Cette thèse traite - en trois essais - de problèmes de choix de portefeuille en situation d’information partielle, thématique que nous présentons dans une courte introduction. Les essais développés abordent chacun une particularité de cette problématique. Le premier (coécrit avec M. Jeanblanc et V. Lacoste) traite la question du choix de la stratégie optimale pour un problème de maximisation d’utilité terminale lorsque l’évolution des prix est modélisée par un processus de Itô-Lévy dont la tendance et l’intensité des sauts ne sont pas observées. L’approche consiste à réécrire le problème initial comme un problème réduit dans la filtration engendrée par les prix. Cela nécessite la dérivation des équations de filtrage non-linéaire, que nous développons pour un processus de Lévy. Le problème est ensuite résolu en utilisant la programmation dynamique par les équations de Bellman et de HJB. Le second essai aborde dans un cadre gaussien la question du coût de l’incertitude, que nous définissons comme la différence entre les stratégies optimales (ou les richesses maximales) d’un agent parfaitement informé et d’un agent partiellement informé. Les propriétés de ce coût de l’information sont étudiées dans le cadre des trois formes standard de fonctions d’utilités et des exemples numériques sont présentés. Enfin, le troisième essai traite la question du choix de portefeuille quand l’information sur les prix de marché n’est disponible qu’à des dates discrètes et aléatoires. Cela revient à supposer que la dynamique des prix suit un processus marqué. Dans ce cadre, nous développons les équations de filtrage et réécrivons le problème initial dans sa forme réduite dans la filtration discrète des prix. Les stratégies optimales sont ensuite calculées en utilisant le calcul de Malliavin pour des mesures aléatoires et une extension de la formule de Clark-Ocone-Haussman est à cette fin présentée. / This thesis deals - in three essays - with problems of choice of portfolio in situation of partial information, thematic that we present in a short introduction. The tests developed each address a particularity of this problem. The first (co-written with M. Jeanblanc and V. Lacoste) deals with the choice of the optimal strategy for a terminal utility maximization problem when the evolution of prices is modeled by an Itô- Lévy process whose trend and the intensity of the jumps are not observed. The approach is to rewrite the initial problem as a reduced problem in price-driven fi ltration. This requires the derivation of nonlinear filtering equations, which we develop for a Lévy process. The problem is then solved using dynamic programming by the Bellman and HJB equations. The second essay tackles the question of the cost of uncertainty in a Gaussian framework, which we de fi ne as the di ff erence between the optimal strategies (or the maximum wealth) of a fully informed agent and a partially informed agent. The properties of this information cost are studied in the context of the three standard forms of utility functions and numericalexamples are presented. Finally, the third essay addresses the issue of portfolio choice when market price information is only available on discrete and random dates. This amounts to assuming that price dynamics follow a marked process. In this framework, we develop fi ltering equations and rewrite the initialproblem in its reduced form in discrete price fi ltration. The optimal strategies are then calculated using Malliavin's computation for random measurements and an extension of the Clark-Ocone-Haussman formula is for this purpose presented.

L'erreur de prédiction d'une trajectoire avion peut être expliquée par différents facteurs. Les incertitudes associées à la prévision météorologique sont l'un d'entre-eux. Qui plus est, l'erreur de prévision de vent a un effet non négligeable sur l'erreur de prédiction de la position d'un avion. En regardant le problème sous un autre angle, il s'avère que les avions peuvent être utilisés comme des capteurs locaux pour estimer l'erreur de prévision de vent. Dans ce travail nous décrivons ce problème d'estimation à l'aide de plusieurs processus d'acquisition d'un même champ aléatoire. Quand ce champ est homogène, nous montrons que le problème est équivalent à plusieurs processus aléatoires évoluant dans un même environnement aléatoire pour lequel nous donnons un modèle de Feynman-Kac. Nous en dérivons une approximation particulaire et fournissons pour les estimateurs obtenus des résultats de convergence. Quand le champ n'est pas homogène mais qu'une décomposition en sous-domaine homogène est possible, nous proposons un modèle différent basé sur le couplage de plusieurs processus d'acquisition. Nous en déduisons un modèle de Feynman-Kac et suggérons une approximation particulaire du flot de mesure. Par ailleurs, pour pouvoir traiter un trafic aérien, nous développons un modèle de prédiction de trajectoire avion. Finalement nous démontrons dans le cadre de simulations que nos algorithmes peuvent estimer les erreurs de prévisions de vent en utilisant les observations délivrées par les avions le long de leur trajectoire. / Aircraft trajectory prediction error can be explained by different factors. One of them is the weather forecast uncertainties. For example, the wind forecast error has a non negligible impact on the along track accuracy for the predicted aircraft position. From a different perspective, that means that aircrafts can be used as local sensors to estimate the weather forecast error. In this work we describe the estimation problem as several acquisition processes of a same random field. When the field is homogeneous, we prove that they are equivalent to random processes evolving in a random media for which a Feynman-Kac formulation is done. Then we give a particle-based approximation and provide convergence results of the ensuing estimators. When the random field is not homogeneous but can be decomposed in homogeneous sub-domains, a different model is proposed based on the coupling of different acquisition processes. From there, a Feynman-Kac formulation is derived and its particle-based approximation is suggested. Furthermore, we develop an aircraft trajectory prediction model. Finally we demonstrate on a simulation set-up that our algorithms can estimate the wind forecast errors using the aircraft observations delivered along their trajectory.

Un système de navigation hybridée associe plusieurs moyens de positionnement afin d'augmenter la précision, la disponibilité, et la fiabilité de l'information délivrée. Cette thèse se focalise sur l'association d'une centrale inertielle et de mesures radio-altimétriques pour la navigation des aéronefs (drones, missiles). La problématique consiste à fusionner de manière optimale les informations inertielles et les mesures du radio-altimètre. Ce problème se formule comme une opération de filtrage non-linéaire, la non-linéarité résultant du profil arbitraire du terrain survolé. On se propose dans le cadre de la thèse d'évaluer les performances de l'algorithme de filtrage particulaire. Cet algorithme, bien qu'encore très peu utilisé pour des applications industrielles à cause de la lourdeur des calculs qu'il engendre, suscite un intérêt croissant avec l'augmentation constante des capacités de calcul des processeurs. Cette étude s'est concentrée à la fois sur le contexte applicatif (principe de la navigation inertielle, modélisation des imperfections des senseurs inertiels, description des algorithmes actuellement utilisés, principe de la mesure radio-altimétrique) et sur la théorie du filtrage particulaire. Ceci a permis de préciser les apports potentiels du filtrage particulaire par rapport aux autres algorithmes plus classiques (filtre à grille, filtre de Kalman étendu, unscented Kalman filter). L'expérience acquise sur les différentes variantes du filtre particulaire a permis de proposer des solutions satisfaisant au mieux le cahier des charges imposé par le contexte applicatif.

Cette thèse présente une étude statistique du problème de la trajectographie passive. On s'intéresse dans une première partie à la question de l'observabilité pour des trajectoires paramétriques puis paramétriques par morceaux et ensuite des trajectoires à vitesse constante. La deuxième partie est consacrée à l'estimation : on présente les propriétés de l'estimateur du maximum de vraisemblance pour des trajectoires paramétriques et paramétriques par morceaux. On expose également le caractère non robuste de cette estimation en dépit de propriétés asymptotiques satisfaisantes. On s'intéresse alors à la sensibilité de l'estimation quand le modèle d'état n'est pas totalement spécifié. Son comportement est décrit pour des perturbations d'état déterministes puis stochastiques et un cadre semiparamétrique est considéré quand la loi du bruit d'état est inconnue. Dans la dernière partie, on aborde le problème de la trajectographie passive comme chaîne de Markov cachée. On s'intéresse à l'étude du filtre optimal et à sa résolution par des méthodes algorithmiques. Le filtre de Kalman étendu est expérimenté sous différentes conditions de bruit d'état. On présente ensuite des résultats de stabilité asymptotique du filtre optimal pour des chaînes de Markov cachées non ergodiques puis leur application en trajectographie passive.

Cette thèse considère le problème du filtrage non linéaire, c'est à dire l'estimation au cours du temps de l'état, indirectement observé, d'un système dynamique non linéaire. Ce type de problématique concerne une large gamme de modèles relatifs à divers domaines scientifiques.<br />Une approche originale utilisant les noyaux de convolution et des simulations d'un grand nombre de variables aléatoires est développée. Le cas des modèles contenant des paramètres inconnus à estimer est aussi traité. Des propriétés théoriques de convergence sont établies pour ces nouvelles approches.<br />Afin de compléter l'étude de nos techniques, des comparaisons avec les méthodes traditionnelles, notamment avec les différents filtres particulaires, sont réalisées en simulation.<br />Puis nos nouvelles approches sont appliquées sur un problème réel, un bioréacteur de retraitement d'eaux usées. Les performances obtenues, sur données réelles, permettent d'apprécier la robustesse de la méthode par rapport aux erreurs de modèles et aux données de mauvaises qualités.

Ce mémoire est consacré à I'étude de certains aspects de la prise de décision ou de la commande avec information incomplète sur l'environnement déterministe ou aléatoire, Dans la 1ère partie, on présente des structures d'information classique déterministe . comprenant la boucle ouverte, la structure de Stackelberg, la boucle fermée et la boucle fermée sur Le futur. On compare, sur un exemple de duopole dynamique issu de la théorie de la firme, les équilibres en boucle ouverte et fermée Puis on étudie la structure feedforward et on montre, en généralisant I.a méthode des caractéristiques pour les systèmes d'équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman, une condition nécessaire d' existence locale, suggérant qu'il existe une infinité d'équilibres dans certains cas Dans la 2eme partie, on étudie I' information non classique pour les problèmes d'équipe stochastiques dans le cas de décideurs multiples ayant des observations différentes et une mémoire limitée. On généralise la méthode de programmation dynamique en prenant La loi des trajectoires jusqu'à l'instant présent comme variable d' état.. On obtient une équation d 'Hamilton-Jacobi-Bellman sous des hypothèses de régularité , donnant une définition rigoureuse de la notion de "signalisation". Ces hypothèses de régularité sont vérifiées dans Le cas du contrôle des diffusions avec observations partielles. La 3eme partie est consacrée à l'étude d'une cals s e de systèmes nonLinéaires admettant. des filtres de dimension finie. Les systèmes à considérés, à temps discret au continu, sont, caractérisés par Le fait que les bruits n'agissent pas sur La dynamique du système , mais seulement, sur les observations. On donne La condition nécessaire et suffisant.e de l' existence d'un filtre de dimension finie ainsi que sa réalisation minimale, et on montre Le lien entre dimension finie du filtre et Immersion dans un système linéaire. Un exemple concret permet d' évaluer les performances de la méthode de filtrage, et, de La comparer au filtre de Kalman étendu. La 4eme partie, enfin, propose un algorithme rapide pour Le calcul des commandes réalisant le découplage ou Le rejet des perturbations d'un système non linéaire (commandes pouvant, servir à définir une sous-optimalité raisonnable pour certains problèmes contrôle stochastique) Cet algorithme nécessite la dérivation formelle (et peut et.re programmé dans un langage comme REDUCE ou MACSYMA) et utilise l'interprétation des nombres dits "caractéristiques" comme la longueur de chemins minimaux dans le graphe du système * Cette méthode est appliquée au calcul des commandes qui découplent; la dynamique d I un bras de robot.

On présente dans ce mémoire, une approche globale du probème de poursuite radar de cibles manoeuvrantes à faible rapport signal/bruit, par filtrage non-linéaire particulaire. Le filtrage particulaire, dont les bases ont été jetées dès 1989, permet d'aborder tous les cas où les non-linéarités présentes posent des difficultés de résolution aux techniques de filtrage dynamique. Il consiste à construire une approximation-mesure de la probabilité conditionnelle de la variable d'état à estimer par particules aléatoires, dont la dynamique est régie par le flot stochastique du système, et qui sont pondérées, via la règle de Bayes, par les mesures jusqu'à l'instant courant. Ce travail présente en premier lieu le traitement direct des mesures radar brutes en sortie d'échantillonneur/convertisseur. On montre notamment que la prise en compte de la dynamique de cible dans l'intégration cohérente des récurrences RADAR, permet d'atteindre les limites théoriques de détection, jusqu'alors inacessibles. Cela conduit notamment à revoir le problème de détection, car l'intégration d'un modèle de dynamique permet de relever le rapport signal/bruit équivalent, et minimise les problèmes de fausse alarme. En second lieu, on détaille le post-traitement des données de position délivrées par un radar de poursuite usuel, en particulier pour le modèle générique de missile à loi de navigation proportionnelle. On présente dans ce cas la résolution du problème de détermination de but visé, qui se pose en terme d'un test d'hypothèses sur le modèle de dynamique de l'assaillant.

On présente dans ce mémoire un résumé de nos recherches depuis 1985 dont le fil conducteur réside dans l'étude des systèmes dynamiques non-lineaires, déterministes et stochastiques.<br />Une première partie est consacrée aux principaux résultats à caractère fondamental obtenus durant cette période. On montre comment les représentations algébriques (algèbre de Lie) des systèmes non-linéaires que nous avons développés permettent d'appréhender sous un nouveau jour les problèmes de commandabilité des systèmes. Nous présentons ensuite le filtrage polynomial à horizon infini, particulièrement adapté au filtrage des systèmes bilinéaires, et montrons en quoi ses performances dépassent largement les filtres polynomiaux classiques. Une partie est alors consacrée à la réalisation et à l'identification des systèmes linéaires en treillis ARMAX. On montre comment la non-linéarité du problème d'optimisation peut-être résolue au prix d'un calcul héréditaire. Nous exposons enfin notre contribution au filtrage particulaire concernant l'optimisation des distributions initiales des particules ainsi que leurs redistributions.<br />Une deuxième partie est consacrée au traitement d'applications de ces résultats théoriques. Nous nous restreignons ici au problème de la détection de multi-émissions sur une même porteuse (projet Clementine / CELAR), et au traitement non-linéaire du signal LORAN-C (DCN/DIGINEXT)

Le problème de filtrage consiste à estimer l'état d'un système dynamique, appelé signal qui est souvent un processus markovien, à partir d'observation bruitées des états passés du système. Dans ce mémoire, nous considérons un modèle de filtrage en temps continu pour le processus de diffusion. Le but est d'étudier la stabilité du filtre optimal par rapport à sa condition initiale au-delà de l'hypothèse de mélange (fort) pour le noyau de transition en ignorant l'ergodicité du signal / The filtering problem consists of estimating the state of a dynamic, called signal which is often a Markov process, from the noisy observation of the past states. In this thesis, we consider a filtering model in continuous time for the diffusion process. The aim is to study the stability of the optimal filter with respect to its initial condition beyond the mixing (or quasi – mixing) hypothesis for the transition kernel

L’industrie éolienne et l’aéronautique ont des besoins importants en matière de mesure de vent dans les premières centaines de mètres de l’atmosphère. Les lidars sont des instruments répandus et éprouvés pour ce type de mesure. Cependant, leurs qualités d’acquisition sont atténuées par un bruit de mesure systématique. En utilisant des techniques sur le filtrage nonlinéaire nous avons participé au développement d'un algorithme qui améliore l’estimation du vent et de la turbulence. Cet algorithme est basé sur une représentation de l’atmosphère par des particules fluides. Il utilise un modèle lagrangien stochastique de turbulence et un filtrage par sélection génétique. Son efficacité dépend du réglage de certains paramètres, fixés à une valeur acceptable à l’issue de la phase de développement. Mais l’influence de ces paramètres n’a jamais été étudiée. Ce travail de thèse répond à cette question par une analyse de sensibilité basée sur la décomposition de variance. De nouveaux estimateurs pour les indices de Sobol, utilisant des régression pénalisées, ont été testés. Ces estimateurs mettent les indices de Sobol les plus petits automatiquement à zéro pour faciliter l’interprétation globale. L’analyse de sensibilité permet de réduire le système à 9 entrées et 5 sorties à un système de 3 entrées (le nombre de particules, le bruit d’observation réel et le bruit d’observation donné au filtre) et 2 sorties (la pente du spectre de vent et l’erreur sur le vent). Grâce à ce système réduit, nous mettons en évidence une méthode de réglage des paramètres d’entrée les plus importants. Le bruit d’observation donné au filtre est bien réglé lorsque la pente du spectre est à la valeur cible de -5/3. Une fois ce bruit réglé, l’erreur sur le vent est minimale avec une expression connue. / Wind energy industry and airport safety are in need of atmospheric observations. Remote sensors, such as lidars, are well proven and common technology to provide wind measurements in the first hundreds of meters of altitude. However, acquisition abilities of lidars are polluted by measurement noise. Using non-linear filtering techniques, we took part at the development of an algorithm improving wind and turbulence estimations. The process is based on a representation of the atmosphere with fluid particles. It uses a stochastic Lagrangian model of turbulence and a genetic selection filtering technique. Its efficiency depends of the setting of various parameters. Their values were fixed experimentally during the development phase. But their influence has never been assessed. This work addresses this question with a variance-based sensitivity analysis. New estimators of Sobol indices, using penalized regression have been tested. These estimators ensure the lowest Sobol indices automatically go to zero so the overall interpretation is simplified. The sensitivity analysis allows to reduce the system from 5 outputs and 9 inputs to 3 inputs (number of particles, real observation noise, observation noise given to the filter) and 2 outputs (wind spectrum slope, root-mean-squared error on wind). With this reduced system we determined a procedure to correctly set the most important parameters. The observation noise given to the filter is well set when the wind spectrum slope has the expected value of -5/3. Once it is set correctly, the error on wind is minimum and its expression is known.