Mon travail de recherche a porté surl’étude de la réponse magnétique orbitale d’un gazd’électrons dans le potentiel cristallin d’un solide.Cette étude est dans la continuité du travail deLandau (diamagnétisme de Landau) et de Peierls,ce dernier ayant développé une formule de susceptibilitéorbitale valable pour les modèles cristallinsà une bande. L’objet de ma thèse a été degénéraliser cette formule à un nombre quelconquede bandes, travail réalisé à l’aide d’une théorie deperturbation invariante de jauge. Je me concentreparticulièrement sur l’étude des modèles à deuxbandes, afin de mettre en évidence l’importancedes couplages interbandes dans la susceptibilitéorbitale. Cela fait intervenir la courbure de Berry,grandeur classiquement associée à ces couplages,mais également le tenseur métrique qui joue unrôle crucial. En particulier, je montre qu’un isolantde bandes peut avoir une réponse magnétiquemême si sa bande de valence est remplie, et je metsen évidence un modèle où les propriétés géométriquespeuvent être variées tout en maintenantfixes les propriétés spectrales, ce qui induit desmodifications importantes de la réponse magnétique. / My research project has been to studythe orbital magnetic response of a electron gas inthe periodic potential of a crystal. Its purpose isto generalize Landau’s diamagnetism and Peierls’formula for one-band crystals. The main goal wasto generalize Peierls’ work to any number of bands.Then, I applied the obtained formula to 2-bandsystems in order to highlight the role of interbandeffects in the orbital susceptibility. The susceptibilitycan be written using Berry curvature, quantityassociated to interband effects, as well as the metrictensor. In particular, I show that a band isulatorcan have a non-vanishing magnetic responseeven if the chemical potential lies in the gap. Moreover,I study a model where the geometric propertiescan be tuned without changing the dispersionrelation. This tuning can drastically modifythe orbital magnetic response.

L'hétérogénéité et l’irrégularité croissante des déploiements des réseaux sans fil de nouvelles générations soulèvent des défis importants dans l’évaluation de performances de ces réseaux. Les modèles classiques s’appuyant sur des modèles hexagonaux pour décrire les emplacements géographiques des nœuds de transmission sont difficilement adaptables à ces réseaux. Dans ce contexte, il a été proposé un nouveau paradigme de modélisation des réseaux sans fil qui s’appuie sur les processus ponctuels de Poisson (PPP), et de manière générale sur la géométrie stochastique. L'analyse, au travers de ces outils mathématiques, présente une complexité indépendante de la taille du réseau, et permet d’estimer avec précision des quantités pratiques liées aux performances des réseaux cellulaires. Cette thèse a porté sur la faisabilité mathématique de l'approche fondée sur les PPP en proposant de nouvelles méthodes mathématiques d’approximations justes incorporant des modèles de propagation du canal radio. Dans un premier temps, un nouveau cadre mathématique, considéré comme une approche Equivalent-in-Distribution (EiD), a été proposée pour le calcul exact de la probabilité d'erreur dans les réseaux cellulaires. L'approche proposée, s’appuyant donc sur la géométrie aléatoire et des modèles spatiaux, montre une complexité faible en terme d’évaluation numérique et est applicable à un grand nombre de configurations MIMO pour lesquelles nous considérons différentes techniques de modulation et techniques de récupération du signal. Dans un deuxième temps, nous étudions les performances des réseaux cellulaires en présence de relais, où trois processus ponctuels de Poisson modélisent respectivement les nœuds relais, les stations de base, et les terminaux mobiles. Pour ce modèle, nous avons considéré des critères souples d'association. Le cadre mathématique proposé et les résultats associés ont montré que les performances dépendent fortement des exposants des fonctions d’atténuation sur les deux premiers sauts sans fil. Nous montrons aussi qu’une mauvaise configuration du réseau peut amener à des gains négligeables de l’utilisation de cette technique. Enfin, nous considérons la modélisation des réseaux cellulaires au travers d’un PPP et d’un modèle unifié d'atténuation de signal généralisée qui prend en compte deux types de liaisons physiques : line-of-sight (LOS) et non-line-of-sight (NLOS). Un modèle de complexité réduite décrivant les propriétés de la liaison radio a aussi été proposée et permet de prendre en compte dans nos calculs un grand nombre de modèle radio proposés dans la littérature. Les résultats montrent, entre autres, qu’une densité optimale pour le déploiement des BS existe lorsque les liens LOS/NLOS sont classés en fonction de leur charge. Nous comparons nos résultats, s’appuyant donc sur un PPP pour modéliser la position des stations de bases et notre modèle de canal radio, avec des simulations de Monte Carlo décrivant des déploiements réels de stations de bases et un modèle de type blocages de construction empiriques. Une bonne correspondance est observée. / The increasing heterogeneity and irregular deployment of the emerging wireless networks give enormous challenges to the conventional hexagonal model for abstracting the geographical locations of wireless transmission nodes. Against this backdrop, a new network paradigm by modeling the wireless nodes as a Poisson Point Process (PPP), leveraging on the mathematical tools of stochastic geometry for tractable mathematical analysis, has been proposed with the capability of fairly accurately estimating the performance of practical cellular networks. This dissertation investigated the mathematical tractability of the PPP-based approach by proposing new mathematical methodologies, fair approximations incorporating practical channel propagation models. First, a new mathematical framework, which is referred to as an Equivalent-in-Distribution (EiD)-based approach, has been proposed for computing exact error probability of cellular networks based on random spatial networks. The proposed approach is easy to compute and is shown to be applicable to a bunch of MIMO setups where the modulation techniques and signal recovery techniques are explicitly considered. Second, the performance of relay-aided cooperative cellular networks, where the relay nodes, the base stations, and the mobile terminals are modeled according to three independent PPPs, has been analyzed by assuming flexible cell association criteria. It is shown from the mathematical framework that the performance highly depends on the path-loss exponents of one-hop and two-hop links, and the relays provide negligible gains on the performance if the system is not adequately designed. Third, the PPP modeling of cellular networks with unified signal attenuation model is generalized by taking into account the effect of line-of-sight (LOS) and non-line-of-sight (NLOS) channel propagation. A tractable yet accurate link state model has been proposed to estimate other models available in the literature. It is shown that an optimal density for the BSs deployment exists when the LOS/NLOS links are classified in saturate load cellular networks. In addition, the Monte Carlo simulation results of the real BSs deployments with empirical building blockages are compared with those with PPP distributed BSs with the proposed link state approximation at the end of this dissertation as supplementary material. In general, a good matching is observed.

Le mélange de fluides représente un élément important du domaine de la dynamique des fluides, ce qui rend la compréhension de ce sujet si significative du point de vue fondamental et appliqué (p. ex., les processus industriels). Dans les géométries miniaturisées (dans des conditions typiques) le mélange est un processus lent, difficile et inefficace. Cela en raison du caractère naturellement laminaire de ces écoulements, qui oblige l'homogénéisation de différents éléments fluides à se produire par diffusion moléculaire au lieu d'un transport advectif, à l'action plus rapide. Cependant, des études expérimentales récentes sur les écoulements viscoélastiques à faible nombre de Reynolds ont montré qu'un mélange efficace peut être déclenché dans plusieurs configurations géométriques (y compris les dispositifs à l'échelle microscopique), par le phénomène de la turbulence élastique. La première partie de cette thèse est consacrée à la compréhension et à l'investigation des défis numériques présents dans le domaine de la dynamique des fluides non newtonienne, en se concentrant plus particulièrement au problème du haut nombre de Weissenberg. Ce dernier se manifeste par une rupture du schéma numérique, lorsque les équations d'évolution d'extra-contraintes polymériques sont évaluées de façon directe. Ceci pose des limites importantes à la possibilité de simuler avec précision des écoulements turbulents-élastiques. Nous fournissons des preuves numériques de l'effet bénéfique (en termes de gain en stabilité) de la décomposition en racine carrée de l'extra-contrainte dans une implémentation en volumes finis des équations régissant l'écoulement dans un canal bidimensionnel. La deuxième partie de la thèse traite de l’émergence et de la caractérisation d’instabilités purement élastiques dans des simulations numériques de fluides Oldroyd-B à nombre de Reynolds zéro dans une géométrie du type cross-slot bidimensionnel. Grâce à un travail numérique approfondi, nous présentons une caractérisation détaillée des instabilités purement élastiques. Ces instabilités apparaissant dans le système pour de larges plages d'élasticité du fluide et de concentration des polymères. Pour les solutions concentrées et des nombres de Weissenberg assez grands, nos simulations indiquent l’apparition d’un écoulement désordonné pointant vers la turbulence élastique. Nous analysons le passage à une dynamique irrégulière et caractérisons les propriétés statistiques de tels écoulements très élastiques, en discutant des similitudes et des différences avec les résultats expérimentaux de la littérature. / Fluid mixing represents an important component of the field of fluid dynamics, what makes the understanding of this subject so meaningful from both the fundamental and applied (e.g. industrial processes) point of view. In miniaturised geometries, under typical conditions, mixing is a slow, difficult and inefficient process due to the naturally laminar character of these flows, which forces the homogenisation of different fluid elements to occur via molecular diffusion instead of faster-acting advective transport. However, recent experimental studies on low-Reynolds-number viscoelastic flows have shown that efficient mixing can be triggered in several geometrical configurations (including micro-scale devices), by the phenomenon of elastic turbulence. The first part of this thesis is devoted to the understanding and investigation of numerical challenges present in the domain of non-Newtonian fluid dynamics, focusing in particular on the high-Weissenberg number problem. The latter manifests as a breakdown of the numerical scheme when the polymeric extra-stress evolution equations are implemented in a direct way, which poses severe limits to the possibility to accurately simulate elastic turbulent flows. We provide numerical evidence of the beneficial effect (in terms of increased stability) of the square-root decomposition of the extra-stress in a finite-volume-based implementation of the governing equations in a two-dimensional channel. The second part of the thesis reports about the emergence and characterisation of purely-elastic instabilities in numerical simulations of zero-Reynolds-number Oldroyd-B fluids in a two-dimensional cross-slot geometry. By means of extensive numerical work, we provide a detailed characterisation of the purely-elastic instabilities arising in the system for wide ranges of both the fluid elasticity and the polymer concentration. For concentrated solutions and large enough Weissenberg numbers, our simulations indicate the emergence of disordered flow pointing to elastic turbulence. We analyse the transition to irregular dynamics and characterise the statistical properties of such highly elastic flows, discussing the similarities and differences with experimental results from the literature.

Cette thèse développe les statistiques géométriques pour l'analyse de lavariabilité normale et pathologique des formes d'organe en anatomienumérique. Les statistiques géométriques s’intéressent aux données issues devariétés avec structures géométriques additionnelles. En anatomie numérique,les formes d'un organe peuvent être vues comme des déformations d'un organede référence - i.e. comme éléments d'un groupe de Lie, une variété avec unestructure de groupe - ou comme les classes d'équivalence de leur configuration3D sous l'action de transformations - i.e. comme éléments d'un quotient, unevariété avec une stratification. Les images médicales peuvent êtrereprésentées par des variétés avec une distribution horizontale. Lacontribution de cette thèse est d'étendre les statistiques géométriques au delàdes géométries riemanniennes ou métriques maintenant classiques pourprendre en compte des structures additionnelles. Premièrement, nousdéfinissons les statistiques géométriques sur les groupes de Lie. Nousproposons une construction algorithmique de (pseudo-)métriqueRiemannienne, compatible avec la structure de groupe, lorsqu'elle existe. Noustrouvons que certains groupes n'admettent pas de telle (pseudo-)métrique etdéfendons l'idée de statistiques non-métriques sur les groupes de Lie. Ensuite,nous utilisons les statistiques géométriques pour analyser l'algorithme decalcul d'organe de référence, reformulé avec des espaces quotient. Nousmontrons son biais et suggérons un algorithme amélioré. Enfin, nousappliquons les statistiques géométriques au traitement d'images, engénéralisant les structures sous-Riemanniennes, utilisées en 2D, au 3D / This thesis develops Geometric Statistics to analyze the normal andpathological variability of organ shapes in Computational Anatomy. Geometricstatistics consider data that belong to manifolds with additional geometricstructures. In Computational Anatomy, organ shapes may be modeled asdeformations of a template - i.e. as elements of a Lie group, a manifold with agroup structure - or as the equivalence classes of their 3D configurations underthe action of transformations - i.e. as elements of a quotient space, a manifoldwith a stratification. Medical images can be modeled as manifolds with ahorizontal distribution. The contribution of this thesis is to extend GeometricStatistics beyond the now classical Riemannian and metric geometries in orderto account for these additional structures. First, we tackle the definition ofGeometric Statistics on Lie groups. We provide an algorithm that constructs a(pseudo-)Riemannian metric compatible with the group structure when itexists. We find that some groups do not admit such a (pseudo-)metric andadvocate for non-metric statistics on Lie groups. Second, we use GeometricStatistics to analyze the algorithm of organ template computation. We show itsasymptotic bias by considering the geometry of quotient spaces. We illustratethe bias on brain templates and suggest an improved algorithm. We then showthat registering organ shapes induces a bias in their statistical analysis, whichwe offer to correct. Third, we apply Geometric Statistics to medical imageprocessing, providing the mathematics to extend sub-Riemannian structures,already used in 2D, to our 3D images

Dans cette thèse, nous examinons comment un assistant de preuve peut être utilise pour étudier les fondements de la géométrie. Nous débutons en nous concentrant sur les façons d’axiomatiser la géométrie euclidienne et leurs relations. Ensuite, nous exposons une nouvelle preuve de l’indépendance de l’axiome des parallèles des autres axiomes de la géométrie euclidienne du premier ordre. Cela nous amène à affiner la classification des plans de Hilbert de Pejas en considérant les propriétés de décidabilité. Mais, notre intuition nous amène souvent à négliger leur utilisation. Un assistant de preuve nous permet d’utiliser un outil parfait qui ne possède aucune intuition : un ordinateur. De plus, les assistants de preuve nous laissent exploiter les capacités de calcul des ordinateurs. Nous démontrons comment utiliser de méthodes algébriques de déduction automatique en géométrie synthétique. Enfin, nous présentons une procédure spécifique destinée à automatiser des preuves d’incidence. / In this thesis, we investigate how a proof assistant can be used to study the foundations of geometry. We start by focusing on ways to axiomatize Euclidean geometry and their relationship to each other. Then, we expose a new proof that Euclid’s parallel postulate is not derivable from the other axioms of first-order Euclidean geometry. This leads us to refine Pejas’ classification of parallel postulates. We do so by considering decidability properties when classifying the postulates. However, our intuition often guides us to overlook uses of such properties. A proof assistant allows us to use a perfect tool which possesses no intuition: a computer. Moreover, proof assistants let us leverage the computational capabilities of computers. We demonstrate how we enable the use of algebraic automated deduction methods thanks to the arithmetization of geometry. Finally, we present a specific procedure designed to automate proofs of incidence properties.

Le problème de Steklov est un problème spectral qui provient de la mécanique des fluides. C’est un problème de valeur propre dont les paramètres spectraux sont dans la condition au bord. Son spectre coïncide avec celui de l’opérateur de Dirichlet-Neumann. Le spectre du problème de Steklov est discret lorsque l’opérateur de trace est compact, ce qui est le cas lorsque la frontière du domaine est lipschitzienne. Dans ce mémoire, nous prouvons de deux manières différentes l’effondrement vers 0 du spectre de Steklov pour un domaine en forme d’haltère dégénérant vers deux disques. On se concentre par la suite sur les domaines dont la frontière n’est pas uniformément lipschitzienne. Nous donnons deux exemples pour montrer que l’opérateur de trace n’est pas compact pour ces domaines. De plus, nous présentons une borne inférieure pour la première valeur propre σ₁ non nulle du problème de Steklov pour les domaines ayant deux axes de symétrie. Enfin, nous présentons des bornes inférieures pour le problème des valeurs propres Steklov pour les domaines étoilés. Ces résultats sont dus à J. R. Kuttler et V. G. Sigillito. [7, 8]. / The Steklov problem is a spectral problem whose origin lies in the mechanics of fluids. It is an eigenvalue problem with spectral parameters in the boundary conditions, which has various applications. Its spectrum coincides with that of the Dirichlet-to-Neumann operator. The spectrum of the Steklov’s problem is discrete when the trace operator is compact. In this master’s thesis, we prove the collapse of the Steklov spectrum for a dumbbell domain in two manners. We will focus on non-Lipschitz domains. We give two examples to show that the trace operator is not compact for non-Lipschitz domains. Furthermore, we present a lower bound to the first non-zero eigenvalue σ₁ of the Steklov problem for domains having two axes of symmetry. Finally, we present lower bounds for the Steklov eigenvalue problem for starshaped domains. These results were due to J. R. Kuttler and V. G. Sigillito restrict domains to domains with two axes of symmetry or star-shaped domains [7, 8].

La radiothérapie par modulation d’intensité est une technique avancée de traitement du cancer qui utilise de nombreux faisceaux de photons dont les intensités sont modulées. Avec cette méthode, des compromis entre la couverture de la zone à traiter et la sauvegarde des organes à risque sont nécessaires et dépendent du planificateur. Pour accélérer, uniformiser et accroître la qualité des planifications futures, le présent mémoire propose des métriques basées sur la géométrie spécifique des patients. Pour ce faire, une étude rétrospective a été conduite. Certains indices dosimétriques d’intérêt ont été mis en relation avec des paramètres géométriques simples. Un modèle de frontières stochastiques a été adapté pour déterminer les frontières inférieures des distributions par une méthode de maximisation de la vraisemblance. La validité de la méthode a été testée. L’impact de l’implantation en clinique d’une métrique simple en ORL a finalement été évalué.

En géométrie spectrale, on s’intéresse aux liens entre le spectre d’une variété riemannienne et sa géométrie. On recherche notamment des bornes supérieures et inférieures pour les va-leurs propres qui font intervenir des quantités géométriques, comme l’aire et le périmètre. On se questionne aussi sur l’isospectralité : Quelles sont les variétés riemanniennes non iso-métriques qui possèdent le même spectre ? Au cours des dernières années, le problème de Steklov, problème introduit au tout début du 20e siècle en mécanique des fluides, a suscité l’intérêt de plusieurs mathématiciens. Le but de ce mémoire est de donner une banque de variétés riemanniennes Steklov-isospectrales. On y présente aussi une preuve d’une borne supérieure pour la première valeur propre de Steklov pour un domaine borné du plan, sans hypothèse sur sa connexité. / In spectral geometry, we are interested in the links between the spectrum of a Riemannian manifold and its geometry. We are looking for geometric upper and lower bounds for the eigenvalues. These bounds are geometric, for they involve geometric quantities such as area and perimeter. Isospectrality is also a subject of interest in spectral geometry: What are thenon isometric Riemannian manifolds that share the same spectrum? In the last few years, the Steklov problem, introduced in the beginning of the 20th century in fluid mechanics, raised the interest of many mathematicians. In this memoir, we present a bank of Steklov-isospectral Riemannian manifolds. We also give a proof of an upper bound for the first Steklov eigenvalue for a bounded domain of the plane without any connectedness assumption.

L’internet, le cerveau humain et bien d’autres sont des systèmes complexes ayant un grand nombre d’éléments qui interagissent fortement entre eux selon leur structure. La science des réseaux complexes, qui associe ces éléments et interactions respectivement à des noeuds et liens d’un graphe, permet aujourd’hui de mieux les comprendre grâce aux types d’analyses quantitatives qu’elle rend possible. D’une part, elle permet de définir une variété de propriétés structurelles menant vers une classification de ces systèmes. D’autre part, la compréhension de l’émergence de ces propriétés grâce à certains modèles stochastiques de réseaux devient réalité. Dans les dernières années, un effort important a été déployé pour identifier des mécanismes d’évolution universels pouvant expliquer la structure des réseaux complexes réels. Ce mémoire est consacré à l’élaboration d’un de ces mécanismes de croissance universels basé sur la théorie de la géométrie des réseaux complexes qui stipule que les réseaux sont des objets abstraits plongés dans des espaces métriques de similarité où la distance entre les noeuds affecte l’existence des liens. Au moyen de méthodes d’analyse avancées, la caractérisation complète de ce mécanisme a été établie et permet le contrôle de plusieurs propriétés structurelles des réseaux ainsi générés. Ce mécanisme général pourrait expliquer, du moins de manière effective, la structure d’un nombre important de systèmes complexes dont la formation est, encore aujourd’hui, mal comprise. / The internet and the human brain among others are complex systems composed of a large number of elements strongly interacting according to their specific structure. Nowadays, network science, which construes these elements and interactions respectively as nodes and links of a graph, allows a better understanding of these systems thanks to the quantitative analysis it oers. On the one hand, network science provides the definition of a variety of structural properties permitting their classification. On the other hand, it renders possible the investigation of the emergence of these properties via stochastic network models. In recent years, considerable efforts have been deployed to identify universal evolution mechanisms responsible for the structure of real complex networks. This memoir is dedicated to one of these universal growth mechanisms based on the network geometry theory which prescribes that real networks are abstract objects embedded in similarity metric spaces where the distance between nodes aect the existence of the links. Thanks to advanced analysis methods, the complete characterization of the mechanism has been achieved and allows the control of structural properties over a wide range. This general mechanism could explain, at least effectively, the structure of a number of complex systems for which the evolution is still poorly understood.

Le problème de Steklov est un problème spectral dont l'origine se situe en mécanique des fluides (oscillations de faibles amplitudes). En géométrie spectrale, on s'intéresse aux liens entre les fréquences de vibrations propres d'un espace et la géométrie de celui-ci. L'objet de ce mémoire consiste à donner une preuve succincte et accessible du théorème spectral pour le problème de Steklov qui stipule, entre autres, que le spectre de ce problème est discret. En effet, ce théorème est très important puisqu'il est le point de départ de toute étude du problème de Steklov en géométrie spectrale. Néanmoins, la preuve n'est pas facilement accessible dans la littérature et demande un travail bibliographique considérable.