A existência de seções globais para uxos é de central importância na teoria de sistemas dinâmicos, pois uma seção global simplica o estudo da dinâmica de um uxo reduzindo-o ao estudo da dinâmica de um difeomorsmo. Apresentamos detalhadamente a construção feita Hofer, Zehnder e Wysocki (em \'\'The dynamics on a strictly convex energy surface in R4\'\') de uma seção global para o uxo Hamiltoniano restrito a um nível de energia convexo em R4 . Uma importante consequência da existência dessa seção global é que o uxo Hamiltoniano restrito a um nível de energia convexo em R4 tem 2 ou innitas órbitas periódicas. Essa construção utiliza-se da teoria de curvas pseudo-holomorfas em simplectizações de variedades de contato desenvolvida pelos mesmos autores. Os argumentos apresentados também dão uma nova prova da Conjectura de Weinstein para formas de contato tight em S3 . / The existence of global surfaces of section to ows is of central importance in the theory of dynamical systems, as a global surface of section simplies the study of the dynamics of a ow reducing it to the study of the dynamics of a dieomorphism. We present in detail the construction due to Hofer, Wysocki and Zehnder (in \'\'The dynamics on a strictly convex energy surface in R4\'\') of a global surface of section for the Hamiltonian ow restricted to a convex energy level in R4 . An important consequence of the existence of the global surface of section is that the Hamiltonian ow restricted to a convex energy level in R4 has either 2 or innitely many periodic orbits. This construction makes use of the theory of pseudo-holomorphic curves in symplectizations of contact manifolds developed by the same authors. The arguments also give a new proof of Weinstein conjecture for tight contact forms in S3 .

A existência de seções globais para uxos é de central importância na teoria de sistemas dinâmicos, pois uma seção global simplica o estudo da dinâmica de um uxo reduzindo-o ao estudo da dinâmica de um difeomorsmo. Apresentamos detalhadamente a construção feita Hofer, Zehnder e Wysocki (em \'\'The dynamics on a strictly convex energy surface in R4\'\') de uma seção global para o uxo Hamiltoniano restrito a um nível de energia convexo em R4 . Uma importante consequência da existência dessa seção global é que o uxo Hamiltoniano restrito a um nível de energia convexo em R4 tem 2 ou innitas órbitas periódicas. Essa construção utiliza-se da teoria de curvas pseudo-holomorfas em simplectizações de variedades de contato desenvolvida pelos mesmos autores. Os argumentos apresentados também dão uma nova prova da Conjectura de Weinstein para formas de contato tight em S3 . / The existence of global surfaces of section to ows is of central importance in the theory of dynamical systems, as a global surface of section simplies the study of the dynamics of a ow reducing it to the study of the dynamics of a dieomorphism. We present in detail the construction due to Hofer, Wysocki and Zehnder (in \'\'The dynamics on a strictly convex energy surface in R4\'\') of a global surface of section for the Hamiltonian ow restricted to a convex energy level in R4 . An important consequence of the existence of the global surface of section is that the Hamiltonian ow restricted to a convex energy level in R4 has either 2 or innitely many periodic orbits. This construction makes use of the theory of pseudo-holomorphic curves in symplectizations of contact manifolds developed by the same authors. The arguments also give a new proof of Weinstein conjecture for tight contact forms in S3 .

abstract: The theory of geometric quantum mechanics describes a quantum system as a Hamiltonian dynamical system, with a projective Hilbert space regarded as the phase space. This thesis extends the theory by including some aspects of the symplectic topology of the quantum phase space. It is shown that the quantum mechanical uncertainty principle is a special case of an inequality from J-holomorphic map theory, that is, J-holomorphic curves minimize the difference between the quantum covariance matrix determinant and a symplectic area. An immediate consequence is that a minimal determinant is a topological invariant, within a fixed homology class of the curve. Various choices of quantum operators are studied with reference to the implications of the J-holomorphic condition. The mean curvature vector field and Maslov class are calculated for a lagrangian torus of an integrable quantum system. The mean curvature one-form is simply related to the canonical connection which determines the geometric phases and polarization linear response. Adiabatic deformations of a quantum system are analyzed in terms of vector bundle classifying maps and related to the mean curvature flow of quantum states. The dielectric response function for a periodic solid is calculated to be the curvature of a connection on a vector bundle. / Dissertation/Thesis / Ph.D. Mathematics 2011

Consideramos o fluxo de Reeb associado a uma forma de contato em S¹ x S² que induz a estrutura de contato tight. Assumimos que o fluxo admite um par de órbitas periódicas L0 e L1 cujo link L = L0 L1 é transversalmente isotópico a ( S¹ x )( S¹ x ), em que n = (0,0,1) e s = (0,0,1) são os pólos norte e sul de S², respectivamente. O objetivo é provar que, nestas condições, existem infinitas órbitas periódicas no complementar desse link cujas classes de homotopia no complementar do link são prescritas de acordo com os números de rotação de L0 e L1. / We consider the Reeb flow associated to a contact form on S¹ x S² which induces a tight contact structure. We assume that the flow admits a pair of closed orbits L0 and L1 whose link L = L0 L1 is transversely isotopic to (S¹ x)(S¹ x), where n = (0,0,1) and s =(0,0,1) are the north and south poles of S², respectively. The main goal is to prove that, under these conditions, there exit infinitely many closed orbits in the complement of this link whose homotopy classes in the complement of this link are prescribed according to the rotation numbers of L0 and L1.

Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato $\\lambda$ definida numa 3-variedade compacta e conexa M. Assumimos que $\\lambda$ é tight e a primeira classe de Chern da estrutura de contato $\\xi=\\ker\\lambda$ se anula sobre $\\pi_2(M)$. No nosso primeiro resultado, supomos que M é fechada e existe uma órbita fechada L do fluxo de Reeb que é um p-nó trivial com número de auto-enlaçamento $-1/p$. Supomos, além disso, que o número de rotação transversal da p-ésima iterada de L é estritamente menor do que 1. Nestas condições, provamos que existe uma órbita fechada (de Reeb) contrátil geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L cujo número de rotação transversal é 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que M é uma 3-variedade cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existem órbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultado é uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja $\\lambda$ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, então ou existe uma órbita fechada contrátil com índice de Conley-Zehnder 2 ou M é folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste último caso, M é difeomorfa a um toro sólido e existe uma órbita fechada não-contrátil em M que é ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. / In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form $\\lambda$ defined on a compact, connected 3-manifold M. Suppose that the first Chern class of $\\xi=\\ker\\lambda$ vanish on $\\pi_2(M)$. In our first result, we assume that M is closed and there exists a closed Reeb orbit L which is a p-unknotted, has self-linking number $-1/p$ and the transverse rotation number of the p-th iterate of L is less than 1. Under these conditions, we verify that there exists a contractible closed Reeb orbit which is geometrically distinct from L and not linked to L with transverse rotation number 1. We also prove a version of this result when M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus and invariant by the flow and, moreover, there does not exist closed Reeb orbits on the boundary. Our second result is a dynamical characterization of the solid torus. We assume that $\\lambda$ is a contact form on a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus. Under the hypothesis of $\\lambda$ being non-degenerate, if the flow is tangent to $\\partial M$ and satisfies some twist conditions on the boundary, then either there exists a contractible closed Reeb orbit which has Conley-Zehnder index 2 or M is foliated by disks transverse to the Reeb flow. In this last case, we see that M is diffeomorphic to a solid torus and there exists a non-contractible closed Reeb orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.

Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato $\\lambda$ definida numa 3-variedade compacta e conexa M. Assumimos que $\\lambda$ é tight e a primeira classe de Chern da estrutura de contato $\\xi=\\ker\\lambda$ se anula sobre $\\pi_2(M)$. No nosso primeiro resultado, supomos que M é fechada e existe uma órbita fechada L do fluxo de Reeb que é um p-nó trivial com número de auto-enlaçamento $-1/p$. Supomos, além disso, que o número de rotação transversal da p-ésima iterada de L é estritamente menor do que 1. Nestas condições, provamos que existe uma órbita fechada (de Reeb) contrátil geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L cujo número de rotação transversal é 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que M é uma 3-variedade cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existem órbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultado é uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja $\\lambda$ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, então ou existe uma órbita fechada contrátil com índice de Conley-Zehnder 2 ou M é folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste último caso, M é difeomorfa a um toro sólido e existe uma órbita fechada não-contrátil em M que é ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. / In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form $\\lambda$ defined on a compact, connected 3-manifold M. Suppose that the first Chern class of $\\xi=\\ker\\lambda$ vanish on $\\pi_2(M)$. In our first result, we assume that M is closed and there exists a closed Reeb orbit L which is a p-unknotted, has self-linking number $-1/p$ and the transverse rotation number of the p-th iterate of L is less than 1. Under these conditions, we verify that there exists a contractible closed Reeb orbit which is geometrically distinct from L and not linked to L with transverse rotation number 1. We also prove a version of this result when M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus and invariant by the flow and, moreover, there does not exist closed Reeb orbits on the boundary. Our second result is a dynamical characterization of the solid torus. We assume that $\\lambda$ is a contact form on a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus. Under the hypothesis of $\\lambda$ being non-degenerate, if the flow is tangent to $\\partial M$ and satisfies some twist conditions on the boundary, then either there exists a contractible closed Reeb orbit which has Conley-Zehnder index 2 or M is foliated by disks transverse to the Reeb flow. In this last case, we see that M is diffeomorphic to a solid torus and there exists a non-contractible closed Reeb orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.

Consideramos o fluxo de Reeb associado a uma forma de contato em S¹ x S² que induz a estrutura de contato tight. Assumimos que o fluxo admite um par de órbitas periódicas L0 e L1 cujo link L = L0 L1 é transversalmente isotópico a ( S¹ x )( S¹ x ), em que n = (0,0,1) e s = (0,0,1) são os pólos norte e sul de S², respectivamente. O objetivo é provar que, nestas condições, existem infinitas órbitas periódicas no complementar desse link cujas classes de homotopia no complementar do link são prescritas de acordo com os números de rotação de L0 e L1. / We consider the Reeb flow associated to a contact form on S¹ x S² which induces a tight contact structure. We assume that the flow admits a pair of closed orbits L0 and L1 whose link L = L0 L1 is transversely isotopic to (S¹ x)(S¹ x), where n = (0,0,1) and s =(0,0,1) are the north and south poles of S², respectively. The main goal is to prove that, under these conditions, there exit infinitely many closed orbits in the complement of this link whose homotopy classes in the complement of this link are prescribed according to the rotation numbers of L0 and L1.

Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em $\\mathbb{R}^4$ restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana $H: \\mathbb{R}^4 \\to \\mathbb{R}$ que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro $p_c \\in H^{-1}(0)$ e assumimos que $p_c$ pertence a um conjunto singular estritamente convexo $S_0 \\subset H^{-1}(0)$. Então, mostramos que os níveis de energia $H^{-1}(E)$, com $E>0$ suficientemente pequeno, contêm uma $3$-bola fechada $S_E$ próxima a $S_0$ que admite um sistema de seções transversais $F_E$, chamado folheação $2-3$. $F_E$ é uma folheação singular de $S_E$ com conjunto singular formado por duas órbitas periódicas $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ e $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. A órbita $P_{2,E}$ é hiperbólica dentro do nível de energia $H^{-1}(E)$, pertence à variedade central do sela-centro $p_c$, tem índice de Conley-Zehnder $2$ e é o limite assintótico de dois planos rígidos de $F_E$ que, unidos com $P_{2,E}$, constituem a $2$-esfera $\\partial S_E$. A órbita $P_{3,E}$ tem índice de Conley-Zehnder $3$ e é o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de $F_E$ contida em $S_E\\setminus \\partial S_E$. Um cilindro rígido conectando as órbitas $P_{3,E}$ e $P_{2,E}$ completa a folheação $F_E$. Uma vez que $F_E$ é um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de $H$. Como consequência da existência de uma tal folheação em $S_E$, concluímos que a órbita hiperbólica $P_{2,E}$ admite pelo menos uma órbita homoclínica contida em $S_E \\setminus \\partial S_E$. / In this work we study Hamiltonian dynamics in $\\mathbb R ^4$ restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function $H:\\mathbb R ^4 \\to \\mathbb R$ containing a saddle-center equilibrium point $p_c \\in H^ -1 (0)$ and we assume that $p_c$ lies on a strictly convex singular set $S_0 \\subset H^ -1 (0)$. Then we prove that the energy levels $H^ -1 (E)$, with $E>0$ sufficiently small, contain a closed $3$-ball $S_E$ near $S_0$ admitting a system of transverse sections $F_E$, called a $2-3$ foliation. $F_E$ is a singular foliation of $S_E$ and its singular set consists of two periodic orbits $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ and $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. The orbit $P_{2,E}$ is hyperbolic inside the energy level $H^ -1 (E)$, lies on the center manifold of the saddle-center $p_c$, has Conley-Zehnder index $2$ and is the asymptotic limit of two rigid planes of $F_E$, which compose the $2$-sphere $S_E$ together with $P_{2,E}$. The orbit $P_{3,E}$ has Conley-Zehnder index $3$ and is the asymptotic limit of a one parameter family of planes of $F_E$ contained in $S_E \\setminus \\partial S_E$. A rigid cylinder connecting the orbits $P_{3,E}$ and $P_{2,E}$ completes the foliation $F_E$. Since $F_E$ is a system of transverse sections, all its regular leaves are transverse to the Hamiltonian flow of $H$. As a consequence of the existence of such foliation in $S_E$, we conclude that the hyperbolic orbit $P_{2,E}$ admits at least one homoclinic orbit contained in $S_E\\setminus \\partial S_E$.

Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em $\\mathbb{R}^4$ restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana $H: \\mathbb{R}^4 \\to \\mathbb{R}$ que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro $p_c \\in H^{-1}(0)$ e assumimos que $p_c$ pertence a um conjunto singular estritamente convexo $S_0 \\subset H^{-1}(0)$. Então, mostramos que os níveis de energia $H^{-1}(E)$, com $E>0$ suficientemente pequeno, contêm uma $3$-bola fechada $S_E$ próxima a $S_0$ que admite um sistema de seções transversais $F_E$, chamado folheação $2-3$. $F_E$ é uma folheação singular de $S_E$ com conjunto singular formado por duas órbitas periódicas $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ e $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. A órbita $P_{2,E}$ é hiperbólica dentro do nível de energia $H^{-1}(E)$, pertence à variedade central do sela-centro $p_c$, tem índice de Conley-Zehnder $2$ e é o limite assintótico de dois planos rígidos de $F_E$ que, unidos com $P_{2,E}$, constituem a $2$-esfera $\\partial S_E$. A órbita $P_{3,E}$ tem índice de Conley-Zehnder $3$ e é o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de $F_E$ contida em $S_E\\setminus \\partial S_E$. Um cilindro rígido conectando as órbitas $P_{3,E}$ e $P_{2,E}$ completa a folheação $F_E$. Uma vez que $F_E$ é um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de $H$. Como consequência da existência de uma tal folheação em $S_E$, concluímos que a órbita hiperbólica $P_{2,E}$ admite pelo menos uma órbita homoclínica contida em $S_E \\setminus \\partial S_E$. / In this work we study Hamiltonian dynamics in $\\mathbb R ^4$ restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function $H:\\mathbb R ^4 \\to \\mathbb R$ containing a saddle-center equilibrium point $p_c \\in H^ -1 (0)$ and we assume that $p_c$ lies on a strictly convex singular set $S_0 \\subset H^ -1 (0)$. Then we prove that the energy levels $H^ -1 (E)$, with $E>0$ sufficiently small, contain a closed $3$-ball $S_E$ near $S_0$ admitting a system of transverse sections $F_E$, called a $2-3$ foliation. $F_E$ is a singular foliation of $S_E$ and its singular set consists of two periodic orbits $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ and $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. The orbit $P_{2,E}$ is hyperbolic inside the energy level $H^ -1 (E)$, lies on the center manifold of the saddle-center $p_c$, has Conley-Zehnder index $2$ and is the asymptotic limit of two rigid planes of $F_E$, which compose the $2$-sphere $S_E$ together with $P_{2,E}$. The orbit $P_{3,E}$ has Conley-Zehnder index $3$ and is the asymptotic limit of a one parameter family of planes of $F_E$ contained in $S_E \\setminus \\partial S_E$. A rigid cylinder connecting the orbits $P_{3,E}$ and $P_{2,E}$ completes the foliation $F_E$. Since $F_E$ is a system of transverse sections, all its regular leaves are transverse to the Hamiltonian flow of $H$. As a consequence of the existence of such foliation in $S_E$, we conclude that the hyperbolic orbit $P_{2,E}$ admits at least one homoclinic orbit contained in $S_E\\setminus \\partial S_E$.

L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.