Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe $(M^n,g)$ est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. Un résultat fondamental de Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. Les surfaces compactes autres que $S^2$ sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.

Cette thèse s'intéresse à des complexes monocyclopentadiényles à bras phosphazène des métaux du groupe 4. L'objectif était de générer des espèces capables de s'autoactiver grâce à une interaction entre le phosphazène et le métal, ou du moins de faciliter l'activation nécessaire, pour former une espèce cationique super acide de Lewis du type Catalyseur à Géométrie Contrainte. Une étude théorique des systèmes présentant l'arrangement “Cp-P=N” montre que cette interaction est favorisée dans le complexe neutre, et qu'elle stabilise le complexe cationique. Plusieurs ligands monocyclopentadiényles à bras phosphazène ont été synthétisés, selon deux modèles : “Cp-Si-N=P” et “Cp-P=N”. Ces systèmes offrent une structure particulièrement modulable. L'alcane élimination entre les ligands et le tétrabenzylzirconium a permis d'obtenir les complexes monocyclopentadiényle benzylzirconium à bras phosphazène correspondants. Ces complexes présentent des structures originales, par les modes de coordination des ligands (notamment une hapticité très rarement observée η1 pour le ligand fluorényle), et par les effets électroniques et stériques subtils qui favorisent ou non la coordination du bras phosphazène au centre métallique.

Dans ce travail nous nous intéressons aux systèmes dynamiques du point de vue de l'entropie. Nous rappellons tout d'abord le formalisme des structures d'entropie introduit par T.Downarowicz. Dans ce cadre on donne en particulier une preuve élémentaire du principe variationnel pour l'entropie de queue et on généralise certaines structures d'entropie aux endomorphismes.<br>Dans un deuxième temps, nous reprenons l'approche semi-algébrique de Y. Yomdin et M. Gromov pour contrôler la dynamique locale des applications de classe $C^r$. On présente une preuve complète du lemme algébrique de Gromov, qui est un point clé de la théorie de Yomdin. Aussi nous déduisons de nouvelles applications dynamiques de cette théorie : d'une part nous bornons l'entropie de queue mesurée en fonction de l'exposant de Lyapounov ; d'autre part nous généralisons une formule due à J.Buzzi pour l'entropie k-dimensionnelle d'un produit d'applications de classe $C^{\infty}$.<br>On s'intéresse enfin à la théorie des extensions symboliques due à M.Boyle et T.Downarowicz pour les applications $C^r$ et affines par morceaux du plan. On exhibe en particulier des exemples de dynamique $C^r$ de l'intervalle ayant une grande entropie d'extension symbolique. Nous donnerons aussi une borne de l'entropie d'extensions symboliques pour les applications affines par morceaux du plan.

Les maillages polygonaux sont des représentations géométriques de plus en plus utilisées pour encoder des formes dans un ordinateur, en raison de leur versatilité, et de leur compatibilité avec les dispositifs d'acquisition 3D. Dans le cadre de cette thèse d'habilitation, nous nous proposons d'étudier différentes maniérés de discrétiser des équations aux dérivées partielles sur ces maillages, ainsi que des applications aux domaines du plaquage de textures, de la conversion entre maillages et Splines, de la visualisation scientifique et de la simulation de la lumière.

Cette thèse présente Cabri-géomètre, un logiciel d'aide à l'enseignement de la géométrie. Cabri-géomètre est un cahier de brouillon interactif, un micromonde qui permet de construire et d'explorer les figures de la géométrie euclidienne plane. Il est notamment possible de modifier la position des objets dits quelconques et de voir évoluer la figure en temps réel. Toutes les actions sur la figure se font par manipulation directe (en les désignant avec une souris) des objets impliques. Le terme de micromonde recouvre les environnements d'apprentissage dans lesquels l'apprenant construit lui-même ses connaissances en expérimentant et en étudiant les phénomènes du domaine. Dans une première partie, nous présentons quelques généralités sur l'enseignement intelligemment assiste par ordinateur, les tendances de recherche et la place de cabri-géomètre sur l'éventail des réalisations actuelles. Dans une deuxième partie, nous exposons les spécifications de ce micromonde en insistant notamment sur les problèmes rencontres lors de la définition des interfaces et de la représentation informatique de la structure logique des figures de géométrie

Le point de départ de ce travail est l'étude de la géométrie d'un espace polonais remarquable construit par Urysohn en 1925, presque oublié pendant 60 ans puis très étudié depuis 1986, date à laquelle Katětov en a donné une nouvelle construction. Celle-ci est basée sur l'espace E(X) des fonctions de Katětov sur un espace métrique X. Ces fonctions sont l'outil majeur de cette thèse; nous caractérisons les polonais X tels que E(X) est séparable, puis utilisons E(X) pour montrer (répondant à une question d'A.S Kechris) que tout groupe compact métrisable est isométrique au groupe d'isométries d'un espace métrique compact. Nous utilisons ensuite ces techniques pour donner de nouveaux résultats sur la géométrie de l'espace d'Urysohn et sur ses isométries. Nous appliquons également notre travail à l'étude de divers problèmes de classification « définissables » ; en particulier, nous calculons la complexité borélienne de la relation d'isométrie entre espaces de Banach séparables.

Mes travaux ont portés successivement sur:<br />- les flots d'Anosov en dimension 3,<br />- l'étude des (G,X)-structures, avec en premier plan les structures affines plates,<br />- la géométrie lorentzienne en courbure constante et leus aspects causaux.<br />Ce long mémoire recouvre tous ces sujets, en mettant en évidence leurs interconnexions.

Le volume des simplexes hyperboliques joue un rôle important dans la connaissance du volume des variétés hyperboliques ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques comme par exemple en arithmétique. Mais il est beaucoup plus difficile à calculer que le volume des simplexes euclidiens, et les résultats connus sont toujours partiels. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation aux simplexes hyperboliques finis et idéaux d'une formule utilisée par A. Connes pour calculer l'aire des triangles euclidiens et hyperboliques. Cette formule intégrale ne permet pas de calculer des valeurs précises, mais plutôt d'étudier des propriétés analytiques de la fonction volume des simplexes hyperboliques idéaux. C'est du moins l'application que nous en faisons. Cela se fait en paramétrant un simplexe idéal par ses sommets sur une sphère -- cette sphère sera le bord de l'espace hyperbolique dans les modèles de la boule de Poincaré ou de Klein. Plus précisément, nous développons une méthode de décomposition en harmoniques sphériques -- après en avoir décrit une base -- du volume d'un simplexe idéal en fonction de ses sommets. Nous détaillons ensuite cette méthode en dimensions 2 et 3, sans toutefois obtenir des formules définitives synthétiques. Nous avons en effet recours au logiciel de calcul formel Maple pour obtenir les premiers coefficients de la décomposition.

La théorie des pavages apériodiques a connu des développements rapides depuis les années 1980, avec la découvertes d'alliages métalliques cristallisant dans une structure quasi-périodique.Dans cette thèse, on étudie particulièrement deux méthodes de construction de pavages : par coupe et projection, et par substitution. Deux angles d'approche sont développés : l'étude de la fonction de complexité, et l'étude métrique de l'espace de pavages.Dans une première partie, on calcule l'asymptotique de la fonction de complexité pour des pavages coupe et projection, généralisant ainsi des résultats connus en dynamiques symbolique pour la dimension 1. On montre que pour un pavage coupe et projection canonique N sur d sans période, la complexité croît (à des constantes près) comme n à la puissance a, où a est un entier compris entre d et N-d.Ensuite, on se base sur une construction de Pearson et Bellissard qui construisent un triplet spectral sur les ensembles de Cantor ultramétriques. On suit leur construction dans le cas d'ensembles de Cantor auto-similaires. Elle s'applique en particulier aux transversales d'espaces de pavages de substitution.Enfin, on fait le lien entre la distance usuelle sur l'enveloppe d'un pavage et la complexité de ce pavage. Les liens entre complexité et métrique permettent de donner une preuve directe du fait suivant : la complexité des pavages de substitution apériodiques de dimension d croît comme n à la puissance d.La question de liens entre la complexité et la topologie (et pas seulement avec la distance) reste ouverte. Nous apportons cependant des réponses partielles dans cette direction.

L'objet central de l'étude est la modélisation mathématique de phénomènes périodiques dans l'enseignement secondaire, plus particulièrement celle des phénomènes périodiques temporels. L'étude part d'un constat établi en comparant les enseignements secondaires français et vietnamien : soit on évite l'enseignement de la modélisation mathématique en concevant le rapport des mathématiques aux autres disciplines scientifiques comme un rapport d'application (Viêt Nam), soit on préconise la prise en compte de la modélisation mathématique sans donner les moyens aux enseignants de mathématiques de l'enseigner (France). La périodicité est le concept central dans le processus de modélisation des phénomènes cycliques et des phénomènes oscillatoires. Dans la genèse scientifique de ce concept, les fonctions périodiques, notamment les fonctions trigonométriques, se sont constituées progressivement comme modèles de grandeurs variables en général en fonction du temps, qui retournent régulièrement et indéfiniment au même état. A partir d'une enquête épistémologique sur les phénomènes périodiques temporels étudiés par la Physique, nous repérons deux modèles mathématiques, C (mouvements circulaires uniformes) et O (oscillations harmoniques) avec leurs différents registres, graphique et algébrique. Une analyse institutionnelle examine et compare la présence de ces deux modèles dans les enseignements secondaires de mathématiques et de physique, en France et au Viêt Nam. Cette analyse met en évidence la faiblesse de l'articulation entre ces deux modèles et l'absence de technique pour effectuer le passage de l'un des modèles à l'autre, alors qu'il s'agit d'un des enjeux de la modélisation elle-même. Le dispositif expérimental se compose d'un questionnaire aux élèves vietnamiens et d'une ingénierie didactique qui organise, dans un environnement de géométrie dynamique et en articulant les deux modèles C et O, la construction de fonctions périodiques comme modèles de phénomènes de co-variations périodiques.