Dans cette thèse, on s'intéresse à la compréhension qualitative de systèmes d'EDP de type FitzHugh Nagumo. Elle est basée sur les propriétés excitable et oscillante du système d'EDO de type FitzHugh Nagumo lorsqu'on varie la valeur d'un paramètre. Après avoir analysé les propriétés du système d'EDO, on contruit des systèmes d'EDP par couplage de Réaction Diffusion ou opérateur des ondes. La simulation numérique des systèmes montre l'émergence de patterns complexes pertinents en biologie et physiologie. D'un point de vue mathématique, cela correspond à des attracteurs non triviaux, et divers théorèmes y sont montrés.

Dans cette thèse, nous traitons de l'optimisation du taux de décroissance exponentielle uniforme de l'équation des ondes sur un domaine W mono ou bidimensionnel. L'amortissement se fait à l'aide d'un feedback en vitesse égal à une certaine constante k sur un sous domaine w. Ce taux de décroissance est lié à l'abscisse spectrale m de l'opérateur associé au problème et à une quantité géométrique g, introduite par Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas bidimensionnel. On montre que l'abscisse spectrale est dérivable par rapport à k à l'origine, et on étudie cette dérivée J pour approximer m par le produit de k et J. Dans la première partie de la thèse, nous étudions de façon théorique les fonctionnelles J et g. Nous caractérisons les géométries optimales dans le cas d'un intervalle ou d'un carré pour des valeurs particulières de la contrainte d'aire. Dans le cas du carré, nous concevons un algorithme de calcul exact de la quantité géométrique dans le cas où w est un réunion de carrés basé sur un nouveau théorème d'interversion de limites. La seconde partie est dédiée à l'optimisation numérique des quantités J et g à l'aide de différents algorithmes génétiques. Les résultats obtenus ne sont pas intuitifs.

Les problèmes inverses liés à des processus physiques sont d'une grande importance dans la plupart des domaines liés au traitement du signal, tels que la tomographie, l'acoustique, les communications sans fil, le radar, l'imagerie médicale, pour n'en nommer que quelques uns. Dans le même temps, beaucoup de ces problèmes soulèvent des défis en raison de leur nature mal posée. Par ailleurs, les signaux émanant de phénomènes physiques sont souvent gouvernées par des lois s'exprimant sous la forme d'équations aux dérivées partielles (EDP) linéaires, ou, de manière équivalente, par des équations intégrales et leurs fonctions de Green associées. De plus, ces phénomènes sont habituellement induits par des singularités, apparaissant comme des sources ou des puits d'un champ vectoriel. Dans cette thèse, nous étudions en premier lieu le couplage entre de telles lois physiques et une hypothèse initiale de parcimonie des origines du phénomène physique. Ceci donne naissance à un concept de dualité des régularisations, formulées soit comme un problème d'analyse coparcimonieuse (menant à la représentation en EDP), soit comme une parcimonie à la synthèse équivalente à la précédente (lorsqu'on fait plutôt usage des fonctions de Green). Nous dédions une part significative de notre travail à la comparaison entre les approches de synthèse et d'analyse. Nous défendons l'idée qu'en dépit de leur équivalence formelle, leurs propriétés computationnelles sont très différentes. En effet, en raison de la parcimonie héritée par la version discrétisée de l'EDP (incarnée par l'opérateur d'analyse), l'approche coparcimonieuse passe bien plus favorablement à l'échelle que le problème équivalent régularisé par parcimonie à la synthèse. Nos constatations sont illustrées dans le cadre de deux applications : la localisation de sources acoustiques, et la localisation de sources de crises épileptiques à partir de signaux électro-encéphalographiques. Dans les deux cas, nous vérifions que l'approche coparcimonieuse démontre de meilleures capacités de passage à l'échelle, au point qu'elle permet même une interpolation complète du champ de pression dans le temps et en trois dimensions. De plus, dans le cas des sources acoustiques, l'optimisation fondée sur le modèle d'analyse \emph{bénéficie} d'une augmentation du nombre de données observées, ce qui débouche sur une accélération du temps de traitement, plus rapide que l'approche de synthèse dans des proportions de plusieurs ordres de grandeur. Nos simulations numériques montrent que les méthodes développées pour les deux applications sont compétitives face à des algorithmes de localisation constituant l'état de l'art. Pour finir, nous présentons deux méthodes fondées sur la parcimonie à l'analyse pour l'estimation aveugle de la célérité du son et de l'impédance acoustique, simultanément à l'interpolation du champ sonore. Ceci constitue une étape importante en direction de la mise en œuvre de nos méthodes en en situation réelle. / Inverse problems related to physical processes are of great importance in practically every field related to signal processing, such as tomography, acoustics, wireless communications, medical and radar imaging, to name only a few. At the same time, many of these problems are quite challenging due to their ill-posed nature. On the other hand, signals originating from physical phenomena are often governed by laws expressible through linear Partial Differential Equations (PDE), or equivalently, integral equations and the associated Green’s functions. In addition, these phenomena are usually induced by sparse singularities, appearing as sources or sinks of a vector field. In this thesis we primarily investigate the coupling of such physical laws with a prior assumption on the sparse origin of a physical process. This gives rise to a “dual” regularization concept, formulated either as sparse analysis (cosparse), yielded by a PDE representation, or equivalent sparse synthesis regularization, if the Green’s functions are used instead. We devote a significant part of the thesis to the comparison of these two approaches. We argue that, despite nominal equivalence, their computational properties are very different. Indeed, due to the inherited sparsity of the discretized PDE (embodied in the analysis operator), the analysis approach scales much more favorably than the equivalent problem regularized by the synthesis approach. Our findings are demonstrated on two applications: acoustic source localization and epileptic source localization in electroencephalography. In both cases, we verify that cosparse approach exhibits superior scalability, even allowing for full (time domain) wavefield interpolation in three spatial dimensions. Moreover, in the acoustic setting, the analysis-based optimization benefits from the increased amount of observation data, resulting in a speedup in processing time that is orders of magnitude faster than the synthesis approach. Numerical simulations show that the developed methods in both applications are competitive to state-of-the-art localization algorithms in their corresponding areas. Finally, we present two sparse analysis methods for blind estimation of the speed of sound and acoustic impedance, simultaneously with wavefield interpolation. This is an important step toward practical implementation, where most physical parameters are unknown beforehand. The versatility of the approach is demonstrated on the “hearing behind walls” scenario, in which the traditional localization methods necessarily fail. Additionally, by means of a novel algorithmic framework, we challenge the audio declipping problemregularized by sparsity or cosparsity. Our method is highly competitive against stateof-the-art, and, in the cosparse setting, allows for an efficient (even real-time) implementation.

On considère dans cette thèse l'équation des ondes posée sur un domaine $\Omega$ supposé régulier. Si $\Gamma$ désigne une surface supposée observable, on peut définir la constante d'observabilité associée à $\Gamma$. L'intérêt de cette constante est de rendre compte de la qualité de la reconstruction dans le problème inverse qui consiste à reconstruire les données initiales à partir de la mesure de la solution sur $\Gamma$. Ainsi l'étude de cette constante s'applique entre autres à la détermination de la forme et du placement optimaux de capteurs, pour la mesure de toute sorte de phénomènes ondulatoires. Le but du premier chapire est de caractériser de manière théorique les domaines $\Gamma$ de surface prescrite qui maximisent cette constante d'observabilité, ou plus exactement une version "randomizée" de ce critère. Dans le second chapitre il s'agit d'appliquer les résulats obtenus au placement optimal de capteurs pour la tomographie photoacoustique. La tomographie photoacoustique est un procédé d'imagerie médicale ultra-sonore, non invasif encore peu développé qui est une alternative précise et plus économique à l'imagerie X. C'est dans ce cadre que l'on propose une modélisation de l'influence de la forme et de la disposition des capteurs dans le problème de reconstruction de la densité des tissus. Plus particulièrement, il s'agira de construire une fonctionnelle de la forme des capteurs, rendant compte de la qualité de l'image obtenue. / In the first part of this thesis, we consider the wave equation on a regular bounded domain $\Omega$. We investigate the problem of optimizing, in some appropriate sense, the shape and location of sensors spread on an arbitrary measurable subdomain $\Gamma$ of the boundary of $\Omega$. We introduce a spectral quantity called randomized observability constant, corresponding to the best constant in an average of the classical observability inequality, over random initial data. The pupose of the first chapter is to investigate optimal domains, maximizing the new objective function. The second part consists in applying the previous results to medical imaging, and more precisely to photoacoustic tomography. This imaging technique, constitutes a cutting-edge technology that has drawn considerable attention in the medical imaging area. Firstly because it is non-ionizing and non-invasive, and also because it constitutes a precise and cheap alternative to X imaging. In this framework, we propose here to model the influence of the shape and position of sensors in the inverse problem consisting in the reconstruction of the imaged body. In a nutshell, we build a functional of the shape of the sensors, providing an account for the reconstructed image quality.

Les methodes d'inversion par moindres carres necessitent la simulation de propagation d'ondes modelisees par des equations lineaires. C'est dans cette partie modelisation que se situe la majeure partie de notre travail qui comporte quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous etudions l'inversion d'un milieu localement perturbe, c'est a dire que nous recherchons une heterogeneite de forme donnee dans une matrice homogene. Nous montrons dans ce cas simple l'influence de la frequence de la source sur la non-linearite de la fonction cout. Dans le second chapitre, nous introduisons et analysons une famille de schemas numeriques pour l'equation des ondes acoustiques en milieu homogene. Ces schemas d'ordre sont deux ou quatre en temps et d'ordre quelconque en espace. Nous avons estime le cout informatique des simulations et preconise un choix du nombre de points par longueur d'onde et du nombre de points par periode. Ceci donne alors les pas d'espace et de temps. Dans le troisieme chapitre nous etudions la stabilite et la precision de cette famille de schemas numeriques en milieu heterogene. Nous obtenons des resultats quelque soit l'heterogeneite du milieu, et donnons l'ordre d'approximation de ces schemas numeriques en milieux heterogenes. Nous etudions egalement les condition absorbantes eponges. Dans le dernier chapitre nous nous sommes interesse a une estimation d'erreur a posteriori pour l'equation des ondes en milieu unidimensionnel. Ces estimations sont generalisables au cas bidimensionnel. Elles permettent de mesurer l'erreur commise sur la solution a l'aide de quantites calculables; donc on peut par procedure adaptive regler les pas de temps et d'espace.

Cette these traite du probleme de l'imagerie photo-acoustique. Dans ce systeme d'imagerie, on chauffe un milieu avec une onde electromagnetique. Le milieu se dilate et emet une onde ultrasonique qu'on mesure. Le but est de reconstruire les caracteristiques internes du milieu a partir des mesures de l'onde acoustique sur son bord. C'est un probleme inverse sur la condition initiale pour l'equation des ondes. Dans un cadre idealise, la procedure de reconstruction est connue et a ete etudiee en profondeur. Le but premier de cette these est de s'eloigner du cadre standard en considerant des hypotheses moins restrictives. Pour chaque hypothese (conditions de bord, vue partielle, attenuation, vitesse non-homogene ) la these propose une correction basee sur des outils mathematiques adaptes (analyse asymptotique, approche duale, correlation...). La reconstruction de la condition initiale de l'equation des ondes n'est cependant pas suffisante. Elle depend de l'illumination electromagnetique. Un second probleme inverse doit etre resolu sur la propagation de l'onde electromagnetique pour avoir acces aux coefficients physiques d'interet. La these presente des resultats algorithmiques dans le cadre de l'equation de de diffusion et des estimations theoriques dans le cadre de l'equation de transfert radiatif. La these presente aussi un resultat d'amelioration d'une approche d'imagerie par derivee topologique.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations d'évolution sur certains groupes hyperboliques, en particulier, nous étudions l'équation de la chaleur, l'équation de Schrödinger et l'équation des ondes modifiée, d'abord sur les arbres homogènes, ensuite sur des graphes symétriques. Sur les arbres homogènes, nous montrons que, sous une hypothèse d'invariance de jauge, on a existence globale des solutions de l'équation de Schrödinger ainsi qu'un phénomène de 'scattering' pour des données arbitraires dans l'espace des fonctions de carré intégrable sans restriction sur le degré de la non-linéarité, contrairement au cas euclidien ou au cas hyperbolique. Nous généralisons ensuite ce résultat sur les graphes symétriques de degré (k − 1)(r − 1) sous la condition k < r. Un de nos principaux résultats sur les graphes symétriques est l'estimation du noyau de la chaleur associé au laplacien combinatoire. Pour finir, nous établissons une expression explicite des solutions de l'équation des ondes modifiée sur les graphes symétriques.

Cette thèse porte sur le contrôle acoustique actif (ANC) dans une cavité. L’objectif est d’atténuer l’effet d’une onde sonore perturbatrice en des points ou dans un volume. Ceci est réalisé à l’aide d’un contre-bruit généré, par exemple, par un haut-parleur. Cette étude requiert l’utilisation de modèles dynamiques rendant compte de l’évolution des pressions aux points d’intérêt en fonction des bruits exogènes. Ce modèle peut être obtenu par une identification fréquentielle des réponses point-à-point ou en utilisant le modèle physique sous jacent (équation des ondes). Dans ce dernier cas, la recherche d'un modèle de dimension finie est souvent un préalable à l’étude conceptuelle d'un système d’ANC. Les contributions de cette thèse portent donc sur l’élaboration de différents modèles simplifiés paramétrés par la position pour les systèmes acoustiques et sur la conception de lois de commande pour l’ANC. Le premier volet de la thèse est dédié à l’élaboration de différents modèles simplifiés de système de propagation acoustique au sein d’une cavité. Pour cela, les simplifications envisagées peuvent être de nature spatiale autant que fréquentielle. Nous montrons notamment qu'il est possible, sous certaines conditions, d’approximer le système 3D par un système 1D. Ceci a été mis en évidence expérimentalement sur le banc d’essai LS2NBox. Le second volet porte sur la conception de lois de commande. En premier lieu, les stratégies de commandes couramment utilisées pour l’ANC sont comparées. L'effet dela commande multi-objectif H en différents points voisins des points d'atténuation est analysé. La possibilité d’une annulation parfaitedu bruit en un point est aussi discutée. / This thesis deals with active noise control (ANC) in a cavity. The aim is to mitigate the effect of a disturbing sound wave at some points or in a volume. This is achieved using ananti-noise generated, for example, by a loudspeaker. This study requires the use of dynamic models that report changes in pressure at points of interest in response to exogenous noises. Such models can be obtained by frequency identification of point-to-point responses or by using the underlying physical model (wave equation). In the latter case, the search for a low-complexity model (finite dimensional model) is often a prerequisite for the conceptual study of an active control system. The contributions of this thesis concern the development of different simplified models parameterized by the spatial position for acoustic systems, and the design of control laws for noise attenuation. The first part of the thesis is dedicated to the development of various simplified models of acoustic propagation system within a cavity. For that, the simplifications envisaged can be of spatial nature as much as frequential. We show in particular that it is possible, under certain conditions, to approximate the 3D system by a 1D system. This has been demonstrated experimentally on the prototype system, LS2NBox. The second part of the thesis deals with the design of control laws. First, the control strategies commonly used for ANC are compared. The effect of multi-objective H control at different spatial positions close to the attenuation points is analyzed. The possibility of perfect noise cancellation at one point is also discussed.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs. / My work consists in developing some high order numerical schemes in time and space for the modeling of the wave propagation. We have proposed to first discretize the wave equation with respect to the time using the so called Modified Equation Technique. Then, we have used a Discontinuous Galerkine Finite Element method for the space discretization. Switching the classical discretization process, we have constructed schemes as accurate as the classical ones with a numerical cost very interesting. After the numerical validation of this method, we have focused on its stability and on its adaptibility in time and space. To reach these objectives, we have performed a stability analysis of the Discontinuous Galerkin method and we have proposed some improvements to this technique which imply very important gain in terms of computationnal time.

Les problèmes étudiés dans cette thèse ont trait à la dynamique des points vortex dans deux équations pour les fluides ou superfluides bidimensionnels. La première partie est dévolue à l'équation d'Euler incompressible. Nous y analysons le système mixte Euler-points vortex, introduit par Marchioro et Pulvirenti, qui décrit l'évolution d'un tourbillon obtenu par superposition de points vortex et d'une composante plus régulière. Nous examinons diverses problématiques telles que le lien entre les points de vue lagrangien et eulérien, l'unicité, l'existence et l'expansion du support du tourbillon. La seconde partie de la thèse est consacrée à une équation de Ginzburg-Landau complexe obtenue en ajoutant un terme de dissipation à l'équation de Gross-Pitaevskii. Après avoir examiné le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie correspondant, nous étudions la dynamique des points vortex dans le cadre de données très bien préparées. Dans un dernier temps, nous considérons un autre régime asymptotique, sans vortex, dans lequel les solutions sont des perturbations de champs constants de module égal à un. Une dynamique de type ondes amorties pour la perturbation est mise en évidence.