Um problema central em teoria de subvariedades é estudar imersões isométricas f : Mn → Qn+kc de uma variedade Riemanniana completa em uma forma espacial sob a ação de um subgrupo conexo e fechado do grupo de isometrias Iso(M). Esse estudo teve início com o relevante trabalho de Kobayashi (KOBAYASHI, 1958), que provou que se Mn é uma hipersuperfície compacta e homogênea no espaço Euclidiano, então Mn é isométrica à esfera usual. Neste trabalho estudamos imersões isométricas em formas espaciais com codimensão igual a 2. Mais precisamente, obtemos uma classificação das imersões isométricas f : Mn → Qn+2c de uma variedade Riemanniana completa sob a ação de cohomogeneidade 1 de um subgrupo fechado G ⊂ Iso(M), de modo que as órbitas principais são hipersuperfícies umbílicas de Mn. / An important problem in submanifold theory is to study isometric immersions f : Mn → Qn+kc into a space form of a complete Riemannian manifold of dimension n acted on by a closed connected subgroup of its isometry group Iso(M). This study was initiated by Kobayashi (KOBAYASHI, 1958), who proved that if Mn is a compact and homogeneous hypersurface into Euclidean space, then Mn must be a round sphere. In this work we study isometric immersions into a space form with codimension 2. More precisely, we give a complete classification of isometric immersions f : Mn → Qn+2c of complete Riemannian manifold into a space form acted on by a closed connected subgroup G &sub: Iso(M) of cohomogeneity one, under the assumption that all principal orbits are umbilical hypersurfaces of Mn.

Made available in DSpace on 2015-04-22T22:16:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jose Nazareno Vieira Gomes.pdf: 449205 bytes, checksum: ed034dfcd18d705f7d20d12e963faffc (MD5) Previous issue date: 2008-09-15 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Consider immersion (Expressão Matemática) dimensional manifold Mn in a manifold of constant secctional curvature c. Let N(x) be the first normal space of f in x 2 M, that is the subspace of the normal space that is generate to image of second form fundamental of f in x. We say that we can reduce the codimension of f to k, with (Expressão Matemática), if exists a submanifold L of Qc (n + k)-dimensional totally geodesic such that (Expressão Matemática), and f is 1-1-regular if the first normal space have constant dimension 1. The objective of this work is to give a detailed exhibition of results obtained by Lúcio Rodriguez and Renato Tribuzy in "Reduction of Codimension of Regular Immersions", published in Mathematische Zeitschrift in the year of 1984, that permit to reduce the codimension of 1-1-regular. / Considere uma imersão (Expressão Matemática) de uma variedade n-dimensional Mn em uma variedade de curvatura seccional constante c. Seja N(x) o primeiro espaço normal de f em x 2 M, isto é, o subespaço do espaço normal que é gerado pela imagem da segunda forma fundamental de f em x. Diz-se que se pode reduzir a codimensão de f para k, com (Expressão Matemática), se existe uma subvariedade (n+k)-dimensional L de Qc totalmente geodésica e tal que (Expressão Matemática) regular se o primeiro espaço normal tem dimensão constante 1. O objetivo deste trabalho é dar uma exposição detalhada de resultados obtidos por Lúcio Rodriguez e Renato Tribuzy em "Redução de Codimensão de Imersões Regulares", publicado em Mathematische Zeitschrift no ano de 1984, que permitem reduzir a codimensão de imersões 1-1-regulares.

Made available in DSpace on 2015-04-22T22:16:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ana Acacia Pereira Valente.pdf: 221896 bytes, checksum: f7a5ffc2646f76d06002549f557bd363 (MD5) Previous issue date: 2003-12-19 / The work of this essay is to make a clear on detailed exposition of the two theorems of the article of Lúcio Rodriguez and Renato Tribuzy on the Reduction of Codimension of Regular Immersions in the space of constant curvature c. We show that if M is a compact and connected manifold, of dimension n, and is an immersion (formula) regular, that is, when the first normal space N generated by image of the second fundamental form has constant dimension 1, then we can reduce the codimension of the immersion to 1. Other result important in the work show that if M is complete, connected with non-negative Ricci curvature, then f is a cylinder over a curve our we can reduce the codimension to 1 and f(M) is the boundary of a convex set in an a±ne subspace of (formula). / Este trabalho tem como finalidade apresentar uma exposição clara e detalhada de dois dos teoremas apresentados no artigo de Lúcio Rodriguez e Renato Tribuzy sobre Redução de Codimensão de Imersões Regulares em Espaços de Curvatura Constante c. Mostra-se que se tivermos uma variedade compacta e conexa M, de dimensão n, e uma imersão (formula) regular, isto é, quando a dimensão do primeiro espaço normal N gerado pelas imagens da segunda forma fundamental tem dimensão constante igual a 1, então podemos reduzir a codimensão da imersão para 1. Outro resultado importante neste trabalho é o fato de que se a variedade é apenas completa, conexa e com curvatura de Ricci não-negativa, então a imersão será um cilindro sobre uma curva, do contrário, podemos reduzir a codimensão para 1 e nossa imersão será o bordo de um corpo convexo em um subespaço (formula).

Neste trabalho demonstramos o Teorema Fundamental das Imersões para S^m x R e H^m x R, dando condições necessárias e suficientes para que uma variedade Riemanniana simplesmente conexa seja isometricamente imersa nestes ambientes. Para isto, utilizamos referenciais móveis e distribuições integráveis. Como aplicação do Teorema Fundamental, provamos a existência de uma família a um parâmetro de deformações isométricas mínimas de uma dada superfície mínima em S² x R e H² x R, chamada de família associada. Além disso, relacionamos o problema de encontrar uma imersão isométrica mínima para uma dada superfície Riemanniana simplesmente conexa nestes espaços a um sistema de duas equações diferenciais parciais. Construímos exemplos de superfícies conjugadas em ambos os ambientes e de superfícies admitindo duas imersões mínimas isométricas não associadas em H² x R. / In this work we give a proof of the Fundamental Theorem of Immersions for S^m x R and H^m x R, providing necessary and sufficient conditions for a simply connected Riemannian manifold to be isometrically immersed on this ambient spaces. In order to do this, we use moving frames and integrable distributions. As an application of the Fundamental Theorem, we proof the existence of a one parameter family of minimal isometric deformations of a given minimal surface in S² x R and H² x R, which is called the associated family. Furthermore, we relate the problem of finding an minimal isometric immersion for a given simply connected Riemannian surface in this spaces to a system of two partial differential equations. Also, we construct examples of conjugated surfaces in both ambient spaces and surfaces admitting two non associated minimal isometric immersions in H² x R.

Immersion is a notion of graph inclusion related to the notion of graph minors. While the structural theory of graph minors is extensive, there are still numerous open problems in the structural theory of graph immersions. Kuratowski's theorem claims that the class of graphs that do not contain a subdivision of the graphs K3,3 and K5 is exactly the class of planar graphs. The main goal of this thesis is to describe the structure of the graphs that do not contain an immersion of K3,3. Such graphs can be separated by small edge cuts into small graphs or planar 3-regular graphs. 1

Se estudian en esta memoria dos aspectos del problema de inmersión de la Teoría de Galois: la existencia de soluciones con condiciones prefijadas sobre la ramificación (capítulos I y II-1) y la construcción efectiva de soluciones (capítulos II-2, II-3 y III). En el capítulo I se revisa primeramente la Teoría de Galois sobre esquemas. Obtenemos que todo recubrimiento principal de un esquema conexo “X” es suma directa de recubrimientos galoisianos de X, isomorfos, generalizando así el resultado de Hasse relativo a la estructura de las galoisianas sobre un cuerpo. El estudio del concepto de recubrimiento de un esquema conexo nos permite plantear el problema de inmersión sobre esquemas. Traduciendo a este lenguaje el problema de inmersión sobre un cuerpo de números, con conjunto de ramificación prefijado, se observa que la obstrucción a la resolubilidad de este problema viene dada por un elemento de un grupo de cohomología étale. Esto nos permite obtener condiciones para que, de la resolubilidad de un problema de inmersión sobre un cuerpo de números “K”, dado por una extensión de grupos central, con núcleo abeliano, pueda deducirse la existencia de soluciones, con conjunto de ramificación prefijado. Dichas condiciones se expresan en términos de número de clases de ideales del anillo de enteros del cuerpo K. En el capítulo II nos planteamos si, para un problema de inmersión del tipo considerado en el capítulo anterior, puede obtenerse un cuerpo solución sin aumentar el conjunto de ramificación. Para ello, se estudia previamente la variedad de las soluciones con conjunto de ramificación prefijado a un problema de inmersión sobre un cuerpo de números. El objetivo del capítulo III es construir explícitamente las soluciones a problemas de inmersión dados por extensiones espinoriales.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O objetivo dessa dissertaÃÃo à apresentar uma fÃrmula para o operador Lr(g) = div(Pr gradiente g) de uma nova funÃÃo suporte g, definida sobre uma hipersuperfÃcie M n em uma forma espacial Riemanniana Mc n+1, bem como mostrar que uma hipersuperfÃcie diferenciÃvel estrelada compacta Σn, com segunda funÃÃo simÃtrica S2 constante positiva na esfera Euclidiana S n+1, deve ser uma esfera geodÃsica Sn (p). Isso generaliza um resultado obtido por Jellett [9] em 1853 para tais tipos de superfÃcies no espaÃo Euclidiano R3. / The purpose of this dissertation is to desire a formula for the operator Lr(g) = div(Pr gradient g) of a new support function g, defined over a hypersurface Mn in a Riemannian space form Mc n +1, and to show that a compact smooth starshaped hypersurface Σn in the Euclidean sphere Sn+1,whose second symmetric function S2 is positive and constant must be a geodesic sphere Sn (p). This generalizes a result obtained by Jellett [9] in 1853 for such surfaces in Euclidean space R3.

Neste trabalho demonstramos o Teorema Fundamental das Imersões para S^m x R e H^m x R, dando condições necessárias e suficientes para que uma variedade Riemanniana simplesmente conexa seja isometricamente imersa nestes ambientes. Para isto, utilizamos referenciais móveis e distribuições integráveis. Como aplicação do Teorema Fundamental, provamos a existência de uma família a um parâmetro de deformações isométricas mínimas de uma dada superfície mínima em S² x R e H² x R, chamada de família associada. Além disso, relacionamos o problema de encontrar uma imersão isométrica mínima para uma dada superfície Riemanniana simplesmente conexa nestes espaços a um sistema de duas equações diferenciais parciais. Construímos exemplos de superfícies conjugadas em ambos os ambientes e de superfícies admitindo duas imersões mínimas isométricas não associadas em H² x R. / In this work we give a proof of the Fundamental Theorem of Immersions for S^m x R and H^m x R, providing necessary and sufficient conditions for a simply connected Riemannian manifold to be isometrically immersed on this ambient spaces. In order to do this, we use moving frames and integrable distributions. As an application of the Fundamental Theorem, we proof the existence of a one parameter family of minimal isometric deformations of a given minimal surface in S² x R and H² x R, which is called the associated family. Furthermore, we relate the problem of finding an minimal isometric immersion for a given simply connected Riemannian surface in this spaces to a system of two partial differential equations. Also, we construct examples of conjugated surfaces in both ambient spaces and surfaces admitting two non associated minimal isometric immersions in H² x R.

In this thesis we study the problem of determining the possible cobordism types of r-fold self-intersection manifolds associated to self-transverse immersions f: M^{n-k} -> \R^n for certain values of n, k, and r. Namely, we study the double-point self-intersection manifolds of immersions M^{n+2} -> \R^{2n+2} and M^{n+4} -> \R^{2n+4}, focusing on the case when $n$ is even. In the case of self-transverse immersions f : M^{n+2} -> \R^{2n+2}, we see that when n is even the double-point self-intersection manifold is a boundary, which is a result originally due to Szucs. In the case of self-transverse immersions f : M^{n+4} -> \R^{2n+4}, we show than when n is even the double-point self-intersection manifold is either a boundary or cobordant to RP^2 x RP^2, which is a new result. We then show that for even n such that the binary expansion of n+4 contains 5 or more 1s, the double-point self-intersection manifold of a self-transverse immersion M^{n+4} -> \R^{2n+4} is necessarily a boundary. We also survey the case when n is odd. We also set up and study the complex versions of the above problems: self-transverse immersions f : M^{2k+2} -> \R^{4k+2} and f : M^{2k+4} -> \R^{4k+4} of stably complex manifolds with a given complex structure on the normal bundle of f$. In these cases, the double-point self-intersection manifold L associated to the immersion inherits a stably complex structure, and we attempt to determine which complex cobordism classes of stably complex manifolds may arise in this way. This is all new work. In the case of self-transverse complex immersions f : M^{2k+2} -> \R^{4k+2}, we show that the first normal Chern number of the double-point self-intersection manifold is a multiple of 2^{\lambda_{k+1}} for some integer \lambda_{k+1}, and provide upper and lower bounds for the value of \lambda_{k+1}. We also determine the exact value of \lambda_{k+1} in certain cases. In the case of self-transverse complex immersions f : M^{2k+4} -> \R^{4k+4}, we identify a large class of stably complex manifolds that may arise as the double-point self-intersection manifold of such an immersion and also identify a class of manifolds that may not. Additionally, in both cases we identify a necessary (and sometimes sufficient) condition for a stably complex manifold of the appropriate dimension to admit a complex immersion of the appropriate codimension.

[pt] A maioria dos problemas de instabilidade ocorre quando rochas argilosas como folhelhos são perfuradas e o fluido de perfuração interage com a rocha. A interação rocha- fluido é materializada através da troca de íons e moléculas de água entre o fluido de perfuração e a rocha, gerando como conseqüências à variação nas poropressões dentro do folhelho e a alteração na estrutura dos minerais. O presente trabalho tem como objetivo o estudo das mudanças nas propriedades físico-químicas de amostras de folhelhos quando imersas em água e em sais orgânicos e inorgânicos. Um equipamento de imersão foi desenvolvido no qual amostras de folhelho são postas em contato com fluidos. Os resultados eletroquímicos indicam que a imersão dos folhelhos em soluções salinas reduz, quando comparada com a água, as alterações nas propriedades mecânicas, químicas e eletroquímicas dos fluidos. Os resultados mostram também que os folhelhos de origem offshore são mais reativos que os folhelhos originados de plataforma terrestres, devido às propriedades de seus constituintes individuais e de sua microestrutura. Quando imersos, os cloretos e os formiatos reduzem a hidratação das amostras, as mudanças no pH, as alterações nas atividades químicas dos folhelhos e dos fluidos dos poros, na capacidade de troca catiônica, na composição química da matriz da rocha e fluido dos poros, além de diminuir a desintegração superficial das amostras. A microscopia ótica, eletrônica e a espectrometria de dispersão de energia indicam a deposição dos sais nas superfícies das amostras. / [en] Most of borehole instability problems occur when argillaceous rocks such as shales are drilled and the drilling fluid interacts with the rock. The rock-fluid interaction is materialized through the exchange of ions and water molecules between the drilling fluid and the rock, generating pore pressure variation inside the shale and changes in minerals structure. The present work has the objective of studying the changes in the physicochemical properties of shale samples when immersed in the water, inorganic and organic salts. Immersion equipment was developed in which shale samples are put in contact with fluid. The results show that immersion of shale samples in salt solutions reduce, when compared with de-ionized water, the changes in mechanics, chemical and electrochemical of solutions. The results also show that the shales from offshore platform are more reactive than terrestrial basin, in function of shale s individual constituents and microstructure. When immersed, the chlorides and formates reduce the rock water content, the changes in the rock pH, water activity of shale and interstitial water, in the cation exchange capacity, in the chemical composition of rock and interstitial water e reduce the shale s loss of mass. The results indicate that the ions presents in the rock and the fluids flow in the direction of decreasing solute concentration gradient. This result in the alteration the exchangeable bases of shales and the specific surface of clays minerals. The electronic and optic microscopy and energy dispersion spectrometry indicated a deposition of salts in the surface of samples.