Dans cette thèse nous nous intéressons aux flots de Monge-Ampère complexes, à leurs généralisations et à leurs applications géométriques sur les variétés hermitiennes compactes. Dans les deux premiers chapitres, nous prouvons qu'un flot de Monge-Ampère complexe sur une variété hermitienne compacte peut être exécuté à partir d'une condition initiale arbitraire avec un nombre Lelong nul en tous points. En utilisant cette propriété, nous con- firmons une conjecture de Tosatti-Weinkove: le flot de Chern-Ricci effectue une contraction chirurgicale canonique. Enfin, nous étudions une généralisation du flot de Chern-Ricci sur des variétés hermitiennes compactes, le flot de Chern-Ricci tordu. Cette partie a donné lieu à deux publications indépendantes. Dans le troisième chapitre, une notion de C -sous-solution parabolique est introduite pour les équations paraboliques, étendant la théorie des C -sous-solutions développée récem- ment par B. Guan et plus spécifiquement G. Székelyhidi pour les équations elliptiques. La théorie parabolique qui en résulte fournit une approche unifiée et pratique pour l'étude de nombreux flots géométriques. Il s'agit ici d'une collaboration avec Duong H. Phong (Université Columbia ) Dans le quatrième chapitre, une approche de viscosité est introduite pour le problème de Dirichlet associé aux équations complexes de type hessienne sur les domaines de Cn. Les arguments sont modélisés sur la théorie des solutions de viscosité pour les équations réelles de type hessienne développées par Trudinger. En conséquence, nous résolvons le problème de Dirichlet pour les équations de quotient de hessiennes et lagrangiennes spéciales. Nous établissons également des résultats de régularité de base pour les solutions. Il s'agit ici d'une collaboration avec Sl-awomir Dinew (Université Jagellonne) et Hoang-Son Do (Institut de Mathématiques de Hanoi). / In this thesis we study the complex Monge-Ampère flows, and their generalizations and geometric applications on compact Hermitian manifods. In the first two chapters, we prove that a general complex Monge-Ampère flow on a compact Hermitian manifold can be run from an arbitrary initial condition with zero Lelong number at all points. Using this property, we confirm a conjecture of Tosatti- Weinkove: the Chern-Ricci flow performs a canonical surgical contraction. Finally, we study a generalization of the Chern-Ricci flow on compact Hermitian manifolds, namely the twisted Chern-Ricci flow. This part gave rise to two independent publications. In the third chapter, a notion of parabolic C -subsolution is introduced for parabolic non-linear equations, extending the theory of C -subsolutions recently developed by B. Guan and more specifically G. Székelyhidi for elliptic equations. The resulting parabolic theory provides a convenient unified approach for the study of many geometric flows. This part is a joint work with Duong H. Phong (Columbia University) In the fourth chapter, a viscosity approach is introduced for the Dirichlet problem associated to complex Hessian type equations on domains in Cn. The arguments are modelled on the theory of viscosity solutions for real Hessian type equations developed by Trudinger. As consequence we solve the Dirichlet problem for the Hessian quotient and special Lagrangian equations. We also establish basic regularity results for the solutions. This part is a joint work with Sl-awomir Dinew (Jagiellonian University) and Hoang-Son Do (Hanoi Institute of Mathematics).

<div>The two main results in this thesis have a common point: Hermitian--Yang--Mills (HYM) metrics. In the first result, we address a Dirichlet problem for the HYM equations in bundles of infinite rank over Riemann surfaces. The solvability has been known since the work of Donaldson \cite{Donaldson92} and Coifman--Semmes \cite{CoifmanSemmes93}, but only for bundles of finite rank. So the novelty of our first result is to show how to deal with infinite rank bundles. The key is an a priori estimate obtained from special feature of the HYM equation.</div><div> </div><div> In the second result, we take on the topic of the so-called ``geometric quantization." This is a vast subject. In one of its instances the aim is to approximate the space of K\"ahler potentials by a sequence of finite dimensional spaces. The approximation of a point or a geodesic in the space of K\"ahler potentials is well-known, and it has many applications in K\"ahler geometry. Our second result concerns the approximation of a Wess--Zumino--Witten type equation in the space of K\"ahler potentials via HYM equations, and it is an extension of the point/geodesic approximation. </div><div> </div>

Le but de cette thèse est de construire de nouvelles variétés algébriques complexes de Fano et à canonique triviale dans les espaces homogènes et d'analyser leur géométrie. On commence en construisant les variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes dans les grassmanniennes généralisées. On donne une complète classification en dimension 4. On prouve que les uniques variétés de dimension 4 hyper-Kahleriennes ainsi construites sont les exemples de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Le même résultat vaut dans les grassmanniennes ordinaires en toute dimension quand le fibré est irréductible. Ensuite on utilise les lieux de dégénérescence orbitaux (ODL), qui généralisent les lieux de dégénérescence classiques, pour construire d'autres variétés. On rappelle les propriétés basiques des ODL, qu'on définit à partir d'une adhérence d'orbite. On construit trois schémas de Hilbert de deux points sur une K3 comme ODL, et beaucoup d'autres exemples de variétés de Calabi-Yau et de Fano. Puis on étudie les adhérences d'orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4; ceci nous permet de construire davantage de variétés spéciales comme ODL. Pour finir, on analyse les grassmanniennes bisymplectiques, qui sont des Fano particulières. Elles admettent l'action d'un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie leurs petites déformations. Ensuite, on étudie la cohomologie (équivariante) des grassmanniennes symplectiques, qui est utile pour mieux comprendre la cohomologie des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail un cas explicite en dimension 6. / The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. In the first part we construct special varieties as zero loci of homogeneous bundles inside generalized Grassmannians. We give a complete classification for varieties of small dimension when the bundle is completely reducible. Thus, we prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kahler are the examples of Beauville-Donagi and Debarre-Voisin. The same holds in ordinary Grassmannians when the bundle is irreducible in any dimension. In the second part we use orbital degeneracy loci (ODL), which are a generalization of classical degeneracy loci, to construct new varieties. ODL are constructed from a model, which is usually an orbit closure inside a representation. We recall the fundamental properties of ODL. As an illustration of the construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as ODL, and many examples of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n, D_4; this allows us to construct some special varieties as ODL.Finally we focus on a particular class of Fano varieties, namely bisymplectic Grassmannians. These varieties admit the action of a torus with a finite number of fixed points. We find the dimension of their moduli space. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better that of bisymplectic ones. We analyze in detail the case of dimension 6.

Cette thèse comporte deux parties: - Dans la première partie, nous traitons d'abord une version kahlérienne du célèbre théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi, puis, un problème de prolongement des courants positifs fermés. Notre motivation provient de la conjecture de Siu sur l'invariance des plurigenres dans le cas d'une famille kahlérienne. En effet, dans la preuve du célèbre théorème d'invariance des plurigenres de Siu, le théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi joue un rôle important. Il est donc naturel de penser que la preuve de la conjecture fera également intervenir un théorème d'extension de type Ohsawa-Takegoshi dans le cas kahlérien. Suite aux difficultés techniques qui proviennent de la régularisation des fonctions quasi-psh sur les variétés kahlériennes compactes, nous obtenons seulement deux cas particuliers du résultat espéré. Pour ce qui est du prolongement des courants positifs fermés, notre résultat est un cas particulier de la conjecture qui prédit que tout courant positif fermé défini sur le fibré central d'une classe de cohomologie kahlérienne tordue par la classe de Chern du fibré canonique admet un prolongement. - Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'unicité des solutions des équations de type Monge-Ampère généralisées. Il s'agit d'une généralisation d'un théorème de Bando-Mabuchi concernant les métriques de Kahler-Einstein sur les variétés de Fano. Nous suivons la méthode introduite par Berndtsson et généralisons son résultat en travaillant avec un courant positif fermé à la place d'une paire klt dans son contexte. Les propriétés de convexité des métriques de Bergman jouent un rôle important dans cette partie / This thesis consists in two parts: -In the first part, we first deal with a Kahler version of the famous Ohsawa-Takegoshi extension theorem; then, a problem of extending the closed positive currents. Our motivation comes from the Siu's conjecture on the invariance of plurigenera over a Kahler family. Indeed, in the proof of his famous theorem, the Ohsawa-Takegoshi theorem plays an important role. It is, therefore, natural to think that the proof for the conjecture involves an extension theorem of Ohsawa-Takegoshi type in the Kahler case. Because of the technical difficulties coming from the regularization process of quasi-psh functions over the compact Kahler manifolds, we only obtain two special cases of the hoped result. As for the extension of closed positive currents, our result is a special case of the conjecture which predicts that every closed positive current defined over the central fiber in a Kahler cohomology class twisted by the first Chern class of the canonical bundle admits an extension. -In the second part, we are interested in the uniqueness of the solutions of the equations of generalized Monge-Ampère type, a generalized Bando-Mabuchi theorem concerning the Kahler-Einstein metrics over Fano manifolds. We follow the method introduced by Berndtsson and generalize his result by working with a closed positive current in place of a klt pair in his context. The properties of the convexity of the Bergman metrics play an important role in this part

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