Die vorliegende Arbeit hat nichtparametrische Schätzmethoden für diskret beobachtete Lévyprozesse zum Gegenstand. Ein Lévyprozess mit endlichen zweiten Momenten und endlicher Variation auf Kompakta wird niederfrequent beobachtet. Die Sprungdynamik wird vollständig durch das endliche signierte Maß my(dx):= x ny(dx) beschrieben. Ein lineares Funktional von my soll nichtparametrisch geschätzt werden. Im ersten Teil werden Kernschätzer konstruiert und obere Schranken für das korrespondierende Risiko bewiesen. Daraus werden Konvergenzraten unter Glattheitsannahmen an das Lévymaß hergeleitet. Für Spezialfälle werden untere Schranken bewiesen und daraus Minimax-Optimalität gefolgert. Der Schwerpunkt liegt auf dem Problem der datengetriebenen Wahl des Glättungsparameters, das im zweiten Teil untersucht wird. Da die nichtparametrische Schätzung für Lévyprozesse starke strukturelle Ähnlichkeiten mit Dichtedekonvolutionsproblemen mit unbekannter Fehlerdichte aufweist, werden beide Problemstellungen parallel diskutiert und die Methoden allgemein sowohl für Lévyprozesse als auch für Dichtedekonvolution entwickelt. Es werden Methoden der Modellwahl durch Penalisierung angewandt. Während das Prinzip der Modellwahl im üblichen Fall darauf beruht, dass die Fluktuation stochastischer Terme durch Penalisierung mit einer deterministischen Größe beschränkt werden kann, ist die Varianz im hier betrachteten Fall unbekannt und der Strafterm somit stochastisch. Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt darauf, Strategien zum Umgang mit dem stochastischen Strafterm zu entwickeln. Dabei ist ein modifizierter Schätzer für die charakteristische Funktion im Nenner zentral, der es erlaubt, die punktweise Kontrolle der Abweichung dieses Objects von seiner Zielgröße auf die gesamte reelle Achse zu erweitern. Für die Beweistechnik sind insbesondere Talagrand-Konzentrationsungleichungen für empirische Prozesse relevant. / This thesis deals with nonparametric estimation methods for discretely observed Lévy processes. A Lévy process X having finite variation on compact sets and finite second moments is observed at low frequency. The jump dynamics is fully described by the finite signed measure my(dx)=x ny(dx). The goal is to estimate, nonparametrically, some linear functional of my. In the first part, kernel estimators are constructed and upper bounds on the corresponding risk are provided. From this, rates of convergence are derived, under regularity assumptions on the Lévy measure. For particular cases, minimax lower bounds are proved. The rates of convergence are thus shown to be minimax optimal. The focus lies on the data driven choice of the smoothing parameter, which is being considered in the second part. Since nonparametric estimation methods for Lévy processes have strong structural similarities with with nonparametric density deconvolution with unknown error density, both fields are discussed in parallel and the concepts are developed in generality, for Lévy processes as well as for density deconvolution. The choice of the bandwidth is realized, using techniques of model selection via penalization. The principle of model selection via penalization usually relies on the fact that the fluctuation of certain stochastic quantities can be controlled by penalizing with a deterministic term. Contrarily to this, the variance is unknown in the setting investigated here and the penalty term is hence itself a stochastic quantity. It is the main concern of this thesis to develop strategies to dealing with the stochastic penalty term. The most important step in this direction will be a modified estimator of the unknown characteristic function in the denominator, which allows to make the pointwise control of this object uniform on the real line. The main technical tools involved in the arguments are concentration inequalities of Talagrand type for empirical processes.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

Die Schätzung von Quantilen und verwandten Funktionalen wird in zwei inversen Problemen behandelt: dem klassischen Dekonvolutionsmodell sowie dem Lévy-Modell in dem ein Lévy-Prozess beobachtet wird und Funktionale des Sprungmaßes geschätzt werden. Im einem abstrakteren Rahmen wird semiparametrische Effizienz im Sinne von Hájek-Le Cam für Funktionalschätzung in regulären, inversen Modellen untersucht. Ein allgemeiner Faltungssatz wird bewiesen, der auf eine große Klasse von statistischen inversen Problem anwendbar ist. Im Dekonvolutionsmodell beweisen wir, dass die Plugin-Schätzer der Verteilungsfunktion und der Quantile effizient sind. Auf der Grundlage von niederfrequenten diskreten Beobachtungen des Lévy-Prozesses wird im nichtlinearen Lévy-Modell eine Informationsschranke für die Schätzung von Funktionalen des Sprungmaßes hergeleitet. Die enge Verbindung zwischen dem Dekonvolutionsmodell und dem Lévy-Modell wird präzise beschrieben. Quantilschätzung für Dekonvolutionsprobleme wird umfassend untersucht. Insbesondere wird der realistischere Fall von unbekannten Fehlerverteilungen behandelt. Wir zeigen unter minimalen und natürlichen Bedingungen, dass die Plugin-Methode minimax optimal ist. Eine datengetriebene Bandweitenwahl erlaubt eine optimale adaptive Schätzung. Quantile werden auf den Fall von Lévy-Maßen, die nicht notwendiger Weise endlich sind, verallgemeinert. Mittels äquidistanten, diskreten Beobachtungen des Prozesses werden nichtparametrische Schätzer der verallgemeinerten Quantile konstruiert und minimax optimale Konvergenzraten hergeleitet. Als motivierendes Beispiel von inversen Problemen untersuchen wir ein Finanzmodell empirisch, in dem ein Anlagengegenstand durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt wird. Die Quantilschätzer werden auf dieses Modell übertragen und eine optimale adaptive Bandweitenwahl wird konstruiert. Die Schätzmethode wird schließlich auf reale Daten von DAX-Optionen angewendet. / The estimation of quantiles and realated functionals is studied in two inverse problems: the classical deconvolution model and the Lévy model, where a Lévy process is observed and where we aim for the estimation of functionals of the jump measure. From a more abstract perspective we study semiparametric efficiency in the sense of Hájek-Le Cam for functional estimation in regular indirect models. A general convolution theorem is proved which applies to a large class of statistical inverse problems. In particular, we consider the deconvolution model, where we prove that our plug-in estimators of the distribution function and of the quantiles are efficient. In the nonlinear Lévy model based on low-frequent discrete observations of the Lévy process, we deduce an information bound for the estimation of functionals of the jump measure. The strong relationship between the Lévy model and the deconvolution model is given a precise meaning. Quantile estimation in deconvolution problems is studied comprehensively. In particular, the more realistic setup of unknown error distributions is covered. Under minimal and natural conditions we show that the plug-in method is minimax optimal. A data-driven bandwidth choice yields optimal adaptive estimation. The concept of quantiles is generalized to the possibly infinite Lévy measures by considering left and right tail integrals. Based on equidistant discrete observations of the process, we construct a nonparametric estimator of the generalized quantiles and derive minimax convergence rates. As a motivating financial example for inverse problems, we empirically study the calibration of an exponential Lévy model for asset prices. The estimators of the generalized quantiles are adapted to this model. We construct an optimal adaptive quantile estimator and apply the procedure to real data of DAX-options.

Zentrale Grenzwertsätze und Konfidenzmengen werden in zwei verschiedenen, nichtparametrischen, inversen Problemen ähnlicher Struktur untersucht, und zwar in der Kalibrierung eines exponentiellen Lévy-Modells und im Dekonvolutionsmodell. Im ersten Modell wird eine Geldanlage durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt, Optionspreise werden beobachtet und das charakteristische Tripel des Lévy-Prozesses wird geschätzt. Wir zeigen, dass die Schätzer fast sicher wohldefiniert sind. Zu diesem Zweck beweisen wir eine obere Schranke für Trefferwahrscheinlichkeiten von gaußschen Zufallsfeldern und wenden diese auf einen Gauß-Prozess aus der Schätzmethode für Lévy-Modelle an. Wir beweisen gemeinsame asymptotische Normalität für die Schätzer von Volatilität, Drift und Intensität und für die punktweisen Schätzer der Sprungdichte. Basierend auf diesen Ergebnissen konstruieren wir Konfidenzintervalle und -mengen für die Schätzer. Wir zeigen, dass sich die Konfidenzintervalle in Simulationen gut verhalten, und wenden sie auf Optionsdaten des DAX an. Im Dekonvolutionsmodell beobachten wir unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit additiven Fehlern und schätzen lineare Funktionale der Dichte der Zufallsvariablen. Wir betrachten Dekonvolutionsmodelle mit gewöhnlich glatten Fehlern. Bei diesen ist die Schlechtgestelltheit des Problems durch die polynomielle Abfallrate der charakteristischen Funktion der Fehler gegeben. Wir beweisen einen gleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz für Schätzer von Translationsklassen linearer Funktionale, der die Schätzung der Verteilungsfunktion als Spezialfall enthält. Unsere Ergebnisse gelten in Situationen, in denen eine Wurzel-n-Rate erreicht werden kann, genauer gesagt gelten sie, wenn die Sobolev-Glattheit der Funktionale größer als die Schlechtgestelltheit des Problems ist. / Central limit theorems and confidence sets are studied in two different but related nonparametric inverse problems, namely in the calibration of an exponential Lévy model and in the deconvolution model. In the first set-up, an asset is modeled by an exponential of a Lévy process, option prices are observed and the characteristic triplet of the Lévy process is estimated. We show that the estimators are almost surely well-defined. To this end, we prove an upper bound for hitting probabilities of Gaussian random fields and apply this to a Gaussian process related to the estimation method for Lévy models. We prove joint asymptotic normality for estimators of the volatility, the drift, the intensity and for pointwise estimators of the jump density. Based on these results, we construct confidence intervals and sets for the estimators. We show that the confidence intervals perform well in simulations and apply them to option data of the German DAX index. In the deconvolution model, we observe independent, identically distributed random variables with additive errors and we estimate linear functionals of the density of the random variables. We consider deconvolution models with ordinary smooth errors. Then the ill-posedness of the problem is given by the polynomial decay rate with which the characteristic function of the errors decays. We prove a uniform central limit theorem for the estimators of translation classes of linear functionals, which includes the estimation of the distribution function as a special case. Our results hold in situations, for which a square-root-n-rate can be obtained, more precisely, if the Sobolev smoothness of the functionals is larger than the ill-posedness of the problem.

Economic uncertainty may affect significantly people’s behavior and hence macroeconomic variables. It is thus important to understand how people behave in presence of different kinds of economic risk. The present dissertation focuses therefore on the impact of the uncertainty in capital and labor income on the individual saving behavior. The underlying uncertain variables are here modeled as stochastic processes that each obey a specific stochastic differential equation, where uncertainty stems either from Poisson or Lévy processes. The results on the optimal behavior are derived by maximizing the individual expected lifetime utility. The first chapter is concerned with the necessary mathematical tools, the change-of-variables formula and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation under Poisson uncertainty. We extend their possible field of application in order make them appropriate for the analysis of the dynamic stochastic optimization problems occurring in the following chapters and elsewhere. The second chapter considers an optimum-saving problem with labor income, where capital risk stems from asset prices that follow geometric L´evy processes. Chapter 3, finally, studies the optimal saving behavior if agents face not only risk but also uncertain spells of unemployment. To this end, we turn back to Poisson processes, which here are used to model properly the separation and matching process.

Economic uncertainty may affect significantly people’s behavior and hence macroeconomic variables. It is thus important to understand how people behave in presence of different kinds of economic risk. The present dissertation focuses therefore on the impact of the uncertainty in capital and labor income on the individual saving behavior. The underlying uncertain variables are here modeled as stochastic processes that each obey a specific stochastic differential equation, where uncertainty stems either from Poisson or Lévy processes. The results on the optimal behavior are derived by maximizing the individual expected lifetime utility. The first chapter is concerned with the necessary mathematical tools, the change-of-variables formula and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation under Poisson uncertainty. We extend their possible field of application in order make them appropriate for the analysis of the dynamic stochastic optimization problems occurring in the following chapters and elsewhere. The second chapter considers an optimum-saving problem with labor income, where capital risk stems from asset prices that follow geometric L´evy processes. Chapter 3, finally, studies the optimal saving behavior if agents face not only risk but also uncertain spells of unemployment. To this end, we turn back to Poisson processes, which here are used to model properly the separation and matching process.