Orientador: Djairo Guedes de Figueiredo / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-18T23:11:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Monteiro_Evandro_D.pdf: 681089 bytes, checksum: 5ec4729a2d7b386329193adf424f6b42 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: The complete abstract is available with the full electronic digital thesis or dissertations / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires.<p><p>La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux.<p><p>La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

We consider a variational formulation of a Bernoulli-type free boundary problem for the Laplacian operator with discontinuous boundary data. We show the existence of a weak solution to the problem. Moreover, we show that the solution has symmetry properties inherited by symmetric data. These results are achieved through the use of comparison arguments, the celebrated method of moving planes, and several elaborated techniques from existing literature. / Vi studerar ett Bernoulli frirandsproblem för Laplaceoperatorn med diskontinuerliga randdata. Detta görs via en variationsformulering av problemet. Vi visar att en svag lösning existerar för problemet. Utöver det visar vi bland annat att den svaga lösningen har symmetriegenskaper. Dessa resultat uppnås genom jämförelseargument, den välkända "moving-plane” metoden, samt flera utarbetade tekniker från befintlig litteratur.