Les nouveaux algorithmes présentés dans cette thèse contribuent à la thématique générale de la simplification des modèles biologiques : le calcul de bases creuses de lois de conservation, la simplification des systèmes d'équations différentielles paramétriques, fréquents en modélisation, et le reverse engineering des modèles. Les algorithmes de cette thèse sont basés sur de l'algèbre linéaire exacte. Le chapitre 2 présente un algorithme glouton exact et garanti permettant de calculer une base la plus creuse parmi toutes les bases d'un espace vectoriel. On l'applique au calcul de lois de conservation de modèles biologiques. Dans le chapitre 3, une variante de cet algorithme utilise la résolution de plusieurs programmes linéaires (avec l'algorithme du simplexe) en variables réelles. Cette variante permet de calculer des bases creuses sans garantir qu'elles soient complètes ou les plus creuses. Le chapitre 4 présente un algorithme permettant de calculer une base la plus creuse modulo un espace vectoriel. Il permet de simplifier des fractions rationnelles en effectuant des changements de variables. Enfin, le chapitre 5 présente un algorithme qui, dans le cas où l'ensemble des lois de conservation d'un modèle biologique n'admet pas de base complète de lois à coefficients positifs, suggère des modèles enrichis d'une ou plusieurs espèces. / The new algorithms introduced in this thesis contribute to the general theme of simplification of biological model : the computation of sparse bases of conservation laws, the simplification of parametric systems of differential equations, frequent in modelling, and the reverse engineering of models. The algorithms of this thesis are based on exact linear algebra. The chapter 2 introduces a greedy, exact and guaranteed algorithm which allows to compute a sparsest basis among all the bases of a vector space. We apply it to the computation of conservation laws of biological models. In the chapter 3, a variant of this algorithm uses the resolution of several linear programs (with the simplex algorithm) in real variables. This variant allows to compute sparse bases without guarantee they are complete or sparsest. The chapter 4 introduces an algorithm which allows to compute a sparsest basis modulo a vector space. It was developed with the aim to simplify rational fractions using changes of variables. The chapter 5 introduces an algorithm which suggests models enriched of one or several species, in the case where the set of conservation laws does not admit a complete basis of laws with nonnegative coefficients.

En algèbre de dimension 2, les 2-groupes symétriques (groupoïdes monoïdaux symétriques où tout objet a un inverse à isomorphisme près) jouent un rôle similaire à celui des groupes abéliens en algèbre de dimension 1. Le but de ce travail est de définir une notion de catégorie abélienne en dimension 2 qui soit aux 2-groupes symétriques ce que la notion de catégorie abélienne ordinaire est aux groupes abéliens. On donnera deux solutions à ce problème. La première, les catégories enrichies dans les groupoïdes abéliennes, est une généralisation des catégories abéliennes ordinaires. Dans un tel contexte, on peut développer la théorie des suites exactes et de l'homologie d'une façon proche de l'homologie dans une catégorie abélienne : on y démontre plusieurs lemmes de diagrammes classiques ainsi que l'existence de la longue suite exacte d'homologie associée à une extension de complexes de chaînes. Cela généralise des résultats connus pour les 2-groupes symétriques. L'autre solution, les catégories enrichies dans les groupoïdes 2-abéliennes (qui sont également abéliennes au sens du paragraphe précédent), imite les propriétés des 2-groupes symétriques plus spécifiques à la dimension 2, en particulier l'existence de deux systèmes de factorisation : surjectif/plein et fidèle, et plein et surjectif/fidèle. De plus, dans une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne, la catégorie des objets discrets est équivalente à celle des objets connexes et ces catégories sont abéliennes. Les exemples incluent, outre les 2-groupes symétriques, les 2-modules sur un 2-anneau, qui forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne. Par ailleurs, les groupoïdes internes, foncteurs internes et transformations naturelles internes à une catégorie abélienne (et, en particulier, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans) forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne si et seulement si l'axiome du choix est satisfait dans la catégorie abélienne.

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Dans la plupart des systèmes de CFAO actuels, les tolérances sont indiquées grâce à des outils de représentation graphique symbolique (cotes, cadres de tolérances, repères, textes, ...). Cette représentation doit être correcte du point de vue syntaxique et sémantique. Les règles de bases de la syntaxe sont en général prises en compte par le logiciel, mais pas toutes. Il est encore possible d'écrire des tolérances qui ne sont pas correctes du fait même de leur écriture. Pour vérifier que la sémantique d'une tolérance est correcte, il faut pouvoir lui donner une interprétation conformément aux règles définies par les normes. Or ces règles sont complexes. Jusqu'à présent seul un technicien, avant une connaissance approfondie, est capable de vérifier si une tolérance indiquée sur le dessin est correcte du point de vue sémantique. Je développe un système intégré au logiciel TopSolid qui permet d'inscrire les tolérances sur le plan à partir du modèle 3D de la pièce. L'utilisateur travaillera sur un modèle 3D. Après avoir indiquer sur la pièce les surfaces tolérancées, le logiciel propose alors de contrôler les paramètres et les choix possibles de l'utilisateur. Le concepteur pourra ensuite définir des références de tolérance dont la cohérence avec le cadre de tolérance sera automatiquement vérifiée au fur et à mesure de leurs créations. Il s'agira, ensuite, d'aider le concepteur à déterminer quelles sont les surfaces à prendre en références et celles qui doivent être tolérancées. Cette partie permettra alors de définir un tolérancement complet à partir d'un ensemble de surfaces fonctionnelles hiérarchisées. Cette thése propose d'assister le concepteur dans sa démarche de tolérancement. Pour ce faire, je mets à sa disposition au travers de mes travaux un outil de transfert des connaissances sur le tolérancement et un atelier d'aide à la prise de décision.

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Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour $G$ un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, $P$ un sous-groupe maximal de $G$ et $\omega$ un générateur dominant du groupe de caractères de $P$, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ où $\mathcal{L}$ est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur $T^*(G/P)$. Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ et $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$ Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de $P$, que nous noterons $\nLie$, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un $P$-covariant $f$ dans $\comp[\nLie]$ et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine $V(f)$. Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles. / In this thesis, we study the cohomology of line bundles on cotangent bundle of projective varieties. To be more precise, let $G$ be an semisimple algebraic group which is simply connected, $P$ a maximal subgroup and $\omega$ a dominant weight that generates the character group of $P$. Our goal is to understand the cohomology groups $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ where $\mathcal{L}$ is the sheaf of sections of a line bundle on $T^*(G/P)$. Under some conditions, we will show that there exists an isomorphism, up to grading, between $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ and $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$. After we worked in a theoretical setting, we will focus on maximal parabolic subgroups related to nilpotent varieties. In this case, the Lie algebra of the unipotent radical of $P$ has a structure of prehomogeneous vector spaces. We will be able to determine which cases verify the hypothesis of the isomorphism by showing the existence of a $P$-covariant $f$ in $\comp[\nLie]$ and by studying its properties. We will be interested by the singularities of the affine variety $V(f)$. We will show that the normalisation of $V(f)$ has rational singularities.

Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour $G$ un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, $P$ un sous-groupe maximal de $G$ et $\omega$ un générateur dominant du groupe de caractères de $P$, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ où $\mathcal{L}$ est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur $T^*(G/P)$. Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ et $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$ Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de $P$, que nous noterons $\nLie$, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un $P$-covariant $f$ dans $\comp[\nLie]$ et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine $V(f)$. Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles. / In this thesis, we study the cohomology of line bundles on cotangent bundle of projective varieties. To be more precise, let $G$ be an semisimple algebraic group which is simply connected, $P$ a maximal subgroup and $\omega$ a dominant weight that generates the character group of $P$. Our goal is to understand the cohomology groups $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ where $\mathcal{L}$ is the sheaf of sections of a line bundle on $T^*(G/P)$. Under some conditions, we will show that there exists an isomorphism, up to grading, between $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ and $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$. After we worked in a theoretical setting, we will focus on maximal parabolic subgroups related to nilpotent varieties. In this case, the Lie algebra of the unipotent radical of $P$ has a structure of prehomogeneous vector spaces. We will be able to determine which cases verify the hypothesis of the isomorphism by showing the existence of a $P$-covariant $f$ in $\comp[\nLie]$ and by studying its properties. We will be interested by the singularities of the affine variety $V(f)$. We will show that the normalisation of $V(f)$ has rational singularities.

Les smooth (ou universal) projective hash functions ont été introduites par Cramer et Shoup, à Eurocrypt'02, comme un outil pour construire des schémas de chiffrement efficaces et sûrs contre les attaques à chiffrés choisis. Depuis, elles ont trouvé de nombreuses applications, notamment pour la construction de schémas d'authentification par mot de passe, d'oblivious transfer, de signatures en blanc, et de preuves à divulgation nulle de connaissance. Elles peuvent êtres vues comme des preuves implicites d'appartenance à certains langages. Un problème important est de caractériser pour quels langages de telles fonctions existent.Dans cette thèse, nous avançons dans la résolution de ce problème en proposant la notion de diverse modules. Un diverse module est une représentation d'un langage, comme un sous-module d'un module plus grand, un module étant un espace vectoriel sur un anneau. À n'importe quel diverse module est associée une smooth projective hash function pour le même langage. Par ailleurs, presque toutes les smooth projective hash functions actuelles sont construites de cette manière.Mais les diverse modules sont aussi intéressants en eux-mêmes. Grâce à leur structure algébrique, nous montrons qu'ils peuvent facilement être combinés pour permettre de nouvelles applications, comme les preuves implicites à divulgation nulle de connaissance (une alternative légère aux preuves non-interactives à divulgation nulle de connaissance), ainsi que des preuves non-interactives à divulgation nulle de connaissance et one-time simulation-sound très efficaces pour les langages linéaires sur les groupes cycliques. / Smooth (or universal) projective hash functions were first introduced by Cramer and Shoup, at Eurocrypt'02, as a tool to construct efficient encryption schemes, indistinguishable under chosen-ciphertext attacks. Since then, they have found many other applications, including password-authenticated key exchange, oblivious transfer, blind signatures, and zero-knowledge arguments. They can be seen as implicit proofs of membership for certain languages. An important question is to characterize which languages they can handle.In this thesis, we make a step forward towards this goal, by introducing diverse modules. A diverse module is a representation of a language, as a submodule of a larger module, where a module is essentially a vector space over a ring. Any diverse module directly yields a smooth projective hash function for the corresponding language, and almost all the known smooth projective hash functions are constructed this way.Diverse modules are also valuable in their own right. Thanks to their algebraic structural properties, we show that they can be easily combined to provide new applications related to zero-knowledge notions, such as implicit zero-knowledge arguments (a lightweight alternative to non-interactive zero-knowledge arguments), and very efficient one-time simulation-sound (quasi-adaptive) non-interactive zero-knowledge arguments for linear languages over cyclic groups.