Zentrale Grenzwertsätze und Konfidenzmengen werden in zwei verschiedenen, nichtparametrischen, inversen Problemen ähnlicher Struktur untersucht, und zwar in der Kalibrierung eines exponentiellen Lévy-Modells und im Dekonvolutionsmodell. Im ersten Modell wird eine Geldanlage durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt, Optionspreise werden beobachtet und das charakteristische Tripel des Lévy-Prozesses wird geschätzt. Wir zeigen, dass die Schätzer fast sicher wohldefiniert sind. Zu diesem Zweck beweisen wir eine obere Schranke für Trefferwahrscheinlichkeiten von gaußschen Zufallsfeldern und wenden diese auf einen Gauß-Prozess aus der Schätzmethode für Lévy-Modelle an. Wir beweisen gemeinsame asymptotische Normalität für die Schätzer von Volatilität, Drift und Intensität und für die punktweisen Schätzer der Sprungdichte. Basierend auf diesen Ergebnissen konstruieren wir Konfidenzintervalle und -mengen für die Schätzer. Wir zeigen, dass sich die Konfidenzintervalle in Simulationen gut verhalten, und wenden sie auf Optionsdaten des DAX an. Im Dekonvolutionsmodell beobachten wir unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit additiven Fehlern und schätzen lineare Funktionale der Dichte der Zufallsvariablen. Wir betrachten Dekonvolutionsmodelle mit gewöhnlich glatten Fehlern. Bei diesen ist die Schlechtgestelltheit des Problems durch die polynomielle Abfallrate der charakteristischen Funktion der Fehler gegeben. Wir beweisen einen gleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz für Schätzer von Translationsklassen linearer Funktionale, der die Schätzung der Verteilungsfunktion als Spezialfall enthält. Unsere Ergebnisse gelten in Situationen, in denen eine Wurzel-n-Rate erreicht werden kann, genauer gesagt gelten sie, wenn die Sobolev-Glattheit der Funktionale größer als die Schlechtgestelltheit des Problems ist. / Central limit theorems and confidence sets are studied in two different but related nonparametric inverse problems, namely in the calibration of an exponential Lévy model and in the deconvolution model. In the first set-up, an asset is modeled by an exponential of a Lévy process, option prices are observed and the characteristic triplet of the Lévy process is estimated. We show that the estimators are almost surely well-defined. To this end, we prove an upper bound for hitting probabilities of Gaussian random fields and apply this to a Gaussian process related to the estimation method for Lévy models. We prove joint asymptotic normality for estimators of the volatility, the drift, the intensity and for pointwise estimators of the jump density. Based on these results, we construct confidence intervals and sets for the estimators. We show that the confidence intervals perform well in simulations and apply them to option data of the German DAX index. In the deconvolution model, we observe independent, identically distributed random variables with additive errors and we estimate linear functionals of the density of the random variables. We consider deconvolution models with ordinary smooth errors. Then the ill-posedness of the problem is given by the polynomial decay rate with which the characteristic function of the errors decays. We prove a uniform central limit theorem for the estimators of translation classes of linear functionals, which includes the estimation of the distribution function as a special case. Our results hold in situations, for which a square-root-n-rate can be obtained, more precisely, if the Sobolev smoothness of the functionals is larger than the ill-posedness of the problem.

Baarda’s outlier test is one of the best established theories in geodetic practice. The optimal test statistic of the local model test for a single outlier is known as the normalized residual. Also other model disturbances can be detected and identified with this test. It enjoys the property of being a uniformly most powerful invariant (UMPI) test, but is not a uniformly most powerful (UMP) test. In this contribution we will prove that in the class of test statistics following a common central or non-central chi2 distribution, Baarda’s solution is also uniformly most powerful, i.e. UMPchi2 for short. It turns out that UMPchi2 is identical to UMPI, such that this proof can be seen as another proof of the UMPI property of the test. We demonstrate by an example that by means of the Monte Carlo method it is even possible to construct test statistics, which are regionally more powerful than Baarda’s solution. They follow a socalled generalized chi2 distribution. Due to high computational costs we do not yet propose this as a ”new outlier detection method”, but only as a proof that it is in principle possible to outperform the statistical power of Baarda’s test. / Der Ausreißertest nach Baarda ist eine der am besten etablierten Theorien in der geodätischen Praxis. Die optimale Teststatistik des lokalen Modelltests für einen einzelnen Ausreißer wird als normierte Verbesserung bezeichnet. Auch andere Modellabweichungen können mit diesem Test aufgedeckt und identifiziert werden. Er hat die Eigenschaft, der gleichmäßig stärkste invariante (uniformly most powerful invariant, UMPI) Test zu sein, aber er ist kein gleichmäßig stärkster (uniformly most powerful, UMP) Test. In diesem Beitrag werden wir beweisen, dass in der Klasse der Teststatistiken mit einer gewöhnlichen zentralen oder nichtzentralen chi2 Verteilung die Baardaschen Lösung auch gleichmäßig stärkster Test ist, abgekürzt UMPchi2. Es stellt sich heraus, dass UMPchi2 gleichwertig mit UMPI ist, so dass dieser Beweis als ein weiterer Beweis der UMPI-Eigenschaft des Testes angesehen werden kann. Wir zeigen an einem Beispiel, dass es mittels der Monte Carlo Methode sogar möglich ist, Teststatistiken zu konstruieren, die regional stärker ist, als die Baardasche Lösung. Diese weisen eine sogenannte verallgemeinerte chi2 Verteilung auf. Wegen der hohen Rechenkosten schlagen wir das noch nicht als neue Ausreißererkennungsmethode vor, sondern nur als Beweis, dass es im Prinzip möglich ist, die Teststärke des Ausreißertests nach Baarda zu übertreffen.