Eigenwertprobleme haben eine große Bedeutung in Naturwissenschaft und Technik. Häufig müssen auftretende Parameter als zufällige Größen modelliert werden, um stochastische Einflüsse oder auftretende Meßfehler in der Problemstellung zu berücksichtigen. Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Eigenwerten zufälliger Matrizen. Eine erste grobe Näherung für die Erwartungswerte der Eigenwerte sind die Eigenwerte des gemittelten Problems. Die dabei auftretenden Differenzen können jedoch erheblich sein. Eine bessere Approximation wird mit den hier betrachteten Methoden der Störungsrechnung erreicht. Es werden Ergebnisse der Störungsrechnung für die Eigenwerte zufälliger Matrizen zusammengefaßt und Reihenentwicklungen einschließlich der homogenen Glieder zweiter Ordnung angegeben. An numerischen Beispielen werden die Ergebnisse veranschaulicht und mit Simulationen verglichen. Für praktische Anwendungen sind normalverteilte Störungen von besonderem Interesse. Jedoch ist die Konvergenz der Störungsreihen nur gesichert, wenn die Störungen als hinreichend klein vorausgesetzt werden. Da normalverteilte Zufallsgrößen mit positiver Wahrscheinlichkeit jede beliebig große Schranke überschreiten, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt und die Störungsrechnung in diesem Falle nicht ohne weiteres anwendbar. Wird die Entwicklung nach den Störungen dennoch verwendet, können Abschätzungen für den absoluten Fehler bei der Approximation des Erwartungswertes unter Berücksichtigung der Reihenglieder bis zu einer bestimmten Ordnung angegeben werden.

Eigenwertprobleme haben eine große Bedeutung in Naturwissenschaft und Technik. Häufig müssen auftretende Parameter als zufällige Größen modelliert werden, um stochastische Einflüsse oder auftretende Meßfehler in der Problemstellung zu berücksichtigen. Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Eigenwerten zufälliger Matrizen. Eine erste grobe Näherung für die Erwartungswerte der Eigenwerte sind die Eigenwerte des gemittelten Problems. Die dabei auftretenden Differenzen können jedoch erheblich sein. Eine bessere Approximation wird mit den hier betrachteten Methoden der Störungsrechnung erreicht. Es werden Ergebnisse der Störungsrechnung für die Eigenwerte zufälliger Matrizen zusammengefaßt und Reihenentwicklungen einschließlich der homogenen Glieder zweiter Ordnung angegeben. An numerischen Beispielen werden die Ergebnisse veranschaulicht und mit Simulationen verglichen. Für praktische Anwendungen sind normalverteilte Störungen von besonderem Interesse. Jedoch ist die Konvergenz der Störungsreihen nur gesichert, wenn die Störungen als hinreichend klein vorausgesetzt werden. Da normalverteilte Zufallsgrößen mit positiver Wahrscheinlichkeit jede beliebig große Schranke überschreiten, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt und die Störungsrechnung in diesem Falle nicht ohne weiteres anwendbar. Wird die Entwicklung nach den Störungen dennoch verwendet, können Abschätzungen für den absoluten Fehler bei der Approximation des Erwartungswertes unter Berücksichtigung der Reihenglieder bis zu einer bestimmten Ordnung angegeben werden.

Die Arbeit befasst sich mit zweierleiZum einen wird der STM-Abbildungsprozess simuliert, indem Probe und Spitze durch zweidimensionale Sommerfeld-Metalle frei waehlbarer Geometrie beschrieben werden und der Tunnelstrom im Transfer-Hamiltonian-Formalismus bestimmt wird. Die Berechnung der Eigenzustaende der Elektroden erfolgt numerisch durch Diskretisierung der Schroedingergleichung im Differenzenverfahren. Ueber die geometrische Entfaltung der erhaltenen Konstantstromprofile mit der Spitzengeometrie werden der Vergleich zum geometrischen (mechanischen) Abtasten gezogen und Moeglichkeiten einer Vermessung von Spitze und Probe diskutiert. Zum anderen wird durch Berechnung von Eigenzustaenden in grossen zweidimensionalen Potentialkaesten (Quantenbillards) endlicher Wandhoehe der Frage nachgegangen, welchen Einfluss klassisch verbotene Gebiete (Aussenraum, Tunnelbarriere) auf Eigenfunktionen in semiklassisch grossen Systemen haben. Betrachtet wird insbesondere ein Gesamtsystem bestehend aus zwei Potentialkaesten, die ueber eine Tunnelbarriere koppeln (¨Quantenbillards endlicher Wandhoehe im Tunnelkontakt¨). Bei einer Reihe von Zustaenden zeigen sich Scars, die aus der Barriere austreten und in diese zuruecklaufen. Das Gesamtsystem ist in hohem Masse nichtintegrabel, ¨sichtbar¨ wird dieses aber nur fuer Bahnen entweder des Kontinuums oder fuer komplexe Orbits. Eine semiklassische Beschreibung dieses Phaenomens mit der gegenwaertigen, auf klassischen Orbits fussenden Theorie periodischer Bahnen ist nicht mehr moeglich. Die Einbeziehung komplexer Orbits oder Bahnen des Kontinuums (¨ungebundener Orbits¨) wird durch diese Ergebnisse angemahnt.

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Die Arbeit befasst sich mit zweierleiZum einen wird der STM-Abbildungsprozess simuliert, indem Probe und Spitze durch zweidimensionale Sommerfeld-Metalle frei waehlbarer Geometrie beschrieben werden und der Tunnelstrom im Transfer-Hamiltonian-Formalismus bestimmt wird. Die Berechnung der Eigenzustaende der Elektroden erfolgt numerisch durch Diskretisierung der Schroedingergleichung im Differenzenverfahren. Ueber die geometrische Entfaltung der erhaltenen Konstantstromprofile mit der Spitzengeometrie werden der Vergleich zum geometrischen (mechanischen) Abtasten gezogen und Moeglichkeiten einer Vermessung von Spitze und Probe diskutiert. Zum anderen wird durch Berechnung von Eigenzustaenden in grossen zweidimensionalen Potentialkaesten (Quantenbillards) endlicher Wandhoehe der Frage nachgegangen, welchen Einfluss klassisch verbotene Gebiete (Aussenraum, Tunnelbarriere) auf Eigenfunktionen in semiklassisch grossen Systemen haben. Betrachtet wird insbesondere ein Gesamtsystem bestehend aus zwei Potentialkaesten, die ueber eine Tunnelbarriere koppeln (¨Quantenbillards endlicher Wandhoehe im Tunnelkontakt¨). Bei einer Reihe von Zustaenden zeigen sich Scars, die aus der Barriere austreten und in diese zuruecklaufen. Das Gesamtsystem ist in hohem Masse nichtintegrabel, ¨sichtbar¨ wird dieses aber nur fuer Bahnen entweder des Kontinuums oder fuer komplexe Orbits. Eine semiklassische Beschreibung dieses Phaenomens mit der gegenwaertigen, auf klassischen Orbits fussenden Theorie periodischer Bahnen ist nicht mehr moeglich. Die Einbeziehung komplexer Orbits oder Bahnen des Kontinuums (¨ungebundener Orbits¨) wird durch diese Ergebnisse angemahnt.