Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática en cotutela con la Universidad de Limoges / In this PhD thesis, we make some contributions to nonsmooth Lyapunov stability of first-order differential inclusions with maximal monotone operators, in the setting of infinite-dimensional Hilbert spaces. We provide primal and dual explicit characterizations for parameterized weak and strong Lyapunov pairs of lower semicontinuous extended-real-valued functions, referred to as $a-$Lyapunov pairs, associated to differential inclusions with right-hand-sides governed by Lipschitz or Cusco perturbations $F$ of maximal monotone operators $A$, ẋ(t) ∈ F (x(t)) − A(x(t)), t ≥ 0, x(0) ∈ dom A. Equivalently, we study the weak and strong invariance of sets with respect to such differential inclusions. As in the classical Lyapunov approach to the stability of differential equations, the presented results make use of only the data of the differential system; that is, the operator $A$ and the multifunction $F$, and so no need to know about the solutions, nor the semi-groups generated by the monotone operators. Because our Lyapunov pairs and invariant sets candidates are just lower semicontinuous and closed, respectively, we make use of nonsmooth analysis to provide first-order-like criteria using general subdifferentials and normal cones. We provide similar analysis to non-convex differential inclusions governed by proximal normal cones to prox-regular sets. Our analysis above allowed to prove that such apparently more general systems can be easily coined into our convex setting. We also use our results to study the geometry of maximal monotone operators, and specifically, the characterization of the boundary of the values of such operators by means only of the values at nearby points, which are distinct of the reference point. This result has its application in the stability of semi-infinite programming problems. We also use our results on Lyapunov pairs and invariant sets to provide a systematic study of Luenberger-like observers design for differential inclusions with normal cones to prox-regular sets. The thesis is organized as follows: In chapter 1, we explain the main objectives of the thesis, the methodology that we follow, and we give a preview of the main results. We also make in this chapter a general overview of Lyapunov's theory, and present the main previous achievements on the subject. In Chapter 2, we present the main tools and preliminary results that we need in our analysis. In Chapter 3, we give the desired characterizations of Lyapunov pairs and invariant sets for differential inclusions with Lipschitz perturbations of maximal monotone operators, while in Chapter 4, we investigate differential inclusions with Lipschitz perturbations of proximal normal cones. This chapter includes the application to Luenberger-like observers design. In Chapter 5, we study differential inclusions with Lipschitz Cusco perturbations of maximal monotone operators. In Chapter 6, we give a result on the geometry of maximal monotone operators, and describe the boundary of their values. Finally, we give in Chapter 7 a resume of the results we obtained. / En esta tesis doctoral se realiza una contribución a la estabilidad de Lyapunov no suave de inclusiones diferenciales de primer orden con operadores maximales monótonos, en el con- texto de espacios de Hilbert de dimensión infinita. Se entregan caracterizaciones primales y duales explícitas para los pares de Lyapunov parametrizados débiles y fuertes de funciones inferiormente semicontinuas con valores extendedidos, referidas como pares a-Lyapunov, aso- ciados a inclusiones diferenciales con un lado derecho gobernado por perturbaciones F de tipo Lipschitz o Cusco de operadores maximales monótonos A, ẋ(t) ∈ F (x(t)) − A(x(t)), t ≥ 0, x(0) ∈ dom A. De manera equivalente, se estudian la invarianza débil y fuerte de conjuntos con respecto a tales inclusiones diferenciales. Tal como en el enfoque clásico de Lyapunov para estudiar la la estabilidad de ecuaciones diferenciales, los resultados presentados usan solamente la información del sistema; es decir, el operador A y la multiaplicación F , y, por lo tanto, no es necesario conocer las soluciones ni el semigrupo generado por el operador monótono. Dado que los pares de Lyapunov y conjuntos invariantes considerados aquí son, respectivamente, inferiormente semicontinuos y cerrados, se utiliza el análisis no-suave para proveer criterios de primer order utilizando subdiferenciales y conos lo suficientemente generales. Se realiza un análisis similar al caso de las inclusiones diferenciales no convexas gobernadas por conos normales proximales a conjuntos prox-regulares. Nuestro análisis permite demostrar que tales sistemas, aparentemente más generales, pueden ser fácilmente acuñados en nuestro con- texto. Además, nuestros resultados son utilizados para estudiar la geometría de operadores maximales monótonos, y específicamente, la caracterización de la frontera de los valores de tales operadores mediante sólo los puntos cercanos, diferentes del punto de referencia. Este resultado tiene aplicaciones en la estabilidad de problemas de programación semi-infinita. Además, nuestros resultados se utilizan en los pares de Lyapunov de conjuntos invariantes para realizar un estudio sistemático del diseño de observadores de tipo Luenberger para in- clusiones diferenciales con conos normales a conjuntos prox-regulares. La tesis está organizada de la siguiente manera: en el Capítulo 1, se explican los principales objetivos de la tesis, la metodología seguida, y se entrega una vista previa de los principales resultados. Además, en este capítulo, se da una visión general de la teoría de Lyapunov, y se presentan los resultados previos en el tema. En el Capítulo 2, se presentan las principales herramientas y los resultados preliminares necesarios en nuestro análisis. En el Capítulo 3, se entregan las caracterizaciones deseadas de los pares de Lyapunov y conjuntos invariantes para inclusiones diferenciales con perturbaciones Lipschitz de operadores maximales monótonos, mientras que en el Capítulo 4, se investigan las inclusiones diferenciales con perturbaciones Lipschitz de conos normales proximales. Este capítulo incluye una aplicación al disenño de observadores de tipo Luenberger. En el Capítulo 5, se estudian inclusiones diferenciales con perturbaciones Lipschitz Cusco de operadores maximales monótonos. En el Capítulo 6, se entrega un resultado sobre la geometría de los operadores maximales monótonos, y se describe la frontera de sus valores. Finalmente, en el Capítulo 7 se da un resumen de los resultados obtenidos.

Orientador: Marta Cilene Gadotti / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Miguel Vinícius Santini Frasson / Resumo: Apresentamos um breve relato sobre a vida do Professor Nelson Onuchic e sua trajetória acadêmica. Além disso, apresentamos um estudo sobre existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial de equações diferenciais com retardamento e estabelecemos resultados sobre estabilidade de pontos de equilíbrio, baseados no trabalho Equações Diferenciais com Retardamento de Nelson Onuchic / Abstract: In this work we presented a brief account of the life of Professor Nelson Onuchic and his academic career. Furthermore, we presented a study about existence and uniqueness of solution for di erential equations with delay problems and stablished results on stability of the equilibrium points based on the work Equações Diferenciais com Retardamento , written by Nelson Onuchic / Mestre

Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Discrete dynamical systems can exhibit rich and interesting dynamics at lower dimensions (and co-dimensions) than that of ODE models. Classically, the minimal dimension to observe chaotic behavior in an ODE model is three; whereas it can be achieved in a one-dimensional discrete map. It is often the choice of mathematical biologists to use discrete systems as it fills many roles such as sparse data, incorporation of life cycle stages and noisy measurements. This work is analyzes a discrete time model of an infected salmon population. It provides an in-depth analysis of non-smooth bifurcations for alternate functional forms for density dependence in the growth function of a given model. These demonstrate interesting structures and chaotic behaviors with biologically feasible interpretations such as intrinsic growth rate and probability of death. The choice of density dependence function, as well as parameterization, leads to whether chaos occurs or not. / Master of Science / Often times biological processes do not happen in a continuous streamlined chain of events. We observe discrete life stages, ages, and morphological differences. Similarly, data is generally collected in discrete (and often fixed) time intervals. This work focuses on the role that population density has on the behavior of these systems. We dive into a case study for a viral infection in a salmon population. We show chaotic behavior can be observed as low as a single dimension model and discuss the biological implications. Additionally, we show that the choice of density dependence in a given infectious disease model directly impacts disease dynamics and can allow or prohibit chaotic behavior.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. / Made available in DSpace on 2012-10-18T01:20:00Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2014-09-25T18:07:01Z : No. of bitstreams: 1 171238.pdf: 2009937 bytes, checksum: e688152b862331f9ade84a10ec262515 (MD5) / : Nesta dissertação estudamos e aplicamos algumas técnicas de estabilização de soluções para equações diferenciais parciais de evolução. São desenvolvidos essencialmente três métodos para o estudo do comportamento assintótico das soluções, conhecidos como Método de Multiplicadores, Método de Nakao e Método de Liapunov. São apresentados e resolvidos, no sentido da estabilização, exemplos de aplicações usando esses métodos.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:32Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2012-11-23Bitstream added on 2014-06-13T19:19:27Z : No. of bitstreams: 1 silva_erp_dr_ilha.pdf: 2155421 bytes, checksum: 4781ef3e29238bac1eacd6e10b9b4b71 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Este trabalho trata do problema de estabilização robusta de sistemas lineares contínuos no tempo sujeitos a incertezas do tipo politópicas no modelo. Todo o trabalho é fundamen- tado em leis de controle por realimentação da derivada do vetor de estado (realimentação derivativa). A motivação em utilizar a realimentação derivativa (u(t) = −Kd x(t)) em ̇ vez da realimentação do vetor de estado convencional é devido à facilidade de imple- mentação em algumas aplicações mecânicas, por exemplo, no controle de vibrações de sistemas mecânicos, nos quais sensores como acelerômetros têm sido utilizados para me- dir a derivada de segunda ordem (aceleração) de uma variável de estado (posição) desses sistemas. A metodologia apresenta condições suficientes na forma de desigualdades ma- triciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para Linear Matrix Inequalities) para a síntese de controladores lineares robustos estáticos (Kd ), visando a princípio apenas a estabilização do sistema, na sequência a estabilização com restrição de taxa de decaimento (γ > 0) e por fim projetos que asseguram a D-estabilidade (alocação regional) robusta, restringindo os autovalores a uma determinada região do plano complexo. Os índices de desempenho de taxa de decaimento e D-estabilidade são adicionados no projeto dos controladores visto que, garantir apenas a estabilidade do sistema nem sempre é suficiente para um bom desempenho prático. As formulações LMIs são realizadas através de lemas largamente utilizados (Lema da Projeção Recíproca e Lema de Finsler) em análise de estabilidade e projetos de controladores para os mais diversos problemas. Estes lemas permitem o uso de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros (PDLF, acrônimo inglês para Parameter-Dependent Lyapunov Function) para assegurar a estabilidade... / This work deals with the problem of robust stabilization of continuous-time linear sys- tems subjected to polytopic uncertainties in the plant. All our work is based on control techniques using only the state-derivative feedback. The motivation for the use of state- derivative feedback (u(t) = −Kd x(t)) instead of conventional state feedback is due to ease ̇ of implementation in some mechanical applications, for instance, in the vibration control of mechanical systems, in which sensors like accelerometers have been used to measure the second order derivative (acceleration) of one state variable (position) of these systems. The methodology presents sufficient conditions in the form of linear matrix inequalities (LMIs) for the synthesis of static linear robust controllers (Kd ), aiming at first only the system’s stability, followed by the system’s stability with decay rate (γ > 0) and finally designs that ensure the system’s robust D-stability (regional allocation), restricting the eigenvalues at a given region of the complex plane. The performance indexes of decay rate and D-stability are added in the controllers design since ensuring system’s stability only is not always sufficient for a good practical performance. The LMIs formulations are made through widely used lemmas (Reciprocal Projection Lemma and Finsler’s Lemma) in the stability analysis and in the controllers design for many problems. These lemmas allow the use of a parameter-dependent Lyapunov function (PDLF) to ensure the asymptotic stability of the systems in the sense of Lyapunov. Comparing with the existing litera- ture, in which the results consider classical LMIs formulations, based on the existence of a common quadratic Lyapunov function (CQLF) for the solution of the problems, the present work shows to be less conservative in most occasions. In many cases... (Complete abstract click electronic access below)

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:09Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2012-08-17Bitstream added on 2014-06-13T20:47:47Z : No. of bitstreams: 1 estevam_lal_me_rcla.pdf: 531907 bytes, checksum: d9b81d3cb895aa8eae4fd5d595eb04aa (MD5) / Apresentamos um breve relato sobre a vida do Professor Nelson Onuchic e sua trajetória acadêmica. Além disso, apresentamos um estudo sobre existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial de equações diferenciais com retardamento e estabelecemos resultados sobre estabilidade de pontos de equilíbrio, baseados no trabalho Equações Diferenciais com Retardamento de Nelson Onuchic / In this work we presented a brief account of the life of Professor Nelson Onuchic and his academic career. Furthermore, we presented a study about existence and uniqueness of solution for di erential equations with delay problems and stablished results on stability of the equilibrium points based on the work Equações Diferenciais com Retardamento , written by Nelson Onuchic

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. / Made available in DSpace on 2012-10-17T14:52:37Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2014-09-25T17:52:00Z : No. of bitstreams: 1 177227.pdf: 3428998 bytes, checksum: 44b3dc9abf305ea613002dcc5fc408cc (MD5) / Este trabalho trata dos problemas de performance H2 e H- para sistemas lineares a parâmetros variantes no tempo. Os critérios de performance H2 e H- são obtidos empregando uma função de Lyapunov com dependência quadrática nos parâmetros do sistema. Os critérios de performance usados admitem que os parâmetros do sistema e suas respectivas taxas de variação sejam confinados numa região convexa. Sob estas considerações, obtém-se desigualdades matriciais que apresentam condições suficientes destinadas aos casos de análise e síntese onde os critérios de performance H2 e H- são otimizados.