Este objeto de aprendizaje busca: a) Resolver ecuaciones trigonométricas (en los reales y en un intervalo específico) usando identidades trigonométricas y b) Resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora.

Hercules killed the Hydra of Lerna in a bloody battle-the second of the labor tasks imposed upon him in atonement for his hideous crimes. The Hydra was a horrible, aggressive mythological monster with many heads and poisonous blood, whose heads multiplied each time one of them was severed. This paper explores some mathematical methods about this interesting epic battle. A generalization of the original Kirby & Paris model is proposed, concerning a general heads reproduction pattern. We also study the connection of this model with Goodstein ultra-growing and recursive sequences. As an interesting application, we next analyze the inevitable death of another huge monster of our modern era: the Internet.

La Ciudad de Chiclayo ha experimentado en las últimas décadas uno de los crecimientos más acelerados del Norte del país, tanto poblacional como espacialmente. Este crecimiento ha producido en toda la ciudad, cambios en la morfología urbana, en la dinámica de los agentes urbanos y en la calidad ambiental. Dentro del mosaico urbano, el Núcleo Central constituye un objeto de estudio de características particulares, debido a la concentración espacial de diversas funciones de la ciudad en un área relativamente pequeña. El estudio del Núcleo Central de Chiclayo, se ha realizado desde una perspectiva espacio-funcional. El artículo mostrará las características de los componentes de la Morfología Urbana; el plano urbano, las construcciones y los usos del suelo urbano, haciendo énfasis en este último punto. Se incluye también, una breve contextualización del área de estudio y la metodología empleada para el levantamiento de la información.In the last decades, the City of Chiclayo has experienced one of the most accelerated growths in Northem Peru, in both population and spatial aspects. This growth has brought about changes in its urban morphology, as well as in its dynamics and environmental quality. Inside this urban complex, the Chiclayo's Inner City deserves remarkable attention, due to its particular characteristics, and the spatial concentration of different kinds of urban functions in a relatively reduced area. This study was done from a space -functional perspective. 1t shows the characteristics of the Urban Morphology components, the urban plan, the built environment and especially the urban land use. It also includes, a brief context of the study area and the methodology used for data collection

En este trabajo se estudia el problema de optimización mín xES f(x) donde S es un subconjunto convexo en un espacio normado X f : X (flecha funcional) R. Asimismo, se presenta una extensión del teorema de Kuhn-Tucker que resuelve el problema de minimización sobre el conjunto S = {x E S/g(x) E -C donde C ∧ h(x) = 0Z}es un cono de orden y h, g dos funcionales Fréchet diferenciables. / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / Esta memoria tiene como objetivo el análisis de un modelo de transmisión de datos bajo el contexto de network coding. El modelo fue inspirado en un estudio de comunicación en redes inalámbricas. En el escenario a estudiar, se desea enviar información particionada en paquetes, que llegan a un transmisor, a múltiples receptores. Se considera que el tiempo está particionado en períodos de tiempo iguales. Los paquetes, modelados como vectores de un espacio vectorial, llegan al transmisor mediante un proceso de Bernoulli de tasa $\lambda$. El transmisor puede enviar, en cada período, una combinación lineal de paquetes por igual a cada uno de los receptores. Las transmisiones pueden fallar en cada período con probabilidad $1-\mu$ de manera independiente entre cada receptor. Los receptores deben ser capaces de recuperar cada paquete de información original. En el contexto descrito, el principal parámetro de estudio es el retraso de decodificación de un paquete, definido como el tiempo esperado que transcurre entre que llega el paquete al transmisor y el instante en que un receptor logra decodificarlo (es decir, ser capaz de calcular una combinación lineal entre las transmisiones que el receptor ha recibido, cuyo resultado sea el paquete en consideración). El caso de interés del análisis del retraso de decodificación, es cuando el factor de carga $\rho = \lambda/\mu$, con $\lambda < \mu$, $\rho \rightarrow 1$. En primer lugar, se analiza el caso en que existen dos receptores. El transmisor ocupa un esquema de codificación propuesto en la literatura para calcular las combinaciones lineales de paquetes que se van a enviar. Se demuestra que el tiempo esperado del retraso de decodificación es $O\left( \frac{1}{1-\rho} \right)$, siendo una cota asintóticamente óptima. Se introduce el uso de funcionales de Lyapunov sobre cadenas de Markov, que permiten estudiar y acotar esperanzas que dependen del funcional. Posteriormente, se estudia si es posible para el caso de dos receptores realizar transmisiones, en períodos específicos, que den prioridad al receptor que ha recibido menos paquetes, con el objetivo de acotar el retraso de decodificación de los paquetes que le falta por decodificar a tal receptor. Aquí, se introduce la técnica de coupling de cadenas de Markov en el contexto de network coding. Por último, se avanza en el análisis de un esquema de codificación para el caso de tres receptores propuesto en la literatura. Se generalizan resultados que permiten obtener cotas para el caso de dos receptores utilizando funcionales de Lyapunov, adecuando las hipótesis a las que se tienen en el esquema de codificación en consideración.

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Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.

Magíster en Ingeniería Sísmica / Ingeniero Civil / Esta tesis desarrolla métodos temporales y espectrales de cálculo de correlaciones cruzadas de ruido sísmico para obtener perfiles profundos de velocidad de onda de corte en distintos sectores de la cuenca de Santiago. Los métodos se aplicaron a la componente vertical de registros de 29 estaciones banda ancha y 17 acelerógrafos desplegados sobre distintos depósitos de suelo de la cuenca entre los años 2013 y 2014. El método temporal permite calcular velocidades de grupo identificado el tiempo de desfase donde se alcanza la máxima amplitud de la correlación cruzada, mientras que la metodología espectral calcula velocidades de fase relacionando los cruces por cero de la parte real del espectro de correlación con los ceros de la función de Bessel. Los métodos desarrollados permiten obtener curvas de dispersión entre 0.1 y 5.5 Hz para suelos rígidos ubicados principalmente en la zona sur, centro y este de la Cuenca. Por otro lado, los registros en las zonas norte y oeste, caracterizadas por depósitos de suelo fino y ceniza volcánica, no mostraron correlación. Las velocidades de fase calculadas varían entre 3.8 y 1 km/s mientras que las velocidades de grupo se encuentran entre 2.5 y 0.6 km/s. Considerando las curvas de dispersión obtenidas, la cobertura instrumental y las características geológicas superficiales, se dividió a la cuenca en los distritos Centro, Este y Sur. En cada uno de los distritos se calculó una curva de velocidad de fase promedio para luego invertirla utilizando simulaciones de Monte Carlo. Los perfiles de velocidad de onda de corte invertidos muestran una transición suave entre los sedimentos y la roca basal y un rápido incremento de la velocidad en profundidad. Los perfiles de velocidad muestran que la zona Sur de la Cuenca es más rígida que la zona Centro y Este, las cuales comparten curvas de dispersión similares.

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En muchas situaciones reales se trata de utilizar determinados recursos en una cantidad limitada pero de la mejor manera, es decir que su uso cause el mayor provecho. La programación lineal estudia la optimización de una función lineal que satisface un conjunto de restricciones lineales de igualdad o desigualdad. La programación lineal es un modelo matemático que fue planteado por primera vez por George B. Dantzing en1947 cuando era consejero matemático de la fuerza aérea de los Estados Unidos. Sabemos además que en1939 Leonid V. Kantorovich ya había planteado y resuelto problemas de este tipo. En aplicaciones de la optimización a la economía, teoría de control, problemas inversos etc, surgen problemas donde la función objetivo no siempre es diferenciable o casos en los cuales el problema no está bien puesto. Para resolver problemas como estos se utilizan técnicas en el contexto del análisis convexo, como los métodos de regularización para funciones convexas así como los métodos de punto proximal y lagrangeano aumentado ente otros. Recientemente, en el año 2009, los profesores Bauschke, Lucet y Triens propusieron la media proximal, una novedosa técnica que tiene la propiedad de ser autodual respecto a la conjugada de Fenchel, que puede trabajar incluso con funciones de dominio disjunto, veremos que esta técnica puede ser aprovechada para manipular la envoltura de Goebel y probar su autodualidad respecto a la conjugada de Fenchel, además de tratar la optimización de varias funciones objetivo en el caso convexo o inclusive en el caso de ciertas funciones no necesariamente convexas aun cuando los dominios de estas funciones sean disjuntos. / Tesis