unitario tangente, $\alpha$ y $\vNb$ son una función de fricción y un campo vectorial tangencial definidas ambas sobre la frontera. Además, la condición de frontera para la temperatura será, en las dos primeras partes, la condición de frontera de Dirichlet no homogéneo \begin{equation}\label{sum_sp:cond_Dirichlet_temperature} \theta=\thb\text{\quad sobre\quad}\Gamma. \end{equation} Así, en primer lugar, estudiamos la existencia y unicidad de la solución débil para el problema \eqref{sum_sp:eqn_Boussinesq}, \eqref{sum_sp:cond_Dirichlet_velocity} y \eqref{sum_sp:cond_Dirichlet_temperature} en el caso hilbertiano. Además, la existencia de soluciones generalizadas para $p\geq\frac{3}{2}$ y soluciones fuertes para $1<p<\infty$ es probada. También, se estudiará la existencia y unicidad de la solución muy débil. Vale la pena señalar que debido a que la condición de Dirichlet no homogénea es considerada para la velocidad, el hecho de que la frontera del dominio pueda ser no conexa juega un papel importante, ya que aparece de manera explícita en las hipótesis de algunos de los principales resultados. Por otro lado, en la segunda etapa de la tesis, se estudiará la existencia de soluciones débiles en el caso de Hilbert, así como la existencia de soluciones generalizadas para $p>2$ y soluciones fuertes para $p\geq\frac{6}{5}$ para el problema \eqref{sum_sp:eqn_Boussinesq}, \eqref{sum_sp:cond_Navier_velocity} y \eqref{sum_sp:cond_Dirichlet_temperature}. Tenga en cuenta que la suposición hecha anteriormente acerca de la no conexidad de la frontera no aparecerá aquí debido a la restricción de impermeabilidad en la frontera. Finalmente, en la última parte de esta tesis, estudiamos la teoría $L^p$ para las ecuaciones de Stokes con la condición de Navier \eqref{sum_sp:cond_Navier_velocity}. Más precisamente, nos ocuparemos de la regularidad $W^{1,p}$ para $p\geq2$ y la regularidad $W^{2,p}$ para $p\geq\frac{6}{5}$.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En la presente tesis se estudian las distribuciones cuasi-estacionarias para el proceso de Bessel en el intervalo (0,1]. Este proceso corresponde a una difusión uni-dimensional con coeficiente de drift singular en 0, la cual se extingue al llegar a 1. Debido a la naturaleza del problema, se hace un estudio sobre difusiones uni-dimensionales, tocando temas tales como condiciones de explosión, existencia y unicidad. Posteriormente se trata el problema en cuestión. La principal herramienta consiste en una representación espectral adecuada para el núcleo de transición del proceso de Bessel, obtenido a partir del Movimiento Browniano en la bola unitaria que se extingue al llegar a la frontera. Se demuestra que existe una única distribución cuasi-estacionaria para el proceso, que además resulta ser su límite de Yaglom. Se tocan algunos tópicos adicionales sobre el proceso de Bessel tales como su tipo de frontera y operadores diferenciales asociados. Esto dará orientación a una posible generalización de estos resultados a difusiones más generales.

En el ICM (Intemational Congress of Mathematicians) de 1900, Hilbert presenta 23 problemas que establecieron el curso de gran parte de las investigaciones matemáticas del siglo XX. El 21° problema es la existencia de ecuaciones diferenciales lineales, con un grupo de monodromía y singularidades prescritas. Este artículo trata este problema sobre superficies de Riemann no compactas.

Ingeniero Civil Matemático / La velocidad de estabilización de un sistema aleatorio es un problema que ha sido abordado tanto en Física como en Matemáticas. El objetivo de la presente memoria es entender, desde un punto de vista trayectorial, algunas condiciones que aseguran la convergencia exponencial al equilibrio para procesos de difusión degenerados. Además, se desea encontrar nuevas condiciones suficientes para cuantificar esta velocidad de convergencia. Se estudian procesos de difusión de Markov que poseen una única medida invariante y que son solución de ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes suficientemente regulares. Se encuentran, por un lado, la descripción como semimartingala de la derivada de Radon-Nykodim de la ley del proceso respecto a la ley invariante y, por otro lado, la descripción de las derivadas espaciales de ésta. Con esta información se prueba un teorema que da condiciones suficientes para la convergencia exponencial al equilibrio de la ley del proceso, cuando la distribuciones iniciales son suficientemente regulares. Se muestra que con este teorema se pueden obtener condiciones similares a las existentes en la literatura. Por completitud del trabajo, primero se entregan los resultados básicos necesarios para el desarrollo posterior, con énfasis en el enfoque trayectorial de la disipación de entropía desarrollado por Fontbona y Jourdain \cite{F-J} y en los resultados de Villani \cite{VB} sobre convergencia exponencial de algunos procesos de difusión degenerados. A continuación, se muestra como incluir, desde el punto de vista trayectorial, las derivadas de la densidad de Radon-Nykodim de la ley del proceso respecto a su ley invariante. Se estudia la forma en que estas derivadas intervienen en una nueva entropía que cuantifica la convergencia. Esto permite encontrar condiciones basadas sólo en los coeficientes y en la medida de equilibrio, para asegurar decaimiento exponencial de esta nueva entropía. Gracias a esto es posible recuperar algunos de los teoremas de Villani y obtener algunas extensiones.

Ingeniero Civil Matemático / El objetivo central de esta memoria es estudiar un problema inverso geométrico en mecánica de fluidos y realizar un procedimiento de reconstrucción numérica que permita recuperar distintos cuerpos rígidos inmersos en un fluido viscoso, siendo de especial interés el caso de cuerpos no convexos. Para llevar a cabo esta reconstrucción numérica se utiliza el llamado método level set. El método level set fue introducido por S. Osher y J. A. Sethian como un método simple y versátil para calcular y analizar el movimiento de una interface Γ bajo un campo de velocidades V, en dos y tres dimensiones, donde Γ es la frontera de una región Ω. Por otra parte en los problemas inversos geométricos, es decir, problemas donde la incógnita es una forma geométrica, el enfoque estándar para la solución de estos consiste en parametrizar la forma geométrica y aplicar métodos de regularización directamente a la parametrización. Este enfoque sufre de la limitación que para obtener aproximaciones convergentes se tiene que tener un conocimiento a priori de la estructura y topología de la forma geométrica buscada. Por esta razón, recientemente se han considerado enfoques alternativos para la solución de problemas de reconstrucción de formas geométricas, entre ellos el método level set, el cual fue utilizado inicialmente en el procesamiento de imágenes digitales. La presente memoria esta estructurada de la siguiente manera. En el Capítulo 1 se realiza una introducción al trabajo realizado. En el Capítulo 2 se hace una introducción a los problemas inversos, se define el problema inverso geométrico de detección de obstáculos dentro de un fluido y se muestran los resultados de identificabilidad y estabilidad para este problema. En el Capítulo 3 se estudia el método de los elementos finitos y la resolución del problema de Stokes usando dicho método, en donde se muestran el algoritmo de Uzawa y el algoritmo numérico para Stokes usado en esta memoria. En el Capítulo 4 se presenta el método de diferenciación con respecto al dominio, el cual resulta fundamental para posteriormente realizar el cálculo de la primera derivada local del funcional de costo asociado al problema inverso geométrico en estudio. En el Capítulo 5 se presenta el método level set, estudiando los movimientos por curvatura media y en dirección normal, la ecuación de reinicialización y la extensión del campo de velocidades. Además, se muestra su aplicación a la optimización de formas y se utiliza la diferenciación con respecto al dominio para deducir la expansión de primer orden del funcional de costo asociado al problema. En el Capítulo 6 se muestran los principales resultados numéricos obtenidos al usar el método level set, recuperando diferentes obstáculos (incluyendo algunos de geometría no convexa), para lo cual se ha utilizado el programa FreeFem. Finalmente, se presentan las principales conclusiones obtenidas de este trabajo de título.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis is focused on the Navier{Stokes system for incompressible uids with either Dirichlet or nonlinear Navier{slip boundary conditions. For these systems, we exploit some ideas in the context of the control theory and inverse source problems. The thesis is divided in three parts. In the rst part, we deal with the local null controllability for the Navier{Stokes system with nonlinear Navier{slip conditions, where the internal controls have one vanishing component. The novelty of the boundary conditions and the new estimates with respect to the pressure term, has allowed us to extend previous results on controllability for the Navier{ Stokes system. The main ingredients to build our result are the following: a new regularity result for the linearized system around the origin, and a suitable Carleman inequality for the adjoint system associated to the linearized system. Finally, xed point arguments are used in order to conclude the proof. In the second part, we deal with an inverse source problem for the N- dimensional Stokes system from local and missing velocity measurements. More precisely, our main result establishes a reconstruction formula for the source F(x; t) = (t)f(x) from local observations of N ����� 1 components of the velocity. We consider that f(x) is an unknown vectorial function, meanwhile (t) is known. As a consequence, the uniqueness is achieved for f(x) in a suitable Sobolev space. The main tools are the following: connection between null controllability and inverse problems throughout a result on null controllability for the N- dimensional Stokes system with N ����� 1 scalar controls, spectral analysis of the Stokes operator and Volterra integral equations. We also implement this result and present several numerical experiments that show the feasibility of the proposed recovering formula. Finally, the last chapter of the thesis presents a partial result of stability for the Stokes system when we consider a source F(x; t) = R(x; t)g(x), where R(x; t) is a known vectorial function and g(x) is unknown. This result involves the Bukhgeim-Klibanov method for solving inverse problems and some topics in degenerate Sobolev spaces.

El objetivo de la presente memoria de tesis es la modelación y estudio de problemas de tratamiento de recursos acuíferos mediante la utilización de biorreactores. En la Introducción de esta memoria se hace una revisión del problema de las aguas residuales, los métodos y fases del tratamiento de descontaminación, y se enfatiza la etapa de tratamiento secundario, cuya finalidad es la reducción de la materia orgánica presente en las aguas. Se introduce al biorreactor como herramienta para el tratamiento de la materia orgánica mediante el uso de microorganismos, los cuales se alimentan de ella. Se realiza una revisión de los modelos existentes para biorreactores, tanto en el caso determinista como en el estocástico, remarcándose la existencia de resultados de extinción de la biomasa y exclusión competitiva en el caso de dos especies. La presente tesis se divide en dos partes. En la Parte I se estudia un modelo estocástico de tratamiento de aguas mediante un biorreactor secuencial por lotes. Para ello, en el Capítulo 2 se desarrolla un modelo estocástico de biorreactores; esto se hace mediante un límite de aproximaciones de la dinámica del biorreactor por procesos de nacimiento y muerte. En el Capítulo 3 se estudia la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial estocástica controlada que define la dinámica del biorreactor, cuyos coeficientes no cumplen las condiciones de tipo Lipschitz habitualmente requeridas para este tipo de resultados. En el Capítulo 4 se plantea el problema de descontaminación de aguas a tiempo mínimo mediante el uso de biorreactores secuenciales por lotes, con el modelo obtenido en el Capítulo 2, y se muestra que bajo cualquier estrategia admisible, la probabilidad de extinción de la biomasa es positiva, lo que hace que el tiempo esperado de tratamiento sea infinito. Con esto se prueba que el problema así formulado no tiene solución factible. En particular, esto muestra que la estrategia de llenado más rápido no es óptima para el problema estudiado, no obstante lo era para el problema determinista. Se plantean entonces otros problemas de control estocástico relevantes para el biorreactor secuencial por lotes, que pueden ser abordados en el contexto del modelo desarrollado. En la Parte 2 se estudia un problema de biorremediación de recursos acuíferos naturales mediante el uso de quimiostatos. En el Capítulo 5, se estudia el problema de descontaminación de recursos de gran volumen mediante un quimiostato de volumen mucho menor. Esto hace que haya zonas con difícil acceso al aparato descontaminante, por lo que se produce un gradiente de concentraciones en el recurso y no se puede aplicar la hipótesis de homogeneidad de sustrato. Esto se modela mediante la separación del recurso en dos zonas, llamadas zona activa, la que tiene fácil acceso a la descontaminación, y zona muerta, la que se descontamina por difusión con la zona activa. Se busca encontrar estrategias de descontaminación a tiempo mínimo controlando la velocidad de bombeo del quimiostato, y comparar dichas estrategias con la del caso homogéneo. Finalmente, se presentan las conclusiones, los problemas abiertos, y posibles direcciones de trabajo futuro.

Magíster en Ciencias, Mención Física / Esta tesis está enfocada en el estudio de singularidades de fase en el contexto de auto organización en sistemas fuera del equilibrio. Nuestra investigación estuvo focalizada en comprender el surgimiento de vórtices en una válvula de cristal líquido nemático (LCLV por sus siglas en inglés) con anclaje homeotrópico iluminada con un haz gaussiano. Este sistema físico permite la creación de vórtices ópticos que son auto-inducidos y que tienen auto-alineamiento, así como la inducción de vórtices positivos en el cristal líquido. En el primer capítulo se derivó desde principios fundamentales una ecuación que modela este sistema. Inicialmente se analizó el campo eléctrico aplicado y luego se derivó una ecuación de amplitud. Esta ecuación corresponde a una generalización de la ecuación de Ginzburg- Landau con un término anisotrópico y forzamiento espacial. En el segundo capítulo la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau fue estudiada, caracterizando la solución tipo vórtice. Dos tipos de vórtices positivos fueron identificados. Se calculó la energía de estas soluciones y se mostró cómo intercambian estabilidad a través de una bifurcación transcrítica degenerada dependiente del parámetro anisotrópico. Se caracterizó el vórtice negativo perturbativamente y se calculó su energía numéricamente. En el tercer capítulo se realizó un análisis numérico de la ecuación anisotrópica forzada de Ginzburg-Landau. Se mostró cómo el forzamiento induce un sólo vórtice positivo en el centro del voltaje aplicado, lo que nos permitió comprender las observaciones experimentales.Este mecanismo de anclaje nos permitió concebir la posibilidad de crear redes programables de vórtices con una configuración espacial arbitraria. Esto fue experimentalmente confirmado usando una adecuada configuración de la LCLV. Posteriormente, se adaptó nuestra ecuación para considerar diferentes rayos de luz, lo que mostró numéricamente redes de vórtices en concordancia con las observaciones experimentales. En el último capítulo se estudió la dinámica de dislocaciones en un patrón anisotrópico. Se derivó una ecuación de amplitud enmendada para la ecuación anisotrópica de Swift-Hohenberg. En esta ecuación de amplitud, las dislocaciones aparecen como vórtices cuya dinámica fue caracterizada, permitiendo predecir la existencia de pares de dislocaciones estacionarios, lo que fue confirmado numéricamente. Los resultados obtenidos en esta tesis muestran que las singularidades de fase son un fenómeno omnipresente en la naturaleza, que pueden ser descritas en una manera unificada mediante ecuaciones de amplitud. A su vez, estas ecuaciones pueden relacionarse con el contexto físico específico, cerca de sus puntos críticos.

Resuelve y analiza el cálculo de la solución numérica de la ecuación de advección - difusión mediante el esquema de diferencias finitas. Presenta criterios de estabilidad, los cuales garantizan la estabilidad del esquema planteado para resolver la ecuacion de adveccion - difusión longitudinal; los criterios obtenidos deben garantizar la estabilidad y convergencia, como función de los números de Couran y Péclet, con todo esto, se tiene a disposición métodos sencillos que son numéricamente estables y convergentes, por lo que no se considera necesario recurrir a métodos más complicados para resolver la ecuación de advección - difusión para el caso unidimensional. Además, realiza la simulación computacional de la solución numérica de la ecuación de advección - difusión longitudinal utilizando el software Matlab y el lenguaje de programación Python. / Trabajo de suficiencia profesional

Ingeniero Civil Matemático / En esta memoria se estudia el comportamiento asintótico de un problema elíptico singularmente perturbado que presenta diversos fenómenos de interés, entre los cuales destacan la formación de boundary layers y homogeneización. Este tipo de problemas aparece en el estudio de perturbaciones estocásticas pequeñas de sistemas Hamiltonianos, así como también en el contexto de fenómenos de transporte en fluídos sujetos a velocidades de advección de gran magnitud. Ambos tipos de problemas han sido estudiados anteriormente bajo distintas hipótesis estructurales, y en este trabajo se presentan nuevos resultados que permiten relacionar los distintos comportamientos exhibidos por el sistema. Por un lado, la aparición de boundary layers en este sistema ha sido estudiada en detalle en trabajos anteriores, habiéndose obtenido una descripción completa, si bien no menos compleja, en términos de la geometría del dominio y su relación con el término de advección, que es la fuente de la perturbación. En este trabajo se extienden los resultados mencionados a problemas no lineales, y se profundiza en la descripción de este fenómeno, particularmente en términos de la convergencia. Por otro lado, el orígen de la perturbación singular en sistemas Hamiltonianos ha sido explotado extensivamente mediante técnicas probabilísticas. Recientemente nuevos resultados han sido obtenidos mediante la introducción de técnicas de ecuaciones en derivadas parciales, las que han permitido establecer una caracterización explícita en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias del fenómeno de homogeneización que exhibe este problema. Además de la introducción de no linealidad en el sistema, en este trabajo se presenta una descripción detallada de la relación que existe entre la homogeneización y la formación de boundary layers. Finalmente, se describe un problema de otra naturaleza, relacionado con la ecuación de Fisher no local. Este problema ha suscitado considerable interés recientemente debido a la complejidad y diversidad de comportamientos que exhibe, particularmente en cuanto se refiere a las propiedades de las ondas viajeras presentes en el sistema.