CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Consideramos o problema de representaÃÃo de superfÃcies imersas em grupos de Lie tridimensionais.Especificamente, nos espaÃos HiperbÃlico, de Sitter, Heisenberg (Riemanniano e pseudo-Riemanniano), nas esferas de Berger e em espaÃos Anti de Sitter exÃticos. Estabelecemos como condiÃÃes de integrabilidade para a existÃncia de uma imersÃo conforme de uma superfÃcie de Riemann nos espaÃos HiperbÃlico, de Sitter, Heisenberg(Riemannianoe pseudo-Riemanniano) as equaÃÃes de compatibilidade para um sistema deprimeira ordem,envolvendo uma equaÃÃo de Dirac com potenciais geomÃtricos. Nas esferas de Berger e nos espaÃos Anti de Sitter exÃticos,demonstra-se que a harmonicidade de uma dada aplicaÃÃo, definida na superfÃcie com valores em abertos da esfera,Ã condiÃÃo suficiente para a existÃncia de uma imersÃo conforme mÃnima. / We considered the problem of representation of immersed surfaces in three-dimensional Lie groups. We search for integrability conditions assuring the existence of a conformal immersion of a given Riemann surface in some Lie group with left-invariant metric. Such compatibility conditions are found to be a first order system, consisting of a Dirac equation with geometric potentials and an extra pair of equations relating the metric and the Hopf differential. In many cases, we proved that the harmonicity of a map, defined in an open of the sphere is a sufficient condition for the existence of a conformal minimal or constant mean curvature immersion.

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Apresentamos conceitos da teoria de Grupos de Lie e Ações Próprias e descrevemos a demonstração da Conjectura de Palais-Terng efetuada por Alexandrino. Tal conjectura garante que uma folheação riemanniana singular com distribuição normal é uma folheação riemanniana singular com seções. Adaptamos para o caso particular das ações isométricas. / We present some aspects of the theory of Lie Groups and Proper Actions, and we review the proof of the Palais-Terng Conjecture given by Alexandrino. This theorem assures that a singular Riemannian foliation with integrable normal distribution is a singular Riemannian foliation with section. We adapt the proof for isometric actions.

Nesse trabalho estudamos as classes de Gevrey e as ultradistribuições em grupos de Lie compactos, que é a generalização natural do toro no contexto de análise de Fourier. Para tal utilizamos a teoria de vetores Gevrey. Fazemos a caracterização dessas classes via o comportamento da transformada de Fourier como em [DR14], utilizando o operador de Laplace-Beltrami associado à uma métrica específica. Por final fazemos uma aplicação dessa caracterização em um problema de hipoelipticidade global como em [GW73]. / In this work we study the Gevrey class of functions and ultrudistribuitions on compact Lie groups, which is the most natural generalization of the torus in the context of Fourier analysis. For such we used the theory of Gevrey vectors. We get a characterization of such class by the behaviour of the Fourier transform, as in [DR14], using the Laplace-Beltrami operator associated to a specific metric. At the end we give an aplication of this characterization in a global hypoellipticity problem as in [GW73].

Neste trabalho, provamos um caso particular do Teorema de Ratner de classificação de medidas, que nos diz que se X =Γ\\G é um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e Γ é um lattice de G, então dado um subgrupo unipotente U de G, conseguimos classificar as medidas ergódicas com relação a ação por translação do grupo U em X. Além do Teorema de Ratner de classificação de medidas, falamos sobre o Teorema de Ratner de equidistribuição e o Teorema de Ratner do fecho da órbita, que nos dizem como são as órbitas pela ação por translação do grupo U e como é sua dinâmica em X, do ponto de vista da Teoria Ergódica. Embora estes últimos resultados não sejam provados nesta dissertação, exibimos uma importante aplicação do Teorema de Ratner do fecho da órbita em teoria dos números, provando a Conjectura de Oppeinheim, também conhecida como Teorema de Margullis. / In this work, we prove a particular case of the Ratners measure classification theorem, which tell us that if X = Γ\\G is an homogeneous space, where G is a Lie group and Γ is a lattice of G, then given any unipotent group U of G, we can classify the measures that are ergodic with respect to the translation group action of U in X In addition to the Ratners measure classification theorem, we talk about the Ratners equidistribuition theorem and the Ratners orbit closure theorem, which tell us how the orbit due the action by translation by the group U are and how the dynamics in X is, in an Ergodic Theory point of view. While we didnt prove the last two Ratners theorems, we exhibit an important application of the Ratners orbit closure theorem in number theory, proving the Oppeinheim Conjecture, also know as Margullis Theorem.

En el presente trabajo se introduce el concepto de fibrados vectoriales reales, complejos y holomorfas para conseguir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas e inmersas en grupos de Lie de dimensión 3, con una métrica riemanniana in-variante a izquierda. / Tesis

The aim of this thesis is to study in detail the work of S. Kobayashi on the Riemannian geometry on principal S1-bundles. To be more precise, we explain how to obtain metrics with constant scalar curvature on these bundles. The method that we use is based in [18]. The basic idea behind Kobayashi’s construction is to slightly deform the Hopf fibration S1 ‹→ S2n+1 −→ CPn in a such a way that the corresponding sectional curvatures are not far from the produced by the standard metrics on the sphere and the complex projective space on the Hopf fibration. This deformations can be controlled applying the notions of Riemaniann and Kahlerian pinching (see Chapter 3). Furthermore, thanks to a technique developed by Hatakeyama in [14], it is possible to obtain less generic metrics but with a larger set of symmetries on the total space: Sasaki metrics. Actually, If one chooses as a base space a K¨ahler-Einstein manifold with positive scalar curvature one can obtain a Sasaki-Einstein metric. / Tesis

Tratamos o problema do planejamento periódico de trajetórias: fixados uma trajetória periódica de um sistema afim sem arrasto em um grupo de Lie compacto e conexo G e uma condição inicial em G, encontrar outra trajetória do mesmo sistema satisfazendo a condição inicial dada e que rastreie assintoticamente a trajetória periódica dada. Resolvemos esse problema localmente (para condições iniciais em uma vizinhança de um ponto da trajetória periódica) quando G é semi-simples e o sistema afim é Lie-determinado (i.e. controlável), e apenas para um classe de trajetórias periódicas (as quais denominamos \"regulares\"). Apresentamos por fim um conjunto de condições suficientes para a existência de tais trajetórias. / We treat the periodic motion planning problem: given a periodic trajectory of a control-affine driftless system in a compact and connected Lie group G and an initial condition in G, find another trajectory of the same system satisfying the initial condition given and that asymptotically tracks the periodic trajectory. We solve this problem locally (for initial conditions in a neighborhood of some point of the periodic trajectory) when G is semisimple and the system is Lie-determined (i.e. controllable), and only for a class of periodic trajectories (which we call \"regular\"). Finally we present a set of sufficient conditions to ensure the existence of such trajectories.

We use the theory of dual of Fréchet-Schwartz (DFS) spaces to establish a sufficient condition for top-degree solvability for the differential complex associated to a hypocomplex locally integrable structure. As an application, we show that the top-degree cohomology of left-invariant hypocomplex structures on a compact Lie group can be computed only by using left-invariant forms, thus reducing the computation to a purely algebraic one. In the case of left-invariant elliptic involutive structures on compact Lie groups, under certain reasonable conditions, we prove that the cohomology associated to the involutive structure can be computed only by using left-invariant forms. / Usamos a teoria da espaços duais de Fréchet-Schwartz (DFS) para estabelecer uma condição suficiente para resolubilidade em grau máximo para o complexo associado a estrutuas localmente integráveis hipocomplexas. Como aplicação, provamos que a cohomologia de estruturas hipocomplexas invariantes à esquerda podem ser calculadas usando apenas formas invariantes à esquerda, assim reduzindo o cálculo a um método puramente algébrico. No caso de estruturas invariantes à esquerda, sob certas condições razoáveis, provamos que a cohomologia associada à estrutura pode ser calculada usando apenas formas invariantes à esquerda.

Um resultado clássico em Geometria Diferencial, conhecido como teorema de Hadamard, e demonstrado pelo mesmo ([Ha]), estabelece que uma superfície conexa compacta no espaço Euclidiano cujas curvaturas principais são todas positivas é o bordo de um corpo convexo. Em part icular, a superfície é difeomorfa a uma esfera. Neste trabalho apresentamos extensões parciais deste teorema para imersões de codimensão arbitrária e para outros espaços ambientes que o E uclidiano conforme feito em [R]. / A classical result in differential geometry, known as Hadamard's theorem and proved by himself ([Ha]). establishes that a compact connected surface in the Euclidean space whose principal curvatures are everywhere positive is the boundary of a convex body. In particular, the surface is diffeomorphic to a sphere. In this work we present IJartial extensions of this theorem to immersions of arbitrary codimension and to other spaces than the Euclidean one, as clone in [R].