Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin à l'estimation statistique de paramètres de certains processus stochastiques et à l'obtention de théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids de processus fractionnaires et/ou à deux paramètres ainsi qu'à l'approximation gaussienne de mesures de probabilités multidimensionnelles. Dans le Chapitre 1 nous construisons des estimateurs de type Stein pour la dérive de processus gaussiens et pour l'intensité de processus de Poisson. Dans le Chapitre 2 nous calculons l'estimateur bayésien du signal d'entrée d'un canal de Poisson et nous étendons notre résultat aux canaux dont le bruit est une martingale normale possédant la propriété de représentation chaotique. Dans le Chapitre 3 nous établissons des théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du drap brownien standard (nous permettant de donner un estimateur asymptotiquement normal de la variation quadratique de certains processus de diffusion à deux paramètres) puis pour celles de certains draps browniens fractionnaires. Dans ce même chapitre nous établissons un théorème de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$ nous permettant de donner le comportement asymptotique des sommes de Riemann à signe alterné associées au mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$. Enfin dans le Chapitre 4 nous appliquons la méthode de Stein et du calcul de Malliavin afin d'obtenir des bornes explicites pour l'approximation gaussienne multidimensionnelle de fonctionnelles de champs gaussiens. Nous appliquons en particulier nos résultats aux théorème de la limite centrale de Breuer et Major pour des champs associés à un mouvement brownien fractionnaire.

La modélisation temporelle de la propagation acoustique/élastique dans un milieu poreux à structure rigide (modèle du fluide équivalent) et souple (modèle de Biot) a été étudiée. Le concept de dérivées fractionnaires a été introduit, les fonctions de Green temporelles ainsi que les opérateurs de réflexion et de transmission ont été obtenues. Les problèmes directs et inverses ont été résolus en utilisant des données expérimentables réfléchies et/ou transmises. Une caractérisation complète des milieux poreux a été ainsi effectuée dans le régime asymptotique correspondant aux hautes fréquences et le régime visqueux correspondant aux basses fréquences. Une application expérimentale aux mousses plastiques et aux tissus osseux spongieux a été traitée. Une étude détaillée de la causalité des modèles a été faite suite à un doute dans la littérature concernant l'utilisation de modèles couramment utilisés (Johnson-Allard), les relations de Kramers-Kronig ont été vérifiées dans le domaine des hautes et basses fréquences. La causalité des modèles a été aussi montrée dans le domaine temporel en utilisant les relations généralisées de Hilbert et la théorie des distributions tempérées. Les problèmes ouverts concernant la propagation dans les milieux poreux macroscopiquement inhomogènes ont été soulevés, en évoquant quelques pistes comme la méthodes de séparation d'ondes (Waves splitting) et l'établissement des équations de propagations dans le régime temporel.

Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour garantir des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique pour une classe de systèmes non linéaires fractionnaires. Nous avons étendu ces résultats dans la stabilisation asymptotique des systèmes non linéaires singuliers fractionnaires et proposé des conditions suffisantes de stabilité asymptotique de l'erreur d'observation dans le cas de l'étude des observateurs pour les systèmes non linéaires fractionnaires et singuliers fractionnaires. Pour les systèmes non linéaires à dérivée d'ordre entier, nous avons proposé par l'application de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman des conditions suffisantes pour : - la stabilisation exponentielle par retour d'état statique et par retour de sortie statique, - la stabilisation exponentielle robuste en présence d'incertitudes paramétriques, - la commande basée sur un observateur. Nous avons étudié la stabilisation des systèmes linéaires fractionnaires avec les lois de commande suivantes~: retour d'état statique, retour de sortie statique et retour de sortie basé sur un observateur. Puis, nous avons proposé des conditions suffisantes de stabilisation lorsque le système linéaire fractionnaire est affecté par des incertitudes non linéaires paramétriques. Enfin, nous avons traité la synthèse d'un observateur pour ces systèmes. Les résultats proposés pour les systèmes linéaires fractionnaires ont été étendus au cas où ces systèmes fractionnaires sont singuliers. La technique de stabilisation basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman est étendue aux systèmes non linéaires fractionnaires et aux systèmes non linéaires singuliers fractionnaires. Des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique, de stabilisation asymptotique robuste et de commande basée sur un observateur ont été obtenues pour les classes de systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires. Par ailleurs, une méthode de synthèse d'observateurs pour ces systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires est proposée. Cette approche est basée sur la résolution d'un système d'équations de Sylvester. L'avantage de cette méthode est que, d'une part, l'erreur d'observation ne dépend pas explicitement de l'état et de la commande du système et, d'autre part, qu'elle unifie la synthèse d'observateurs de différents ordres (observateurs d'ordre réduit, d'ordre plein et d'ordre minimal).

L’étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D’autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l’associant à des durées d’immobilisation sans moyenne finie, en fait distribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplacements régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodynamique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.Nous montrons comment mettre en œuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d’outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimentales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des paramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu’on sait mesurer directement, comme la densité d’un traceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d’inversion qui permet d’extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales. Cette méthode d’inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle utilise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.Après avoir testé cette méthode en l’appliquant à des données numériques en essayant de retrouver leurs paramètres à "l’aveugle", nous l’appliquons à des données issues d’une expérience de traçage en milieu poreux insaturé / Appealing models for mass transport in porous media assume that fluid and tracer particles can be trapped during random periods. Among them, the fractional version of the Mobile Immobile Model (f-MIM) was found to agree with several tracer test data recorded in environmental media.This model is equivalent to a stochastic process whose density probability function satisfies an advection-diffusion equation equipped with a supplementary time derivative, of non-integer order. The stochastic process is the hydrodynamic limit of random walks accumulating convective displacements, diffusive displacements, and stagnation steps of random duration distributed by a stable Lévy law having no finite average. Random walk and fractional differential equation provide complementary simulation methods.We describe that methods, in view of having tools for comparing the model with tracer test data consisting of time concentration curves. An other essential step in this direction is finding the four parameters of the fractional equation which make its solutions fit at best given sets of such data. Hence, we also present an inversion method adapted to the f-MIM. This method is based on Laplace transform. It exploits the link between model's parameters and Laplace transformed solutions to f-MIM equation. The link is exact in semi-infinite domains. After having checked inverse method's efficiency for numerical artificial data, we apply it to real tracer test data recorded in non-saturated porous sand

On considère une famille (Pδ)δ>0 de problèmes aux limites et de transmission dans un domaine avec couche mince, écrit sous la forme d'une équation différentielle d'ordre deux abstraite de type elliptique . Une nouvelle approche pour la résolution de (Pδ)δ>0 est présentée dans ce travail utilisant le concept physique d'impédance. Cette méthode est différente de celle qui utilise un changement d'échelle sur la couche mince voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.]. Elle permet d'obtenir un problème direct et simplifié où l'effet de la couche mince se retrouve complètement décrit par l'opérateur d'impédance. Les techniques employées sont essentiellement basées sur le calcul fonctionnel de Dunford, la théorie des semi-groupes, l'interpolation et quelques idées des travaux de [R. Labbas, Thèse d'état], [Dore G., Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.] et [Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A.]. On obtient des résultats nouveaux d'existence, d'unicité et de régularité maximale dans les espaces de Hölder pour fixé et ensuite on étudie le passage à la limite quand δ→0 de (Pδ)δ>0. Ce travail complète ainsi ce qui a été obtenu dans le cadre Lp, voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.].

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes statistiques liés à deux modèles paramétriques stochastiques que sont le mouvement brownien fractionnaire (mbf) et le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Le mbf a été introduit en statistique à partir de 1968 pour modéliser des phénomènes autosimilaires (i.e. invariants par changements d'échelle) et des séries chronologiques exhibant une structure de dépendance uniforme qui décroî t de manière hyperbolique avec le temps. Le mbm, apparu beaucoup plus récemment, constitue une extension du mbf au sens où la structure de dépendance peut évoluer au cours du temps : l'autosimilarité n'est alors vérifiée qu'asymptotiquement localement. L'objectif initial de ce travail de recherche a été l'identification de ce dernier modèle. Néanmoins, ce travail a nécessité des connaissances théoriques constituées par un traitement approfondi et pertinent du mbf, tant sur la compréhension des résultats obtenus jusqu'alors que sur leurs extensions.

La perspective de la production décentralisée nécessite de revenir à la modélisation fine des dispositifs électriques constituant le réseau, aux multiples principes de fonctionnement (moteur ou générateur, machines tournantes ou statiques, ...etc) et gammes de puissance. En effet, cet accroissement considérable de la taille des réseaux ne peut se faire au détriment de la sécurité des personnes et de la fiabilité des installations, La machine électrique n'est plus isolée et fait désormais partie intégrante du réseau électrique. C'est sur elle que portera principalement notre étude. La présence de nombreux harmoniques sur le réseau incite à disposer de modèles fréquentiels plus fins et valables sur une plus grande plage de fréquences. En outre, l'étude des réseaux sera facilitée si la matrice d'état du système est de taille raisonnable, autrement dit si le modèle comporte le plus petit nombre de paramètres possible. L'objectif premier de ce travail présenté dans ce mémoire est d'améliorer les modèles classiques des machines, en tenant compte de phénomènes physiques liés à la variation de fréquence, comme l'effet de peau. Ceci impose de partir des équations de Maxwell, décrivant tout phénomène d'induction et de remonter au schéma équivalent de la machine. Cette amélioration des modèles repose sur l'utilisation d'un outil mathématique récemment appliqué à d'autres domaines scientifiques : la dérivation non entière.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations aux dérivées fractionnaires et leurs applications au traitement d'images. Une attention particulière a été apportée à un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires. En particulier, nous avons étudié les propriétés qualitatives des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires qui explosent en temps fini. L'existence des solutions locales pour le système, le profil des solutions qui explosent en temps fini sont présentés. Nous étudierons le problème inverse pour l'équation de diffusion linéaire en une dimension et en deux dimensions. Nous sommes intéressés par trouver un terme source inconnu d'une équation de diffusion non locale. Les conditions aux limites considérées sont non locales et le problème spectral est non auto-adjoint. L'existence et l'unicité de la solution du problème inverse sont présentées.D'autre part, nous proposons un modèle basé sur l'équation de la chaleur linéaire avec une dérivée fractionnaire en temps pour le débruitage d'images numériques. L'approche utilise une technique de pixel par pixel, ce qui détermine la nature du filtre. En contraste avec certain modèles basés sur les équations aux dérivées partielles pour le débruitage de l'image, le modèle proposé est bien posé et le schéma numérique est convergent. Une amélioration de notre modèle proposé est suggéré.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions ayant trait au calcul des variations et à la théorie des équations aux dérivées partielles elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre 1, on étudie la condition de pente minorée pour des fonctions définies sur la frontière d'un ouvert de $\R^n.$ <br />Dans le chapitre 2, on s'intéresse à un problème de calcul des variations où la fonctionnelle est de la forme $$u\mapsto \int\{ F(\nabla u(x))+G(x,u(x))\}\,dx$$ et où la condition de Dirichlet est définie par une fonction vérifiant la condition de pente minorée. <br /> Dans le chapitre 3, on étudie une équation aux dérivées partielles elliptique à forme divergentielle avec une condition de Dirichlet qui vérifie la condition de pente minorée. <br />Dans le chapitre 4, on décrit les composantes connexes de l'ensemble $W^{s,p}(M,N).$ <br />Dans le chapitre 5, nous identifions l'ensemble singulier d'une fonction $u\in W^{s,p}(S^N,S^1).$

L'étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D'autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l'associant à des durées d'immobilisation sans moyenne finie, en fait distribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplacements régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodynamique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.Nous montrons comment mettre en œuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d'outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimentales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des paramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu'on sait mesurer directement, comme la densité d'un traceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d'inversion qui permet d'extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales. Cette méthode d'inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle utilise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.Après avoir testé cette méthode en l'appliquant à des données numériques en essayant de retrouver leurs paramètres à "l'aveugle", nous l'appliquons à des données issues d'une expérience de traçage en milieu poreux insaturé