Ce manuscrit présente une synthèse de mes travaux de recherche effectués au sein de l'IRMAR depuis mon arrivée à l'université de Rennes 1 en 2004. Il tente de dégager les idées directrices qui sous-tendent cette recherche, portant sur l'étude des singularités des germes de fonctions réelles à travers des relations d'équivalence après résolution des singularités, tout en se permettant à l'occasion de rentrer dans quelques détails en vue d'illustrer les méthodes utilisées.

La L-théorie classique d'un anneau commutatif est construite à partir des formes quadratiques sur cet anneau modulo une relation d'équivalence lagrangienne. Nous construisons la L-théorie dérivée, à partir des formes quadratiques $n$-décalées sur un anneau commutatif dérivé. Nous montrons que les formes $n$-décalées qui admettent un lagrangien possèdent une forme standard. Nous montrons des résultats de chirurgie pour la L-théorie dérivée, qui permettent de réduire une forme quadratique décalée en une forme plus simple équivalente. On compare la L-théorie dérivée avec la L-théorie classique.On définit un champ dérivé des formes quadratiques dérivées, et un champ dérivé des lagrangiens dans une forme, qui sont localement algébriques de présentation finie. On calcule les complexes tangents, et on trouve des points lisses. On montre un résultat de rigidité pour la L-théorie : la L-théorie d'un anneau commutatif est isomorphe à celle d'un voisinage hensélien de cet anneau. Enfin, on définit l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique n-décalée, qui est une déformation d'une algèbre symétrique en tant qu'E_k-algèbre. On montre un affaiblissement de la propriété d'Azumaya pour ces algèbres, dans le cas d'un décalage nul n=0, qu'on appelle semi-Azumaya. Cette propriété exprime la trivialité de l'homologie de Hochschild du bimodule de Serre. / The classical L-theory of a commutative ring is built from the quadratic forms over this ring modulo a lagrangian equivalence relation.We build the derived L-theory from the n-shifted quadratic forms on a derived commutative ring. We show that forms which admit a lagrangian have a standard form. We prove surgery results for this derived L-theory, which allows to reduce shifted quadratic forms to equivalent simpler forms. We compare classical and derived L-theory.We define a derived stack of shifted quadratic forms and a derived stack of lagrangians in a form, which are locally algebraic of finite presentation. We compute tangent complexes and find smooth points. We prove a rigidity result for L-theory : the L-theory of a commutative ring is isomorphic to that of any henselian neighbourhood of this ring.Finally, we define the Clifford algebra of a n-shifted quadratic form, which is a deformation as E_k-algebra of a symmetric algebra. We prove a weakening of the Azumaya property for these algebras, in the case n=0, which we call semi-Azumaya. This property expresses the triviality of the Hochschild homology of the Serre bimodule.

Le but de ce travail est de comprendre les différents aspects du processus de figuration dans la philosophie de Descartes, en particulier pour une connaissance des corps de la nature. La notion de figure revêt différentes fonctions, des premières œuvres de Descartes jusqu’aux plus tardives : fonction méthodique de représentation conventionnelle des relations entre nos notions, objet géométrique, mode de l’étendue assigné par la métaphysique à la réalité des corps, délimitation externe de corps sensibles ou de corpuscules invisibles dans la physique. Nous cherchons à rendre compte de ces dimensions dans leur ensemble pour comprendre comment la pensée de Descartes évolue des Regulae aux textes plus tardifs et s’efforce de répondre à un problème nouveau qui ne se posait pas pour la scolastique, celui de la connaissance de la figure de corps déterminés. Ce problème peut se poser parce que la métaphysique à la fois établit la figure comme mode essentiel de l’étendue des corps et refuse a priori de recourir à la sensation pour la connaissance, mais il se pose aussi en termes purement épistémologiques pour la constitution d’une physique. Nous montrons qu’une clé de ce problème réside dans la théorie de la vision présentée dans la Dioptrique, mais que ce texte appelle en partie son propre dépassement en direction d’une physique corpusculaire qui met en jeu un usage spécifique de l’imagination et de l’expérience. Ceci doit nous permettre de repenser, à partir de la notion de figure, ce qu’il a été convenu de considérer comme un aspect de la mathématisation de la nature opérée au XVIIe siècle. / My aim, in this dissertation, is to explore the various aspects of the process of figuration in Descartes’ philosophy, particularly with respect to the knowledge of natural bodies. Moving from Descartes’ early to his more mature works, we find that the notion of figure (or shape) played a variety of roles: it possessed a methodological function, as a conventional representation of the relations between our notions, but also designated, respectively, a geometrical object, a mode of extension assigned by metaphysics to the reality of bodies, and an external delimitation of sensible bodies or of invisible corpuscles in physics. In analyzing these different functions, my aim is to understand how Descartes’ thought evolved from the Regulae to later texts, while trying to answer a new problem that did not exist for the scholastics, namely that of the knowledge of the shape of determined bodies. This problem arose partly because Descartes’ metaphysics had established shape as an essential mode of bodily extension, while at the time refusing a priori to appeal to sensation for knowledge, but it also emerged for purely epistemological reasons in the process of constituting a new physics. In my thesis, I argue that one key to this problem is to be found in the theory of vision, presented in the Dioptrique, a text that moves, however, towards a corpuscular physics that relies on a specific use of imagination and experience. From this analysis of the notion of figure or shape, we are able to shed a different light on what so far has been considered an integral aspect of the 17th century’s mathematisation of nature.

Les navires océanographiques de l’Ifremer utilisent des équipements acoustiques de type SONAR afin d’étudier les ressources marines et de caractériser la nature des fonds. Dans certaines conditions de navigation, un entrainement d’air est généré sous la surface libre suite à l’interaction de la houle avec la coque et/ou l’interaction des mouvements du navire avec la surface libre. Des bulles d’air sont ainsi formées et entrainées par l’écoulement sous la coque du navire, ce qui contrarie fortement les performances des équipements acoustiques. L’objectif de cette thèse est de caractériser finement le phénomène de génération de bulles autour de navires dans un bassin de circulation à houle et courant. En tout premier lieu, cette thèse a permis d’étudier l’influence de la géométrie de l’étrave sur le phénomène de bullage. La fréquence d’occurrence et la dynamique des nuages de bulles ont été analysées en 2D autour de trois modèles d’étraves pour différentes configurations d’essais. Ensuite, une étude fine du phénomène a été réalisée et a permis une caractérisation 3D des nuages de bulles générés et propagés autour de la carène. Les bulles ont été caractérisées à l’aide d’une sonde optique. Ces mesures ont permis de calculer les diamètres, les vitesses et le taux de vide des bulles. Enfin, des mesures PIV2D2C et Stéréo-PIV autour de différentes carènes ont permis de corréler l’écoulement hydrodynamique avec la génération et la propagation de bulles. Les résultats obtenus permettent d’identifier les zones où l’interaction entre l’écoulement et l’étrave est prononcée mais aussi la position des bulles générées et propagées. Ils fournissent une base de données intéressante pour les concepteurs de coques des navires et pourraient être utilisés pour la validation de futurs modèles numériques. / The oceanographic research ships of Ifremer use acoustic equipments "SONAR" to study marine resources and to characterize seabeds. Under certain environmental conditions, air entrainment is generated below the free surface due to the interaction between waves and hull and/or the interaction of the ship motions with the free surface. Air bubbles are formed and driven by the flow under the ship hull, which hinders the performance of the acoustic equipment and limits the exploitable sea conditions for acoustic prospecting. The objective of this work is to characterize the phenomenon of bubble generation around different bow models in a wave and current circulating tank. First, this PhD thesis allowed us to study the influence of the bow geometry on the phenomenon. The occurrence frequency and the dynamic of bubble clouds were analyzed in 2D around three bow models for different tested configurations. In the second stage, a detailed study of the phenomenon was carried out and allowed a 3D characterization of the bubble clouds generated and propagated around the hull. An optical probe was used to measure diameters, velocities and void fraction of bubbles generated by breaking bow waves. Finally, PIV2D2C and Stereo-PIV measurements around the different bow models allowed to correlate the hydrodynamic flow field with bubble generation. The obtained results allow to identify the zones where the interaction between the flow and the bow is pronounced and then the position of the bubbles generated and propagated. These results provide an interesting database for ship hull designers and could be used for the validation of future numerical models.

Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés relie le nombre de points entiers primitifs sur la sphère de rayon la racine carrée de n au nombre de classes d'un ordre quadratique imaginaire. En 2011, Edixhoven a esquissée une preuve du théorème de Gauss en utilisant une approche de la géométrie arithmétique. Il a utilisé l'action du groupe orthogonal spécial sur la sphère et a donné une bijection entre l'ensemble des SO3(Z)-orbites de tels points, si non vide, avec l'ensemble des classes d'isomorphisme de torseurs sous le stabilisateur. Ce dernier ensemble est un groupe, isomorphe au groupe des classes d'isomorphisme de modules projectifs de rang 1 sur l'anneau Z[1/2, √- n], ce qui donne une structure d'espace affine sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère. Au chapitre 3 de cette thèse, nous donnons une démonstration complète du théorème de Gauss suivant les travaux d'Edixhoven. Nous donnons aussi une nouvelle preuve du théorème de Legendre sur l'existence d'une solution entière primitive de l'équation x2 + y2 + z2 = n en utilisant la théorie des faisceaux. Nous montrons au chapitre 4 comment obtenir explicitement l'action, donnée par la méthode des faisceaux, du groupe des classes sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère en termes de SO3(Q). / Gauss's theorem on sums of 3 squares relates the number of primitive integer points on the sphere of radius the square root of n with the class number of some quadratic imaginary order. In 2011, Edixhoven sketched a different proof of Gauss's theorem by using an approach from arithmetic geometry. He used the action of the special orthogonal group on the sphere and gave a bijection between the set of SO3(Z)-orbits of such points, if non-empty, with the set of isomorphism classes of torsors under the stabilizer group. This last set is a group, isomorphic to the group of isomorphism classes of projective rank one modules over the ring Z[1/2, √- n]. This gives an affine space structure on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere. In Chapter 3 we give a complete proof of Gauss's theorem following Edixhoven's work and a new proof of Legendre's theorem on the existence of a primitive integer solution of the equation x2 + y2 + z2 = n by sheaf theory. In Chapter 4 we make the action given by the sheaf method of the Picard group on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere explicit, in terms of SO3(Q). / De stelling van Gauss over sommen van 3 kwadraten relateert het aantal primitieve gehele punten op de bol van straal de vierkantswortel van n aan het klassengetal van een bepaalde imaginaire kwadratisch orde. In 2011 schetste Edixhoven een ander bewijs van deze stelling van Gauss metbehulp van aritmetische meetkunde. Hij gebruikte de actie van de special orthogonale groep op de bol en gaf een bijectie tussen de verzameling van SO3(Z)-banen van dergelijke punten, als die niet leeg is, met de verzameling van isomor_e klassen van torsors onder de stabilisator groep. Deze laatste verzameling is een groep, isomorf met de groep van isomor_e klassen van projectieve rang _e_en modulen over de ring Z[1/2, √- n]. Dit geeft een a_ene ruimte structuur op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol. In Hoofdstuk 3 geven we een volledig bewijs van de stelling van Gauss zoals geschetst door Edixhoven, en een nieuw bewijs van Legendre's stelling over het bestaan van een primitieve gehele oplossing van de vergelijking x2 +y2 +z2 = n met schoven theorie. In hoofdstuk 4 maken we de werking gegeven door de schoven theorie van de Picard groep op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol expliciet, in termen van SO3(Q).

Cette thèse en approximation diophantienne se divise en deux parties. La première concerne la géométrie paramétrique des nombres introduite récemment par W. M. Schmidt et L. Summerer. Cette théorie décrit, à des fonctions bornées près, le comportement des minimas successifs d'une famille de corps convexes à un paramètre, à savoir celle qui intervient naturellement dans les problèmes d'approximation rationnelle simultanée de nombres réels linéairement indépendant sur Q. Nous démontrons dans le cas d'un seul nombre que le comportement qualitatif des deux minima est équivalent à la donnée du développement en fraction continue de la distance de ce nombre à l'entier le plus proche. Nous nous intéressons aussi à une conjecture de Schmidt de 1983 démontrée par N. Moshchevitin en 2012, et nous l'améliorons. De plus, nous démontrons que notre amélioration est meilleure possible. La seconde partie de la thèse concerne les nombres extrémaux introduits par D. Roy en 2003. Ces nombres sont transcendants réels et se comporte similairement aux nombres quadratiques réels quant à certaines propriétés d'approximation diophantienne. On peut leur associer une suite canonique de matrices symétriques à coefficients entiers. Dans leur papier [23], D. Roy et E. Villani considèrent une classe particulière de nombres extrémaux et étudient les suites de matrices correspondantes à la fois d'un point de vue analytique et d'un point de vue algébrique. Nous considérons ici une classe plus restreinte de nombres extrémaux, dits de type Markoff. Nous commençons par établir une conjecture qui généralise les résultats de Roy et Villani, sur la base de résultats numériques. Cette conjecture dépend d'une quantité entière appelé degré, et nous la démontrons en degré au plus 6. La preuve dépend d'une construction, elle-même valide en tous degrés.

Les récents développements de la morphométrie géométrique ouvrent de nouvelles voies de recherche en anthropobiologie, notamment dans le cadre de l'étude du dimorphisme sexuel. Les données de la littérature concernant le dimorphisme de l'os coxal immature sont moins nombreuses que chez les individus matures, et présentent surtout des conclusions discordantes. Cette étude évalue le dimorphisme sexuel de l'os coxal immature par géométrie morphométrique à partir d'une série de 400 examens tomodensitométriques, d'enfants de la naissance à l'âge de 18 ans. Cette méthode par l'extraction de la taille centroide permet l'étude du dimorphisme sexuel de taille et par l'étude des résidus Procrustes l'étude du dimorphisme sexuel de conformation. Les variations de taille et de conformation ainsi identifiées, sont quantifiées, visualisées et discutées. Le dimorphisme sexuel de l'os coxal immature est un phénomène dépendant de l'âge, se manifestant à la fois par des différences de taille et/ou de conformation. / Recent developments in geometric morphometrics open new research ways in biological anthropology. Sex estimation is one of the most frequently encountered issues in forensic medecine. While in the case of adults, there are fewer studies conducted to determine immature coxal bone sex differences and the results are often contradictory. This study evaluates the degree of sexual dimorphism of immature coxal bone using geometric morphometrics. .We studied sexually dimorphic differences in the coxal using geometric morphometric analysis of 17 osteometric landmarks recorded by multislice computed tomography (MSCT), based on 3D reconstructions of 400 children of mixed origins living in the area of Toulouse, southern France, and aged from birth to 18 years. We used geometric morphometrics methodology firstly to test sexual dimorphism in size (centroid size) and shape (Procrustes residuals), and secondly to examine patterns of shape change with age (development) and size change with age (growth). Trajectories of shape (development) and size (growth) differed throughout ontogeny and between sexes. . Immature coxal bone sexual dimorphism is an age-dependent phenomenon both manifesting by size and/or shape differences.

Le contact frottant peut être à l’origine de vibrations comme le crissement. L’objectif de cette thèse est d’étudier l’influence des paramètres géométriques, matériau et d’historique de frottement sur les occurrences de crissement.Un dispositif expérimental a été développé. Il est basé sur une architecture simplifiée permettant une maîtrise du comportement dynamique. Une instrumentation associée a aussi été mise en place. En parallèle, un modèle éléments finis a été introduit afin d’aider au dimensionnement et de réaliser des études paramétriques. Pour cette étude, deux matériaux ont été utilisés. Le premier, à formulation réduite, a été développé spécifiquement pour cette étude, le second est un matériau commercial.Dans une première étude, l’influence de la géométrie de contact entre le pion et le disque a été réalisée. Elle a montrée des modifications de comportement dynamique en lien avec l’évolution longueur de contact. Le modèle élément fini a montré l’importance de prendre en compte l’aspect non linéaire du matériau qui a été pris en compte à l’aide d’un modèle semi-analytique.Une seconde étude a été consacrée à l’étude de l’influence du matériau, de l’historique de frottement et du chargement thermique sur deux matériaux. Des simulations numériques couplées à des caractérisations du matériau ont permis d’apporter des éléments de compréhension aux comportements dynamiques observés. Enfin, l’étude se termine par une mise en œuvre du matériau commercial sur un dispositif expérimental différent. Une analyse fine de la surface de contact a été réalisée lors d’essais interrompus dans des états bruyants et silencieux. Les résultats montrent peu d’influence de l’évolution de la surface de contact sur les occurrences de crissement. / Sliding contact can cause sound vibrations like squeal for example. The aim of this PHD is to study the influence of geometric parameters, material and friction evolution of squeal occurrences. An experimental set-up has been specially developed. It is based on a simplified architecture which allows a control of the dynamic behavior. Specific instrumentation has also been taken into account. An other hand, a finite element model has been introduced to help to design and permit to conduct to parametric studies. For this study, two kinds of material were used. The first one was specifically developed for this study with a reduced formulation while the second one was a typical commercial material. Firstly, the influence of contact geometry between the pin and the disk was performed. It has shown that the contact length deeply changes the dynamic behavior. The finite element model showed the keyrole of the non-linear aspect of the material. This aspect has been taken into account in a semi- analytical model. Secondly, the study has been devoted to the influence of the material, the evolution of friction and thermal loading. Results showed different behaviors for each material. The commercial material is more sensitive to the friction evolution. Numerical simulations enriched by material characterizations were allowed to bring some understanding to the observed dynamic behavior. Finally, the study concludes with an implementation of the commercial material on a different experimental set-up. A detailed analysis of the contact surface was achieved during tests interrupted in noisy and silent states. The results show little influence of the evolution of the contact area on the occurrence of squeal.

Au cours des vingt dernières années, de nombreux algorithmes de reconstruction de surface ont été développés. Néanmoins, des données additionnelles telles que les normales orientées sont souvent requises et la robustesse aux données imparfaites est encore un vrai défi. Dans cette thèse, nous traitons de nuages de points non-orientés et imparfaits, et proposons deux nouvelles méthodes gérant deux différents types de surfaces. La première méthode, adaptée au bruit, s'applique aux surfaces lisses et fermées. Elle prend en entrée un nuage de points avec du bruit variable et des données aberrantes, et comporte trois grandes étapes. Premièrement, en supposant que la surface est lisse et de dimension connue, nous calculons une fonction distance adaptée au bruit. Puis nous estimons le signe et l'incertitude de la fonction sur un ensemble de points-sources, en minimisant une énergie quadratique exprimée sur les arêtes d'un graphe uniforme aléatoire. Enfin, nous calculons une fonction implicite signée par une approche dite « random walker » avec des contraintes molles choisies aux points-sources de faible incertitude. La seconde méthode génère des surfaces planaires par morceaux, potentiellement non-variétés, représentées par des maillages triangulaires simples. En faisant croitre des primitives planaires convexes sous une erreur de Hausdorff bornée, nous déduisons à la fois la surface et sa connectivité et générons un complexe simplicial qui représente efficacement les grandes régions planaires, les petits éléments et les bords. La convexité des primitives est essentielle pour la robustesse et l'efficacité de notre approche. / Over the last two decades, a high number of reliable algorithms for surface reconstruction from point clouds has been developed. However, they often require additional attributes such as normals or visibility, and robustness to defect-laden data is often achieved through strong assumptions and remains a scientific challenge. In this thesis we focus on defect-laden, unoriented point clouds and contribute two new reconstruction methods designed for two specific classes of output surfaces. The first method is noise-adaptive and specialized to smooth, closed shapes. It takes as input a point cloud with variable noise and outliers, and comprises three main steps. First, we compute a novel noise-adaptive distance function to the inferred shape, which relies on the assumption that this shape is a smooth submanifold of known dimension. Second, we estimate the sign and confidence of the function at a set of seed points, through minimizing a quadratic energy expressed on the edges of a uniform random graph. Third, we compute a signed implicit function through a random walker approach with soft constraints chosen as the most confident seed points. The second method generates piecewise-planar surfaces, possibly non-manifold, represented by low complexity triangle surface meshes. Through multiscale region growing of Hausdorff-error-bounded convex planar primitives, we infer both shape and connectivity of the input and generate a simplicial complex that efficiently captures large flat regions as well as small features and boundaries. Imposing convexity of primitives is shown to be crucial to both the robustness and efficacy of our approach.

Cette thèse est motivée par les problèmes de constructions de surfaces algébriques réelles. Nous nous intéressons plus particulièrement au problème de construire des surfaces algébriques réelles avec un grand nombre d'anses. Ce problème est relié à la conjecture de Viro, dont un contre exemple a été construit pour la première fois par I. Itenberg en 1993. L'outil fondamental de nos constructions est le patchwork de Viro, qui peut également s'interpréter par la géométrie tropicale. En utilisant la géométrie tropicale, et plus particulièrement les modifications tropicales, nous donnons une nouvelle construction d'une famille de courbes algébriques réelles planes avec un nombre asymptotiquement maximal d'ovals pairs. Cette famille avait été construite initialement en 2006 par E. Brugallé. En utilisant la méthode générale du patchwork, nous donnons ensuite une construction d'une sextique réelle avec 45 anses, améliorant ainsi un résultat de 2001 de F. Bihan. Enfin, nous nous penchons sur l'étude des surfaces algébriques réelles dans P1xP1xP1 et nous construisons notamment une famille de surfaces algébriques réelles de tridegré (2k,2l,2) dans P1xP1xP1 avec un premier nombre de Betti asymptotiquement maximal. Cette construction utilise une généralisation de la méthode du patchwork de Viro faite par E. Shustin en 1998. / In this thesis, we focus on constructions of real algebraic surfaces. The main problem we focus on is to construct real algebraic surfaces with a big number of handles. This problem is related to Viro's conjecture. A couterexample to Viro's conjecture was constructed at the first time by I. Itenberg in 1993. The fundamental tool to our constructions is Viro's patchworking. Viro's patchworking can be reformulated in terms of tropical geometry. Using tropical geometry, and more precisely tropical modifications, we give a new construction of a family of real algebraic plane curves with asymptotically a maximal number of even ovals. This family was first constructed in 2006 by E. Brugallé. Using Viro's patchworking, we construct a real sextic with 45 handles, improving a result of F. Bihan obtained in 2001. At least, we focus on the study of real algebraic surfaces in P1xP1xP1. More precisely, we construct a family of real algebraic surfaces of tridegree (2k,2l,2) in P1xP1xP1 with asymptotically a maximal first Betti number. This construction uses a more general version of Viro's patchworking due to E. Shustin in 1998.