El objetivo principal de esta memoria es estudiar algunos problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales mediante el uso de desigualdades de Carleman. Estas últimas son una herramienta muy útil para obtener estabilidad para el problema inverso en torno a una solución regular.

En esta tesis se abordan dos problemas diferentes de interacción del tipo fluido-estructura en el caso tridimensional: en el primero de ellos realizamos un estudio teórico de un problema de interacción entre una estructura deformable y un fluido Newtoniano incompresible (Capítulo 2), y en el segundo, consideramos un problema inverso geométrico asociado a un cuerpo rígido inmerso en un fluido (Capítulo 3). Para el primer problema probamos un resultado de existencia y unicidad de soluciones fuertes considerando para la estructura elástica una aproximación finito-dimensional de la ecuación de la elasticidad lineal. En el segundo problema, demostramos un resultado de existencia y unicidad del correspondiente sistema fluido-estructura y probamos un resultado de identificabilidad: la forma de un cuerpo convexo y su posición inicial son identificadas, vía la medición, en algún tiempo positivo, del tensor de Cauchy del fluido sobre un subconjunto abierto de la frontera exterior. También un resultado de estabilidad es estudiado para este problema.

En esta tesis, abordamos varios problemas matemáticos y numéricos relativos a las ecuaciones de la viscoelasticidad en tres dimensiones. En la primera parte, consideramos el sistema lineal y nos interesamos al problema inverso de recuperación de un coeficiente viscoelástico. Para este sistema, demostramos une desigualdad de Carleman (Capitulo 1) y un resultado de estabilidad asociado a la continuación única (Capitulo 2). Usamos luego esos resultados para probar dos desigualdades de estabilidad para el problema inverso, una relativa a una única medida interna y la otra a una única medida en una parte arbitrariamente pequeña de la frontera (Capitulo 3). Al final, proponemos un método para resolver este problema numéricamente y presentamos una aplicación en imágenes médicas (Capitulo 4). En la segunda parte, estudiamos el sistema de la viscoelasticidad no lineal. Presentamos métodos numéricos para resolverlo y describimos la implementación de estos en tres dimensiones sobre geometrías complejas (Capitulo 5). Una aplicación biomédica a la simulación de las deformaciones de las estructuras cerebrales se estudia luego (Capitulo 6). Finalmente, abordamos un tema de modelización proponiendo un modelo acoplado viscoelástico/viscoplástico en grandes deformaciones (Capitulo 7).

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-05-27T12:26:55Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1504601 bytes, checksum: b422ab3ac2dcd0965d6026cde4cb4cac (MD5) / Approved for entry into archive by Leonardo Americo (leonardo@sti.ufpb.br) on 2015-05-27T12:38:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1504601 bytes, checksum: b422ab3ac2dcd0965d6026cde4cb4cac (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T12:38:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1504601 bytes, checksum: b422ab3ac2dcd0965d6026cde4cb4cac (MD5) Previous issue date: 2014-08-22 / We began this work with the presentation of proof of Euler to the problem of Basel then we present two other most current statements when problem Basel and finaly an approach to preliminary content for the understanding the demonstrations here cited. Studied and statements presented in this document were extracted from [11] and [10]. / Iniciamos este trabalho com a apresentação da Prova de Euler ao problema de Basileia em seguida apresentamos outra demonstração mais atual ao Problema de Basileia e por fim uma abordagem aos conteúdos preliminares para o entendimento das demonstrações aqui citadas. As demonstrações estudadas e apresentadas neste documento foram extraídas de [11] e [10].

Submitted by Automa??o e Estat?stica (sst@bczm.ufrn.br) on 2018-01-23T14:44:54Z No. of bitstreams: 1 FranciscoMarcioBarboza_TESE.pdf: 8557102 bytes, checksum: 12d460591e55e242af090bdb4f4cfbb9 (MD5) / Approved for entry into archive by Arlan Eloi Leite Silva (eloihistoriador@yahoo.com.br) on 2018-01-25T13:26:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 FranciscoMarcioBarboza_TESE.pdf: 8557102 bytes, checksum: 12d460591e55e242af090bdb4f4cfbb9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-25T13:26:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 FranciscoMarcioBarboza_TESE.pdf: 8557102 bytes, checksum: 12d460591e55e242af090bdb4f4cfbb9 (MD5) Previous issue date: 2017-11-28 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient?fico e Tecnol?gico (CNPq) / Invers?o em eletrorresistividade ? um problema inverso mal posto, porque diferentes realiza??es de um mesmo modelo podem satisfazer aproximadamente o mesmo crit?rio de ajuste. Se faz necess?rio portanto o uso de v?nculos para obter solu??es ?nicas e/ou est?veis ? pequenas perturba??es nas medidas. Contudo, em geral, a introdu??o de v?nculos tem ficado restrita aos casos de v?nculos diferenci?veis e que podem ser tratados com algoritmos de otimiza??o local. A modelagem direta 1D e 2D em resistividade DC ? computacionalmente barata, permitindo o uso de m?todos de otimiza??o global (GOMs) para resolver problemas inversos 1.5D e 2D com flexibilidade na incorpora??o de v?nculos. As modifica??es da fun??o de custo, seja na mudan?a de v?nculos ou no crit?rio de ajuste de dados, podem ser realizadas com facilidade, j? que cada termo da fun??o de custo ? devidamente normalizado para permitir a invari?ncia aproximada dos multiplicadores Lagrange. Os GOMs t?m potencial para suportar um ambiente computacional adequado para interpreta??o quantitativa em que a compara??o de solu??es que incorporam diferentes restri??es ? uma maneira de inferir caracter?sticas da distribui??o real da resistividade subterr?nea. Neste trabalho foram desenvolvidas: (i) Compara??o das performances dos m?todos Simulated Annealing (SA), Algoritmo Gen?tico (GA) e Particle Swarm Otmization (PSO) para resolver o problema inverso 1.5D na resistividade DC usando dados sint?ticos e de campo; (ii) Apresenta??o de uma abordagem de invers?o baseada no Particle Swarm Optimization (PSO) para os dados 2D de resistividade de corrente cont?nua (DC); (iii) Explora??o de v?rios v?nculos na varia??o de log da resistividade: continuidade espacial tanto nas normas L1 quanto L2, incluindo o caso de restri??o de varia??o apenas na dire??o horizontal, varia??o total e v?nculos de esparsidade usando transformada discreta do cosseno e bases de Daubechies. Al?m disso, exploramos o v?nculo de m?nimo momento de in?rcia, incluindo o caso de usar a superf?cie da Terra como eixo alvo, para impor a concentra??o de materiais resistivos ou condutores ao longo dos eixos alvo. Os principais resultados da compara??o para o case 1.5D s?o: a) todos os m?todos reproduzem bastante a distribui??o de resistividade de modelos sint?ticos, b) PSO e GA s?o muito robustos para mudan?as na fun??o de custo e SA ? comparativamente muito mais sens?vel, c) primeiro PSO e GA segundo apresentam o melhores desempenhos computacionais, exigindo um menor n?mero de modelos de encaminhamento do que SA, e d) GA mostra o melhor desempenho em rela??o ao valor final alcan?ado da fun??o de custo e seu desvio padr?o, enquanto a SA tem o pior desempenho neste aspecto. Igualmente importante para ambos os casos 1.5D e 2D, a partir dos crit?rios de parada do algoritmo PSO resulta n?o apenas a melhor solu??o, mas tamb?m um conjunto de quase-solu??es sub-?timas a partir dos quais as an?lises de incerteza podem ser realizadas. Como resultado, o int?rprete tem liberdade para realizar um processo de interpreta??o quantitativa com base em uma abordagem de invers?o de julgamento e erro, de forma semelhante, ele tem ao usar um software de modelagem avan?ado amig?vel, sendo capaz de conduzir a solu??o para incorporar suas concep??es sobre o ambiente geol?gico, al?m de avaliar o ajuste de dados e a estabilidade das solu??es obtidas. Apresentamos exemplos de dados sint?ticos e de campo para ambos os casos de invers?o. / Inversion in DC-resistivity is an ill-posed inverse problem because different realizations of the same model might satisfy approximately the same data fitting criterium. It is therefore necessary to use constraints to obtain unique and / or stable solutions to small perturbations in the measurements. However, in general, the introduction of constraints has been restricted to cases of differentiable constraints, which can be treated with local optimization algorithms. 1D and 2D modeling in DC-resistivity is computationally inexpensive, allowing the use of global optimization methods (GOMs) to solve 1.5D and 2D inverse problems with flexibility in constraint incorporation. Changes in the cost function, either in the constraints or data fitting criteria, can be easily performed, since each term of the cost function is properly normalized to allow the approximate invariance of the Lagrange multipliers. GOMs have the potential to support a computational environment suitable for quantitative interpretation in which the comparison of solutions incorporating different constraints is one way of inferring characteristics of the actual distribution of the underground resistivity. In this work, we developed: (i) comparison of the performances of the Simulated Annealing (SA), Genetic Algorithm (GA) and Particle Swarm Optimization (PSO) methods to solve the 1.5D inverse problem in DC resistivity using synthetic and field data; (ii) an inversion approach based on particle swarm optimization (PSO) to solve the 2D DC-resistivity inverse problem; (iii) exploration of several constraints in the variation of log-resistivity, including spatial continuity in both L1 andL2 norms, total variation and sparsity constraints using discrete cosine and Daubechies bases. In addition, we explore the minimum inertia constraint, including the case of using the Earth?s surface as the target axis, to impose the concentration of resistive or conductive materials along target axes. The main results of the comparison for the 1.5D case are: a) all methods reproduce quite well the resistivity distribution of synthetic models, b) PSO and GA are very robust to changes in the cost function and SA is comparatively much more sensitive, c) PSO first and GA second present the best computational performances, requiring smaller number of forwarding modeling than SA, and d) GA shows the best performance with respect to the final attained value of the cost function and its standard deviation, whilst SA has the worst performance in this aspect. Equally important for both 1.5 and 2D cases, from the stopping criteria of the PSO algorithm results not only the best solution but also a cluster of suboptimal quasi-solutions from which uncertainty analyses can be performed. As a result, the interpreter has freedom to perform a quantitative interpretation process based on a feedback trial-and-error inversion approach, in a similar manner he/she has when using a friendly forward modeling software, being capable of driving the solution to incorporate his/her conceptions about the geologic environment, besides appraising data fitting and stability of the obtained solutions. We present both synthetic and field data examples for all inversion cases.

Técnicas de reconstrução térmica inversa são muito usadas em diferentes aplicações tais como a determinação de propriedades térmicas de novos materiais, controle da produção de calor, temperatura em processos de manufatura, etc. Apesar da ampla aplicabilidade, o problema inverso é intrinsecamente mal condicionado e tem sido tema de trabalhos de vários pesquisadores. A solução de um problema térmico inverso tridimensional é significantemente complexa, e, assim requer uma formulação que não contenha condições experimentais não realistas tais como confinamento bidimensional e estabilidade do campo térmico com relação a mudanças em parâmetros internos. Uma das abordagens adotada é baseada na formulação variacional sobre a forma do erro quadrático para reconstrução da distribuição de condução de calor interna e coeficiente de condução de calor parietal para um problema tridimensional. Dentro desta estrutura, a natureza mal condicionada do problema se manifesta na superfície de otimização por produzir topologias problemáticas tais como, vários mínimos locais, pontos de sela, vales e platôs ao redor da solução etc. Para viabilizar a abordagem escolhida, um modelo numérico foi escrito baseado na discretização por diferenças finitas da equação diferencial governante e condições de contorno. O erro funcional foi definido pela comparação entre medidas experimentais e numéricas de temperatura. O objetivo foi realizar simulações numéricas a fim de mapear a superfície de otimização correspondente e identificar a estrutura problemática associada ou patologia, chegando assim à reconstrução do coeficiente de convecção h. / Inverse thermal reconstruction techniques are widely used in different applications such as the determination of thermal properties of new materials, control of heat generation, temperature in manufacturing processes, etc. Despite the broad range of applicability, an inverse problem is intrinsically ill conditioned and has been the subject of the work of several researchers. The solution of an inverse 3-dimesional thermal problem is significantly complex, and, thus, requires a formulation that do not contain unrealistic experimental conditions such as 2-dimensional confinement and steadiness of the thermal field with respect to changes in internal parameters. One of the most adopted is the variational formulation based on quadratic error forms for the reconstruction of the internal heat conduction distribution and convection coefficient for a 3-dimensional problem. Within this framework, the ill conditioned nature of the problem manifests itself on the optimization surface by producing problematic topologies such as contour and multiple local minima, saddle points, plateaux around the solution pit and so on. To be able to apply th method a numerical model was written based on a finite difference discretization of the governing differential equation and boundary conditions. An error functional was defined by comparing experimental and numerical measurement temperatures. Numerical simulations aiming at mapping the corresponding optimization surfaces andatidentifing the associated problematic structures or pathologies, resulting in the reconstruction of convection coefficient.

No autorizado por el autor para ser publicada a texto completo / La localización de fuentes en ecuaciones de difusión-transporte es tanto un tema de estudio teórico como práctico ya que estas ecuaciones pueden modelar concentración de contaminantes peligrosos para la salud y la localización de las fuentes es importante para saber en qué parte de una cuidad se producen una cantidad no recomendada. El primer resultado logrado es la localización de fuentes de monóxido de carbono en Santiago y el cálculo de la sensibilidad de las concentraciones con respecto a las emisiones por medio de un método adjunto. Esta senibilidad es comparada con la obtenida en [Sai08], que fue calculada por un método directo, y se obtubo una buena correlación entre ellas, dando así una correctitud para ambos métodos (directo y adjunto).

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / tema central de esta tesis, para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería con mención en Modelamiento Matemático, es el estudio de los llamados problemas inversos, el modelamiento matemático de fen ́omenos de interacción fluido estructura y la implementacio ́n num ́erica de un algoritmo de segmentación. Este trabajo se divide en tres partes. En primer lugar (Capítulo 2), estudiamos un problema inverso en biologia. Nos interesamos en la posibilidad de recuperar la densidad de un canal iónico (canal CNG) en el cilio olfatorio, sólo midiendo la corriente producida al activar el sistema mediante la difusión de un agente en el interior del cilio. Este problema es modelado como un problema inverso en que interviene una ecuación de Fredholm lineal, de primer tipo, con un núcleo difusivo. Consideramos una aproximación para el núcleo del operador, obteniendo los siguientes resultados: a) Problema de identificabilidad: Bajo diferentes regularidades de la función de densidad, logramos establecer la inyectividad del operador bajo estudio. b) Problema de estabilidad: Tanto en el caso general, usando la transformada de Mellin, como en un caso particular de los parámetros del problema, logramos establecer la estabilidad, bajo diferentes normas, es decir, la continuidad del inverso del operador. d) Problema de reconstrucción: En el caso de una elección apropiada de los par ́ametros del problema, logramos construir la función inversa. e) Reconstrucción numérica: Utilizando la inversa, construida en la parte anterior, implementamos un algoritmo numerico de reconstrucción de la densidad. Por otra parte, en el Capítulo 3 investigamos la controlabilidad de un submarino inmerso en un volumen infinito de un fluido potencial. Consideramos como control, el flujo del fluido a través de una parte de la frontera del móvil. Se llega a un sistema finito dimensional, similar al sistema de Kirchhoff, en el cual los controles aparecen a través de un término lineal (con derivada temporal) y uno bilineal. Aplicando el método del retorno, establecimos bajo ciertas condiciones geom ́etricas un resultado de controlabilidad local para la posición y velocidad del veh ́ıculo sólo con cuatro controles. Finalmente, en el Capítulo 4 implementamos un algoritmo numérico que permite resolver el problema de segmentación de una imagen, desde un punto de vista relajado, pues permite segmentar la imagen en un nu ́mero de la forma 2^N colores. Implementamos una variante del esquema del funcional de Ambrosio & Tortorelli, el cual aproxima en el sentido de la Γ-convergencia al funcional propuesto por Mumford & Shah, en esencia nuestra variante es inspirada por los trabajos de T. Chan.

[pt] Esta dissertação apresenta uma metodologia para medição visual de campos de deformações (2D) em materiais, por meio da aplicação da técnica SIFT (Scale Invariant Feature Transform). A análise de imagens capturadas é feita por uma câmera digital em estágios diferentes durante o processo de deformação de um material quando este é submetido a esforços mecânicos. SIFT é uma das técnicas modernas de visão computacional e um eficiente filtro para extração e descrição de pontos de características relevantes em imagens, invariantes a transformações em escala, iluminação e rotação. A metodologia é baseada no cálculo do gradiente de funções que representam o campo de deformações em um material durante um ensaio mecânico sob diferentes condições de contorno. As funções são calibradas com a aplicação da análise inversa sobre o conjunto de pontos homólogos de duas imagens extraídos pelo algoritmo SIFT. A formulação da solução ao problema inverso combina os dados experimentais fornecidos pelo SIFT e o método linear de mínimos quadrados para estimação dos parâmetros de deformação. Os modelos propostos para diferentes corpos de prova são avaliados experimentalmente com a ajuda de extensômetros para medição direta das deformações. O campo de deformações identificado pelo sistema de visão computacional é comparado com os valores obtidos pelos extensômetros e por simulações feitas no programa de Elementos Finitos ANSYS. Os resultados obtidos mostram que o campo de deformações pode ser medido utilizando a técnica SIFT, gerando uma nova ferramenta visual de medição para ensaios mecânicos que não se baseia nas técnicas tradicionais de correlação de imagens. / [en] This thesis presents a methodology for measurement of strain fields in materials by applying the SIFT technique (Scale Invariant Feature Transform). The images analyzed are captured by a digital camera at different stages during the deformation process of a material when it is subjected to mechanical stress. SIFT is one of the modern computer vision techniques and an efficient filter for extraction and description of relevant feature points in images. These interest points are largely invariant to changes in scale, illumination and rotation. The methodology is based on the calculation of the gradient of the functions that represents the corresponding strain field in the material during a mechanical test under different boundary conditions. The functions are calibrated with the application of inverse analysis on the set of homologous points of two images extracted by the SIFT algorithm. The formulation of the solution to the inverse problem combines the experimental data processed by the SIFT and linear least squares method for the estimation of strain parameters. The proposed models for different specimens are evaluated experimentally with strain gauges for direct measurement of the deformations. The strain field identified by the computer vision system is compared with values obtained by strain gauges and simulations with the ANSYS finite element program. The proposed models for different types of measurements are experimentally evaluated with strain gages, including the estimation of mechanical properties. The results show that the strain field can be measured using the SIFT technique, developing a new visual tool for measurement of mechanical tests that are not based on traditional techniques of image correlation.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias, Mención Geofísica / El 1º de abril del 2014, a las 23:46:45 UTC ocurrió un gran terremoto Mw 8.2 cerca de la locali- dad de Pisagua, en el segmento de la zona de contacto inter-placa donde el mega terremoto de 1877 (Mw 8.8-9.0) definió una brecha sísmica, en la cual no ocurrió un proceso de ruptura significativo en 137 años. En las últimas dos décadas, redes de GPS instaladas en el norte de Chile y el sur de Perú, han proporcionado observaciones que son utilizadas para analizar la evolución espacial y temporal de la deformación de la corteza, particularmente antes, durante y después del terremoto de Pisagua 2014 (Mw 8.2). Dichas observaciones proveen una gran oportunidad de comprender los procesos de deformación inter-, co- y post-sísmica en una misma zona sismogénica, permitiendo mejorar el entendimiento del comportamiento mecánico del contacto sismogénico de subducción. En este trabajo se procesan los datos registrados por receptores GPS en la zona de estudio, obteniendo series de tiempo posicionales diarias y sub-diarias. A partir de estas series de tiempo, se estiman señales de desplazamiento co-sísmico del terremoto de Pisagua 2014 y de la réplica principal, desplazamientos post-sísmicos inducidos por dichos terremotos, y las tasas seculares para el período anterior al terremoto de Pisagua. Estas señales se obtienen utilizando un procedimiento de inversión robusto basado en la norma L1, para ajustar modelos de trayectorias de las series de tiempo posicionales. Una particularidad a destacar de este estudio es que, a diferencia de otros trabajos publicados, la estimación de desplazamientos post-sísmicos considera la superposición de funciones base que representan de mejor forma el comportamiento transiente de la deformación post-sísmica, y que son independientes de la física que normalmente se asume para estos procesos. Utilizando las señales de deformación obtenidas en este trabajo, se estiman modelos de disloca- ción co-sísmica del terremoto de Pisagua 2014 (Mw 8.2), de su principal réplica, y la dislocación post-sísmica asociada a este evento. Estos modelos se calculan mediante inversiones con regularización, en donde el operador de regularización está basado en la sensibilidad de las dislocaciones en el contacto interplaca a las observaciones obtenidas en superficie. Este método permite la obtención de modelos de dislocación robustos, estables y con un mayor nivel de detalle. Se analizan los resultados dentro del contexto sismo-tectónico de la región, comparando los modelos obtenidos con otros modelos de dislocación y acoplamiento para la zona. Se concluye que la interfaz interplaca de la zona tiene propiedades mecánicas bastante heterogéneas, lo que significa que es capaz de acumular grandes esfuerzos. Además, existen barreras sísmicas a los 19ºS y 21ºS, que son capaces de detener el frente de ruptura de sismos comparables al terremoto de Pisagua 2014. Finalmente, se concluye que la zona al sur de los 21ºS, hasta los 23ºS, muestra ser una región con un alto peligro sísmico asociado. / Fondecyt 11140904, CONICYT