This paper investigates the effects of international trade in a general equilibrium model with heterogeneous firms where a welfare state redistributes income. We look at a very stylised progressive non-distortionary redistribution scheme. We show that for a given tax rate international trade increases income per capita, but also leads to higher income inequality. Two aspects of income inequality are examined. First, inter-group inequality between managers and workers is considered. Second, intra-group inequality within the group of managers is investigated. For a given tax rate the size of the welfare state and therefore the transfer per capita increases when going from autarky to trade. This second-round effect counteracts the primary increase in inequality, yet cannot outweigh it. Since the redistribution scheme is non-distortionary, it is possible to decrease trade-induced inequality by increasing the tax rate without jeopardising the gains from trade.

This paper examines the distributional effects of international trade in a general equilibrium model with heterogeneous agents and a welfare state redistributing income. The redistribution scheme is financed by a progressive income tax and gives the same absolute transfer to all individuals. Ceteris paribus, international trade leads to an increase in income per capita but also to higher income inequality on two fronts. Inter-group inequality between managers and workers increases, and intra-group inequality within the group of managers goes up as well. We show that for constant tax rates, there is an endogenous increase in the size of the welfare state that works against the increase in inequality, yet cannot offset it. The paper also sheds light on the conditions under which trade can actually lead to a Pareto improvement.

A new closed cell is presented for in situ X-ray ptychography which allows studies under gas flow and at elevated temperature. In order to gain complementary information by transmission and scanning electron microscopy, the cell makes use of a Protochips E-chipTM which contains a small, thin electron transparent window and allows heating. Two gold-based systems, 50 nm gold particles and nanoporous gold as a relevant catalyst sample, were used for studying the feasibility of the cell. Measurements showing a resolution around 40 nm have been achieved under a flow of synthetic air and during heating up to temperatures of 933 K. An elevated temperature exhibited little influence on image quality and resolution. With this study, the potential of in situ hard X-ray ptychography for investigating annealing processes of real catalyst samples is demonstrated. Furthermore, the possibility to use the same sample holder for ex situ electron microscopy before and after the in situ study underlines the unique possibilities available with this combination of electron microscopy and X-ray microscopy on the same sample.

Durch Biotemplating mit bakteriellen Oberflächenproteinen, sogenannten S-Layer Proteinen können Metallcluster mit einer definierten Größe und Verteilung auf verschiedensten Oberflächen abgeschieden werden. Damit eröffnet sich die Möglichkeit der gezielten Präparation heterogener Katalysatoren. Mit der Kalorimetrie sollen die katalytischen Eigenschaften von mit Platin belegten S-Layer Präparationen am Beispiel der Kohlenmonoxidoxidation vorgestellt werden. Es werden geträgerte Katalysatoren und katalytisch aktive Schichten untersucht. Der Fokus liegt bei den Katalysatorschüttungen auf der Charakterisierung der katalytischen Eigenschaften und resultierend daraus auf einer Optimierung der Präparation. Für die Untersuchungen der katalytisch aktiven Schichten muss im Unterschied zu den Katalysatorschüttungen eine neuartige miniaturisierte Anordnung auf der Basis von Pt 1000 Widerstandsthermometern entwickelt werden. Dabei werden auch Parameter, die für eine spätere sensorische Applikation von Bedeutung sind, untersucht.

Die eingereichte Dissertation mit dem Thema „Heterogen katalysierte Hydrodehalogenierung von Borhalogeniden im Rahmen eines in sich geschlossenen BNHx-Recyclingkonzepts“ beinhaltet drei für das BNHx-Recycling zentrale Reaktionsschritte: Supersäureaufschluss, Hydrodehalogenierung und den Basenaustausch. Mit Hilfe dieser drei Schritte ist es möglich, die Zersetzungsrückstände von BH3NH3(Polyaminoboran, Borazin und Polyborazylen) wieder in BH3NH3 zu überführen, ohne teure Reduktionsmittel wie LiAlH4 oder Hydrazin verwenden zu müssen. Das Verfahren ermöglichte in einem Durchlauf die Gewinnung von 60 % der eingesetzten Menge an BH3NH3 ohne eine Erzeugung von Abfallprodukten. Mit Hilfe der Chloralkalielelektrolyse kann das Verfahren an Wind- bzw. Solarkraftwerke gekoppelt und über diese alle benötigten Ausgangsstoffe hergestellt werden. Die katalytische Erzeugung von B-H-Spezies auf der Grundlage der Aktivierung von molekularem Wasserstoff ist als Schwerpunkt dieser Arbeit zu sehen. Die mechanistischen Studien lieferten ein genaueres Verständnis über fundamentale Zusammenhänge zwischen dem Lösungsmittel Et3N und der Wasserstoffbereitstellung über die N-CH2-Gruppierung sowie der Wirkungsweise des Katalysators.:1 Einleitung und Motivation 8 2 Literaturteil 15 2.1 Borazan (AB) Zersetzung 15 2.2 Regenerierung der Zersetzungsprodukte 17 2.3 Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Recyclingverfahren 20 2.3.1 Supersäure-Aufschluss zur Herstellung von BCl3 und BBr3 aus BNHx-Abfall 22 2.3.2 Bekannte Verfahren zur Herstellung von BCl3 23 2.3.3 Bekannte Verfahren zur Herstellung von BBr3 24 2.3.4 Basenaustausch zwischen Trialkylamin-Boranen und NH3 24 2.4 Hydrodehalogenierung 26 2.4.1 Gasphasen-Verfahren ohne Verwendung von Aminen als Hilfsbase 28 2.4.2 Flüssigphasen-Verfahren mit Aminen als Hilfsbase 31 2.4.3 Mechanistische Betrachtung 34 2.4.4 Hydrodehalogenierung von Borhalogeniden mit homogenen Katalysatoren 37 2.5 Amorphe Nickelboride als heterogene Katalysatoren 38 2.5.1 Synthese des amorphen Nickelborids 40 2.5.2 Angewandte Synthese- und Charakterisierungsmöglichkeiten zur Darstellung und Charakterisierung von amorphen Nickelboriden 41 2.5.3 Bekannte Hydrodehalogenierungen mit Nickelborid-Katalysatoren 47 2.5.4 Bekannte Nickelboride als Wasserstoffspeichermaterial 47 2.5.5 Nickelboranat (Ni(BH4)2) – Das wasserstoffreichste Nickelborid? 48 2.6 Heterogene Katalyse am Beispiel der Hydrodehalogenierung von Amin-BX3-Addukten (X=Cl, Br, I) in flüssiger Phase (Et3N) 51 2.6.1 Stofftransport innerhalb eines Drei-Phasen-Slurry-Reaktors 51 2.7 Methoden zur Bestimmung einer Katalysatorvergiftung (TPR) und zur Bestimmung der katalytischen Aktivität (TDS) des amorphen Nickelborids 55 2.7.1 Temperaturprogrammierte Reduktion (TPR) 55 2.7.2 Temperaturprogrammierte Desorption (TDS) 58 3 Ergebnisteil und Diskussion 59 3.1 Charakterisierung von amorphen Nickelboriden der allgemeinen Zusammensetzung NixByHz 59 3.1.1 Bestimmung der katalytischen Produktivität und der Aktivität am Beispiel der Hydrodehalogenierung von Et3NBCl3 59 3.1.2 Bestimmung des Ni/B-Verhältnisses mittels ICP-OES 61 3.1.3 Photoelektronenspektroskopie (XPS) -Bestimmung der Elementzusammensetzung an der Katalysatoroberfläche 62 3.1.4 TPR-Nachweis für das Vorhandensein oxidierter Metall-Spezies im Material 70 3.1.5 DSC-Untersuchung der Phasenumwandlung 73 3.1.6 TPD-Untersuchung der Wasserstoffabgabe 75 3.1.7 Wiederbeladung des Materials mit Wasserstoff (Zyklenstabilität) 81 3.1.8 PXRD-Röntgenpulverdiffraktometrie 84 3.1.9 IR-Spektroskopische Untersuchung zur Aufklärung der Bindungssituation des Wasserstoffs in amorphen Nickelboriden 90 3.1.10 TEM- und REM-Aufnahmen zur Bestimmung der Morphologie von amorphem Nickelborid 94 3.1.11 Bestimmung der BET-Oberfläche durch N2-Physisorption (T=-196 °C) 97 3.1.12 Zusammenfassung der Ergebnisse der Katalysatoraufklärung 100 3.2 BNHx-Abfall Recycling und die Wiedergewinnung von BH3NH3 102 3.3 Die Herstellung von BX3 (X= Cl, Br) aus BNHx –Abfall 102 3.3.1 Supersäure-Aufschluss von Polyaminoboran (BH2NH2)x mit AlCl3/HCl/CS2 und AlBr3/HBr/CS2 103 3.3.2 Supersäure- Aufschluss von Borazin AlCl3/HCl/CS2 106 3.3.3 Supersäure-Aufschluss von stark vernetztem Polyborazylen (PB) mit den Systemen AlCl3/HCl/CS2 und AlBr3/HBr/CS2 108 3.3.4 Zusammenfassung der Ergebnisse der vorgestellten Aufschlussverfahren 112 3.3.5 Mechanistische Betrachtungen zum Supersäure-Aufschluss des BNHx-Abfalls 113 3.4 Reaktionstechnische Untersuchungen zur Hydrode-halogenierung von Borhaliden des Typs BX3 (Cl, Br, I) 116 3.4.1 Stofftransportphänomene innerhalb der heterogen katalysierten Hydrodehalogenierung 117 3.4.2 Diffusion der Reaktanten in der flüssigen Phase zum Katalysator 119 3.4.3 Wechselwirkungseinflüsse der Addukte Et3NBCl3, Et3NBHCl2, Et3NBH2Cl und Et3NBH3 auf den Katalysator 122 3.4.4 Zusammenfassung der Ergebnisse aus den Stofftransport-Untersuchungen 123 3.5 Katalytische Hydrodehalogenierung von Et3NBCl3 123 3.5.1 Verfolgung der Reaktion über die Probenentnahme der Flüssigphase und Konzentrationsbestimmung mittels 11B NMR-Spektroskopie 124 3.5.2 Bestimmung der Geschwindigkeitskonstanten durch die Verwendung der Methode der Anfangsgeschwindigkeit 133 3.5.3 Katalytische Hydrodehalogenierung anderer Et3NBX3 (X=Br,I) Addukte 134 3.5.4 Nebenreaktionen – Eine Frage von Temperatur und Druck 138 3.6 Reaktionsmechanismus-Aufklärung am Beispiel der Hydrodehalogenierung von Et3NBCl3 145 3.6.1 Die Rolle des tertiären Amins 146 3.6.2 Die Rolle des Katalysators 154 3.6.3 Markierungsexperimente mit schwerem Wasserstoff (D2) 158 3.6.4 Einfluss von Radikalstartern auf die Reaktionsgeschwindigkeit der HDC 162 3.7 Disproportionierung von Et3NBH2Cl durch BCl3-Überschuss 165 3.8 Basenaustausch- Synthese von BH3NH3 aus Et3NBH3 und NH3 167 4 Thermodynamische Bewertung beider Recycling-Verfahren (Cl und Br) auf der Basis der Standard-Reaktionsenthalpien 170 5 Zusammenfassung der Ergebnisse 176 5.1 Amorphe Nickelboride 176 5.2 Supersäureaufschluss 178 5.3 Hydrodehalogenierung 178 5.4 Basenaustausch 180 5.5 Durchführung eines vollständigen Zyklus: Von der Dehydrierung bis zur Synthese von BH3NH3 180 5.6 Bewertung des Recyclingprozesses- Kopplung des Verfahrens mit einer Chloralkalielektrolyse 181 6 Ausblick 184 7 Anhang 185 7.1 Experimenteller Teil 186 7.1.1 Herstellung des BNHx-Abfalls (spent fuel) 186 7.1.2 Supersäure-Aufschluss des BNHx-Abfalls mit dem System AlCl3/HCl/CS2 187 7.1.3 Supersäure-Aufschluss des BNHx-Abfalls mit dem System AlBr3/HBr/CS2 189 7.1.4 Bestimmung der Donor-Akzeptor-WW in Bortrihalid- Trialkylaminkomplexen 190 7.2 Synthese des amorphen Nickelboridkatalysators 198 7.2.1 Probenvorbereitung und Analyseparameter für die einzelnen Analysemethoden 200 7.3 Synthese von wasserstoffreichem Nickelborid unter wasserfreien Bedingungen 203 7.4 Hydrodehalogenierung 204 7.4.1 Experimente für den Katalysatorvergleich in Kapitel 3.1.1 205 7.4.2 Hydrodehalogenierungsexperimente aus Kapitel 3.5 205 7.4.3 Experimente mit Probenentnahme aus Kapitel 3.4 206 7.4.4 Hydrodehalogenierung mit anderen Borhalogenid-Addukten (Et3NBBr3, Et3NBI3) aus Kapitel 3.5.3 206 7.4.5 Hydrodechlorierungsexperimente mit Me2EtN und Me3N 206 7.4.6 Markierungsexperimente mit schwerem Wasserstoff siehe Kapitel 3.6.3 207 7.4.7 Testexperiment Imminiumsalzbildung 207 7.4.8 Nebenreaktionen der Hydrodehalgenierung durch thermische Zersetzung der Addukte 208 7.5 Disproportionierung 209 7.6 Basenaustausch zwischen Et3NBH3 und NH3 210 7.7 Durchführung eines vollständigen Recycling-Zyklus 211 7.7.1 Die Dehydrierung von BH3NH3 (Herstellung von Polyborazylen) 211 7.7.2 Supersäureaufschluss des Polyborazylens 211 7.7.3 Hydrodechlorierung von BCl3 213 7.7.4 Basenaustausch-Experiment 214 8 Kalorimetrie –Bestimmung thermodynamischer Stoffdaten 215 9 NMR-Daten ausgewählter Zersetzungsprodukte von Et3NBX3-Addukten 216 10 Verzeichnisse 217 10.1 Abkürzungsverzeichnis 217 10.2 Tabellenverzeichnis 219 10.3 Abbildungsverzeichnis 221 11 Liste verwendeter Chemikalien 227 12 Versicherung 228 13 Literaturverzeichnis 229

Die Nutzung von Kraftstoffen auf der Basis von Biodiesel erlaubt es, konventionelle, etablierte Antriebstechniken mit Nachhaltigkeit zu kombinieren. Daher kann in den nächsten Jahren mit einer weiteren weltweiten Steigerung der Biodieselproduktion gerechnet werden. Damit verbunden ist jedoch auch ein Anstieg der anfallenden Menge an Glycerol, das bei der Herstellung von Biodiesel als Koppelprodukt entsteht. Da traditionelle Märkte für Glycerol kaum mehr Wachstum zeigen, müssen neue Wege zur effizienten Verwertung von Glycerol gefunden werden. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der heterogen-katalysierten Umsetzung von Glycerol zu Acrolein. Unter Verwendung von ZSM-5-Katalysatorproben mit unterschiedlichem Si/Al-Verhältnis und phosphorsäure-modifizierten Katalysatorproben konnte die Existenz von Synergieeffekten zwischen den texturellen, strukturellen und aciden Eigenschaften in der heterogen-katalysierten Glyceroldehydratisierung zu Gunsten der Acroleinselektivität eindeutig nachgewiesen werden. Eine selektive Umsetzung von Glycerol zu Acrolein wird daher an solchen Katalysatorproben ermöglicht, die ausgewogene texturelle, strukturelle und acide Eigenschaften aufweisen.

Im Hinblick auf eine spätere Anwendung als Katalysatorträger in Hydrierungsreaktionen wurden in dieser Arbeit Adsorptionseigenschaften von Metall-Organischen Gerüstverbindungen (MOFs) in der Flüssigphasenadsorption untersucht. In den Experimenten wurden Materialien gegenübergestellt, bei denen entweder freie Koordinationsstellen am Metallatom (MIL 101, DUT 9, HKUST 1) oder eine abgeschlossene Koordinationssphäre (MOF 5, Zn4O(btb)2, Zn2(bdc)2dabco, ZIF 8, DUT 4, DUT 6) in der Struktur vorlagen. Die Substrate und Lösungsmittel wurden hinsichtlich auf die spätere Verwendung als Edukte in der Hydrierungsreaktion ausgewählt. Neben dem polaren Zimtsäureethylester kamen unpolare Substrate wie Styrol, cis-Cyccloocten und Diphenylacetylen zum Einsatz. Die Materialien wurden desweiteren auf ihre Eignung und Stabilität in der Flüssigphasenhydrierung getestet. Da die untersuchten Metall-Organischen Gerüstverbindungen selbst nicht hydrieraktiv sind, wurden sie als Matrix für die Synthese von Palladium-Nanopartikeln (mittels Incipient Wetness Infiltration) verwendet. Als Referenzkatalysatoren kamen kommerziell erhältliche Pd-Trägerkatalysatoren (Pd@C, Pd@NoritA) und Pd@MOF 5 zum Einsatz. Bei den Experimenten erwies sich Pd@MIL 101 als besonders stabil gegenüber den Reduktions- und Reaktionsbedingungen, sowohl in Gasphasen- als auch Flüssigphasenhydrierungen. Die erzielten Ergebnisse zeigen den starken Einfluss des spezifischen Porenvolumens, der Form der Pore bzw. des Poreneingangs, der Polarität des Substrates und des verwendeten Lösungsmittels auf die adsorbierte Substratmenge. Sie verdeutlichen die Relevanz von Adsorptionsuntersuchungen an neuen Materialien. Das Verständnis der Wechselwirkungen zwischen den verwendeten Lösungsmitteln, Substraten und Adsorbentien ist ein entscheidender Faktor bei der Optimierung von Adsorptionsprozessen und bei der Verwendung von MOFs in heterogen katalysierten Reaktionen. Diese Arbeit zeigt das hohe Potential von Metall-Organischen Materialien im Bereich der heterogenen Katalyse. Unter Verwendung dieser Verbindungen als Trägermaterialien für Palladium können sehr hohe Aktivitäten in Hydrierungsreaktionen erreicht werden, welche z.T. auch industriell genutzte, Aktivkohle basierte Pd-Trägerkatalysatoren übertreffen.

The ongoing trend to more heterogeneous systems forces us to rethink the design of systems. In this work, I study a new system design that considers heterogeneous compute units (general-purpose cores with different instruction sets, DSPs, FPGAs, fixed-function accelerators, etc.) from the beginning instead of as an afterthought. The goal is to treat all compute units (CUs) as first-class citizens, enabling (1) isolation and secure communication between all types of CUs, (2) a direct interaction of all CUs, removing the conventional CPU from the critical path, and (3) access to operating system (OS) services such as file systems and network stacks for all CUs. To study this system design, I am using a hardware/software co-design based on two key ideas: 1) introduce a new hardware component next to each CU used by the OS as the CUs' common interface and 2) let the OS kernel control applications remotely from a different CU. The hardware component is called data transfer unit (DTU) and offers the minimal set of features to reach the stated goals: secure message passing and memory access. The OS is called M³ and runs its kernel on a dedicated CU and runs the OS services and applications on the remaining CUs. The kernel is responsible for establishing DTU-based communication channels between services and applications. After a channel has been set up, services and applications communicate directly without involving the kernel. This approach allows to support arbitrary CUs as aforementioned first-class citizens, ranging from fixed-function accelerators to complex general-purpose cores.

Braunkohle ist aktuell immer noch ein wichtiger Rohstoff für die Energieversorgung in Deutschland. Ein großes Abbaugebiet befindet sich in Nordrhein-Westfalen. Im sogenannten rheinischen Braunkohlenrevier liegen mächtige Braunkohleflöze, welche seit einigen Jahrzehnten im Tagebaubetrieb abgebaut werden. Allerdings fallen auch große Mengen an Abraum (die Deckschichten über der Braunkohle) an, welche meist auf der, dem Abbauort, gegenüberliegenden Seite, wieder verkippt werden. Dort bilden die verkippten Massen eine Böschung, die im Fall des Tagebaus Hambach ein Böschungssystem mit über 400m Höhe erreicht hat. Diese sich ständig verändernden Böschungen müssen, wie alle hohen Böschungen, durch Fachpersonal auf ihre Standsicherheit überprüft werden. Für diese Standsicherheitsberechnungen bedarf es Kennwerte, u. a. die undrainierte Scherfestigkeit für die Nachweise der kurzfristigen Standsicherheit, für die vorliegenden verkippten Böden. Diese liegen nach der Verkippung meist heterogen vor und verändern durch eine fortschreitende Konsolidation ihren Zustand. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Bestimmung des Kennwertes der undrainierten Scherfestigkeit in fein- und gemischtkörnigen Böden. Dazu werden zunächst die Klassifikations- und Zustandseigenschaften während der Verkippung der Böden für die in den Tagebauen Inden und Hambach verwendeten Materialklassen vorgestellt. Dabei wird auch auf die Besonderheiten der Böden im Tagebau, wie z.B. die Zustandsänderung während des Transportes oder die vorliegende Heterogenität, eingegangen. Es werden analytische und numerische Prognosemodelle zur Bestimmung der undrainierten Scherfestigkeit vorgestellt. Die Grundlage dieser Modelle bilden die Konsolidationstheorien, mit welchen sich die Zustandsvariablen, wie die Porenzahl oder die effektive Spannungen, berechnen lassen. Über verfügbare Stoffmodelle, wie z.B. das hypoplastische Modell nach Mašín können anhand der Zustandsvariablen die undrainierten Scherfestigkeiten abgeleitet werden. Mit den in dieser Arbeit verwendeten Modellen lassen sich undrainierte Scherfestigkeitskennwerte zu verschiedenen Zeitpunkten prognostizieren, mit denen wiederum z.B. Standsicherheitsberechnungen von Böschungen durchgeführt werden können. Die statistischen Auswertungen der Klassifikationseigenschaften und Zustände erlauben eine Beurteilung von im Tagebaubetrieb häufig verwendeten Kennwerten (z.B. Fließgrenze oder Wassergehalt) und deren Streubreiten innerhalb der Materialklassen. / Lignite was and still is an essential source for producing energy in Germany. One huge extraction site is located in North-Rhine-Westphalia (in between Mönchengladbach, Cologne and Aachen). The so called Rhenish lignite district contains very thick lignite deposits, which are mined in open pit mines since a few decades. There are huge overburdens (on top on the lignite) which are transported and dumped on the opposite to the excavation side. The dumped soil masses create slope systems, that can amount to 400m of height (in open pit mine Hambach). These large slopes undergo permanent changes and have to be assessed considering their safety and stability by specialists. Characteristic properties regarding shear strength of the heterogeneous fine- and mixed grained soils are required for such calculations. The main challenge is the description of the state of the soil, as it is permanently changing due to consolidation. One essential characteristic is the undrained shear strength. The main focus of this thesis is the determination of the undrained shear strength. Therefore, the soil properties are determined with classification tests and the state of the soils at the time of dumping is assessed. The results are categorised using the material classes of the open pit mines Inden and Hambach. The particularities of dumped soils in open pit mines are shown, for instance the change of state during transport or the heterogeneity. Moreover, analytical and numerical models are employed to predict the undrained shear strength. The basis of all these models are consolidation theories, which are applied to determine the state variables such as void ratio and effective stresses. The undrained shear strength can then be predicted by using constitutive models such as the hypoplastic model for clays according Mašín. Using the approach presented in this thesis the undrained shear strength can be predicted and employed for example for slope stability analyses. The statistic evaluation of the soil properties allows a review of the soil characteristics that are typically employed in open pit mining. Furthermore, the scattering of properties of the material classes in the open pit mines can be assessed.

<p>Doktorska disertacija posve&para;cena je re&middot;savanju nelinearnih hiperboli&middot;cnih skalarnih zakona odr&middot;zanja u heterogenim sredinama, prou&middot;cavanjem osobina kompaktnosti re&middot;senja familija aproksimativnih jedna&middot;cina. Ta&middot;cnije, u cilju dobijanja re&middot;senja u = u(t; x) problema @ t u + divx f (t; x; u) = 0;uj t=0 = u 0(x); gde su promenljive x 2 R d i t 2 R+<br />, posmatramo familije problema koji na neki na&middot;cin aproksimiraju po&middot;cetni problem, a koje znamo da re&middot;simo, i ispitujemo familije dobijenih re&middot;senja koja zovemo aproksimativna re&middot;senja. Cilj nam je da poka&middot;zemo da je dobijena familija u nekom smislu prekompaktna,<br />tj. da ima konvergentan podniz &middot;cija granica re&middot;sava po&middot;cetni problem.</p> / <p>Doctoral theses is dedicated to solving nonlinear hyperbolic scalar conservation laws in heterogeneous media, by studying compactness properties of the family of solutions to approximate problems. More precise, in order to obtain solution u = u(t; x) to the problem @ t u + divx f (t; x; u) = 0; uj t=0 = u 0 (x); (4.18) where x 2 R d and t 2 R+<br />, we study the solutions of the families of problems that, in some way, approximate previously mentioned problem, which we know how to solve. We call those solutions approximate solutions. The aim is to show that the obtained family is in some sense precompact, i.e. has convergent subsequence that solves the problem (4.18).</p>