We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

In the past few years, intensive research efforts have been devoted to studying new approaches to controlling the photon emission of quantum emitters (QEs), especially for telecommunication applications. These approaches rely on tailoring the QE\'s radiation, usually assessed via well-known figures-of-merit such as lifetime (τ) and quantum efficiency (η). Controlling the QE\'s photon emission is important because the faster its photons are emitted, the greater is the number of times it returns to the excited state per second. Therefore, it is crucial to create additional decay channels to reduce τ, which necessarily requires increasing the Purcell factor (P). One of the most promising approaches to increase P involves a new class of metamaterials, known as hyperbolic metamaterials (HMM). This class of materials exhibits pronounced anisotropy, with the parallel and perpendicular permittivity tensor elements (with respect to the anisotropy axis) presenting opposite signs, resulting in an open hyperboloidal isofrequency surface (IS). This unusual IS shape leads to the most outstanding feature of HMMs, namely, the existence of photonic modes with wavenumber (k) much larger than those in free-space (k0), known as high-k modes. By engineering these modes, it is possible to manipulate the HMM photonic density of states (PDoS), thus controlling the QE\'s radiation parameters. The simplest approach to designing HMM is by means of a planar stack of alternating thin metal and dielectric layers. However, the finite thickness of these layers induces spatial dispersion, making the extraction of effective parameters (homogenization) of these media a challenging task. In this context, we propose in this thesis a new constitutive parameter retrieval approach that takes spatial dispersion into account for all electromagnetic parameters of the medium. We demonstrate that the real part of the dispersion curve flattens out (correspondingly with a large imaginary part) because of the absence of propagating modes inside the metamaterial. This flat region is strongly dependent on the layer thicknesses and is a direct manifestation of spatial dispersion. Moreover, we demonstrate that the QE\'s lifetime calculation is overestimated if this effect is not taken into account in the homogenization procedure, which is detrimental for telecommunication applications. Moreover, we demonstrate how to enhance P by a factor greater than 100 with the use of HMMs. However, most of the QE dissipated power couples into the HMM as high-k modes (which do not propagate in free-space). Therefore, the energy is thermally dissipated inside the HMM with a consequent reduction of η . Some authors have resorted to nano-patterned HMMs (NPHM) to convert the high-k modes into free-space modes (k≤k0) aiming at increasing η. However, much of the NPHMs designs still rely on computationally costly three dimensional (3D) numerical simulations. Thus, we also propose in this thesis a new semi-analytical method to model, both in two- and three-dimensions (2D and 3D, respectively), the radiation emission of QEs interacting with nano-patterned structures. The low computational cost of this method makes it attractive for mapping P and η as function of the QE and NPHM relative position. This mapping is a helpful tool to understand the decay behavior of the whole system since QEs are arbitrarily distributed and oriented inside the NPHM. The analytically calculated decay curve allows the systems effective quantum efficiency (ηeff) and Purcell factor (Peff) to be directly obtained assuming multiple arbitrarily distributed electromagnetic sources. In this sense, we propose here a new procedure to optimize the NPHM geometrical parameters to maximize ηeff while achieving the desired Peff. We apply the proposed model to an NPHM composed of nine Ag/SiO2 layers, with the polymer host layer embedded with Rhodamine 6G, to maximize ηeff for a specified tenfold increase of Peff. This procedure allowed ηeff to be increased by 69% and 170% for one- and two-dimensional nano-patterning, respectively. Moreover, the time required to build the P and η maps (used in the calculation of the decay behavior) is reduced by approximately 96% when compared to those numerically calculated via FDTD. This procedure paves the way to the realization of new high-speed and efficient light sources for telecommunication applications. / Nos últimos anos, intensivo esforço tem sido devotado para o estudo de novas método para o controla da missão de fótons de emissores quânticos (EQs), especialmente para aplicações em telecomunicações. Estes métodos dependem da adaptação da radiação dos EQs, geralmente avaliadas por meio das bem conhecidas figuras de mérito, como o tempo de meia vida (τ) e a eficiência quântica (η). O controle da emissão de fótons é importante pois quanto mais rápido os fótons são emitidos, maior é o número de vezes que o EQ retorna ao seu estado excitado por segundo. Portanto, é crucial criar canais de decaimento adicionais para reduzir τ, o que necessariamente requer o aumento do fator de Purcell (P). Uma das abordagens mais promissoras para aumentar P envolve uma nova classe de metamateriais, conhecida como metamateriais hiperbólicos (MHs). Esta classe de materiais apresenta pronunciada anisotropia, onde os elementos paralelo e perpendicular do tensor de permissividade (em relação ao eixo de anisotropia) apresentam sinais opostos, resultando em uma superfície de isofrequência (SI) hiperboloidal aberta (IS). Essa forma incomum de SI leva à característica mais marcante dos MHs, a existência de modos fotônicos com número de onda (k) muito maior do que aqueles no espaço livre (k0), conhecidos como modos alto-k. Ao manipular esses modos, é possível manipular a densidade de estados fotônicos (DES) dos MHs, controlando assim os parâmetros de radiação do QE. A abordagem mais simples para a criação de MHs é por meio de uma pilha plana de camadas metálicas e dielétricas alternadas. Entretanto, a espessura finita dessas camadas induz a dispersão espacial, tornando a extração de parâmetros efetivos (homogeneização) destes meios uma tarefa desafiadora. Neste contexto, propomos nesta tese uma nova abordagem de recuperação de parâmetros constitutivos a dispersão espacial de todos os parâmetros eletromagnéticos do meio é levada em consideração. Nós demonstramos que a parte real da curva de dispersão se aplaina (correspondentemente com uma grande parte imaginária) devido à ausência de modos propagantes dentro do metamaterial. Esta região plana é fortemente dependente das espessuras das camadas e é uma manifestação direta da dispersão espacial Além disso, nós mostramos que se a dispersão espacial não for corretamente considerada no processo de homogeneização, o tempo de meia vida do EQ pode ser superestimado, o que é prejudicial para aplicações de telecomunicações. Além disso, demonstramos como melhorar P por um fator maior que 100 com o uso de MHs. a maior parte da potência dissipada pelos EQs são acopladas nos MHs como modos de alto-k (que não se propagam no espaço livre). Portanto, a energia é dissipada termicamente no interior do MH, resultando em uma redução de η. Alguns autores recorreram a MHs nano-estruturados (MHNE) para converter os modos alto-k em modos de espaço livre (k≤k0) visando o aumento de η. No entanto, muitos dos projetos do NPHM ainda dependem de simulações numéricas tridimensionais (3D) computacionalmente dispendiosas. Assim, também propomos nesta tese um novo método semi-analítico para modelar, tanto em duas como em três dimensões (2D e 3D, respectivamente), a emissão de radiação de EQs interagindo com estruturas nano-estruturadas. O baixo custo computacional deste método faz com que seja atrativo para o mapeamento de P e η em função da posição relativa do EQ e do MHNE. Esse mapeamento é uma ferramenta útil para entender o comportamento de decaimento de todo o sistema, já que os EQs são arbitrariamente distribuídos e orientados dentro do MHNE. A curva de decaimento calculada analiticamente permite que a eficiência quântica efetiva do sistema (ηeff) e o fator de Purcell (Peff) sejam obtidos diretamente, assumindo múltiplas fontes eletromagnéticas arbitrariamente distribuídas. Neste sentido, propomos aqui um novo procedimento para otimizar os parâmetros geométricos do MHNE visando a maximização de ηeff enquanto Peff é aumentado à um valor desejado. Aplicamos o modelo proposto a um MHNE composto por nove camadas de Ag/SiO2, com a camada de polímero embutida com Rodamina 6G, visando maximizar ηeff para um aumento de dez vezes de Peff. Este procedimento permitiu que o ηeff fosse incrementado em 69% e 170% para nano-estruturas uni e bidimensionais, respectivamente. Além disso, o tempo necessário para construir os mapas P e η (utilizados no cálculo da curva de decaimento) é reduzido em aproximadamente 96% quando comparado com os calculados numericamente via FDTD. Este procedimento abre caminho para o desenvolvimento de novas fontes de luz de alta velocidade e eficiência para aplicações de telecomunicações.

Neste trabalho estudamos relações entre expoente de Lyapunov e continuidade absoluta da folheação central para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conservativos de \'T POT. 3\'. Sobre tal tema, provamos que tipicamente (\'C POT. 1\' aberto e \'C POT. 2\' denso) os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos, conservativos de classe \'C POT. 2\' , do toro \'T POT. 3\', apresentam folheação central não absolutamente contínua. Desta maneira, respondemos positivamente uma pergunta proposta em [20]. Também neste trabalho, estudamos entropia topológica para Sistema Iterado de Funções. Neste contexto, damos uma nova demonstração para uma conjectura proposta em [14] e provada primeiramente em [15]. Apresentamos um método geométrico que nos permite calcular entropia para transformações de \'S POT. 1\', como em [15]. Além de disso o método apresentado se verifica para casos mais gerais, como por exemplo: transformações não comutativas / In this work we study relations between Lyapunov exponents, absolute continuity of center foliation for conservative partially hyperbolic diffeomorphisms of \'T POT. 3\'. About this theme, (on a \'C POT. 1\' open and \'C POT. 2\'dense set) of conservative partially hyperbolic \'C POT. 2\' diffeomorphisms of the 3-torus presents non absolutely continuous center foliation. So, we answer positively a question proposed in [20]. Also in this work, we study topological entropy for Iterated Functions Systems. In this setting, we give a proof for a conjecture proposed in [14] and firstly proved in [15]. We present a geometrical method that allows us to calcule the entropy for transformations of \'S POT. 1\', like in [15]. Furthermore this method holds for more general cases, for example: non commutative transformations

Made available in DSpace on 2017-07-21T19:26:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rodrigo Frehse Pereira.pdf: 4666622 bytes, checksum: b2dcf2959eef9f7fd82301c2e45ac87f (MD5) Previous issue date: 2013-03-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Unstable dimension variability (UDV) is an extreme form of nonhyperbolicity. It is a structurally stable phenomenon, typical for high dimensional chaotic systems, which implies severe restrictions to shadowing of perturbed solutions. Perturbations are unavoidable in modelling Physical phenomena, since no system can be made completely isolated, states and parameters cannot be determined without uncertainties and any numeric approach to such models is affected by truncation and/or roundoff errors. Thus, the lack of shadowability in systems exhibiting UDV presents a challenge for modelling. Aiming to unveil the effect of perturbations a class of nonhyperbolic systems is studied. These systems present transversal unstable dimension variability (TUDV), which means the dynamics can be split in a skew direct product form, i. e. the phase space is decomposed in two components: a hyperbolic chaotic one, called longitudinal, and a nonhyperbolic transversal one. Moreover, in the absence of perturbations, the longitudinal component is a global attractor of the system. A prototype composed of two coupled piecewise-linear chaotic maps is presented in order to study the TUDV effects. This system has an invariant subspace S which characterizes the complete chaos synchronization and UDV, when present, is transversal to it. Taking advantage of (piecewise) linearity of the equations, an analytical method for unstable periodic orbits’ computation is presented. The set of all unstable periodic orbits (UPOs) is one of the building block of chaotic dynamics and its properties provide valuable informations about the asymptotic behaviour of the system as, for instance, the invariant natural measure. Therefore, the TUDV’s intensity is analytically studied by computing the contrast measure, which quantifies the difference between the statistical weights associated to UPOs with different unstable dimension. The effect of perturbations is modelled by the introduction of a small parameter mismatch, instead of noise addition, in order to keep the model’s determinism. Consequently, the characterization of dynamics by means of UPOs is still possible. It is shown the existence of a dense set G of UPOs outside the invariant subspace consistent with a chaotic repeller. When perturbation takes place, G merges with the set H of UPOs previously in S, given rise to a new nonhyperbolic stationary state. The analysis of G ∪H provides a topological explanation to the behaviour of systems with TUDV under perturbations. Moreover, the relation between the set of UPOs embedded in a chaotic attractor and its natural measure, proven only for hyperbolic systems, is successfully applied to this system: the error between the natural measure estimated both numerically and by means of UPOs is shown to be decreasing with p, the considered UPOs’ period. It is conjectured the coincidence between both in limit. Hence, a positive answer to reliability of numerical estimation to natural measure in nonhyperbolic systems via unstable dimension variability is presented. / A variabilidade da dimensão instável (VDI) é uma forma extrema de não-hiperbolicidade. É um fenômeno estruturalmente estável, típico para sistemas caóticos de alta dimensionalidade, que implica restrições severas ao sombreamento de soluções perturbadas. As perturbações¸ s são inevitáveis na modelagem de fenômenos fíısicos, uma vez que nenhum sistema pode ser isolado completamente, os estados e os parâmetros não podem ser determinados sem incertezas e qualquer abordagem numérica dos modelos é afetada por erros de arredondamento e/ou truncamento. Portanto, a falta da sombreabilidade em sistemas exibindo VDI apresenta um desafio à modelagem. Visando revelar os efeitos das perturbações, uma classe desses sistemas não hiperbó licos é estudada. Esses sistemas apresentam variabilidade da dimensão instável transversal (VDIT), significando que a dinâmica pode ser decomposta na forma de um produto direto assimétrico, i. e. o espação de fase é dividido em dois componentes: um hiperbólico e caótico, dito longitudinal, e um transversal e não-hiperbólico. Mais ainda, na ausência de perturbações, o componente longitudinal é um atrator global do sistema. Um protótipo composto de dois mapas ca´oticos lineares por partes acoplados é apresentado para o estudo dos efeitos da VDIT. Esse sistema possui um subespaço invariante S que caracteriza a sincronização completa de caos e a VDI, quando presente, é transversal a esse subespaço. Valendo-se da linearidade (por partes) das equações, um método analítico para o cálculo das órbitas periódicas instáveis é apresentado. O conjunto de todas as órbitas periódicas instáveis (OPIs) é um dos fundamentos da dinâmica caótica e suas propriedades fornecem informaões, valiosas sobre o comportamento assintótico do sistema como, por exemplo, a medida natural invariante. Assim, a intensidade da VDIT é estudada analiticamente pelo cálculo da medida de contraste, que quantifica a diferença entre o peso estatístico associado às OPIs com dimensão instável distintas. O efeito das perturbações é modelado pela introdução de um pequeno desvio nos parâmetros, ao invés da adição de ruído, a fim de manter o determinismo do modelo. Consequentemente, a caracterização da dinâmica em termos das OPIs ainda é possível. Demonstra-se a existência de um conjunto denso G de OPIs fora do subespaço invariante consistente com um repulsor caótico. Na presença de perturbações, G se funde com o conjunto H das OPIs previamente em S, dando origem a um novo estado estacionario não-hiperbólico. A análise de G ∪H fornece uma explicação topológica ao comportamento de sistemas com variabilidade da dimensão instável sob a açãoo de perturbações. Mais ainda, a relação entre o conjunto de OPIs imersas em um atrator caótico e sua medida natural, provada apenas para sistemas hiperbólicos, é aplicada com sucesso nesse sistema: mostra-se que o erro entre as medidas naturais estimadas numericamente e pelas OPIs é decrescente com p, o período das OPIs consideradas. Conjectura-se, portanto, a coincidência entre ambas no limite . Logo, apresenta-se uma resposta positiva à estimativa numérica da medida natural em sistemas não-hiperbólicos via variabilidade da dimensão instável.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Based on the article “Hyperbolic Main Cycles on Hypersurface of R4”, Garcia, see [4], we will study the bending lines in the vicinity of a main loop, closed bending line, a hypersurface immersed in R4. For this, we will define the Poincaré transformation associated with the cycle and calculate its derivative. With this analysis, we show under what conditions we can become hyperbolic, with a small deformation in the immersion, a major cycle given. Finally, we will build an example of a hypersurface containing a hyperbolic primary cycle, based on the article “Surfaces Around Closed Main Curvature Lines, an Inverse Problem." Garcia, Mello and Sotomayor, see [5]. / Tomando como base o artigo “Hyperbolic Principal Cycles on Hyper-surface of R4", de Garcia, ver [4], estudaremos as linhas de curvatura na vizinhança de um ciclo principal, linha de curvatura fechada, de uma hipersuperfície imersa no R4. Para isso, definiremos a transformação de Poincaré associada ao ciclo e calcularemos a sua derivada. Com essa análise, mostraremos sob quais condições podemos tornar hiperbólico, com uma pequena deformação na imersão, um ciclo principal dado. E por fim, construiremos um exemplo de uma hipersuperfície contendo um ciclo principal hiperbólico, baseando-nos no artigo “Surfaces Around Closed Principal Curvature Lines, an Inverse Problem." de Garcia, Mello e Sotomayor, ver [5].