Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. / Made available in DSpace on 2012-10-21T06:15:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 192741.pdf: 786581 bytes, checksum: 2cc3ec89a0db5a4963915ee3e58c4888 (MD5) / O presente trabalho apresenta uma técnica para análise de estabilidade e desempenho, e síntese de controladores para uma classe de sistemas não lineares incertos na qual os elementos das matrizes do sistema são funções racionais dos estados e parâmetros incertos do sistema. A metodologia proposta consiste na determinação numérica em termos de inequações matriciais lineares (ou LMIs) de funções de Lyapunov polinomiais dependente dos estados e parâmetros incertos. Como as condições de estabilidade são não globais, uma estimativa do domínio de atração do sistema não linear é também determinada considerando a maior curva de nível da função de Lyapunov pertencente a uma região politópica dada contendo a origem. Os resultados de análise são estendidos para sistemas não lineares sujeitos a saturação descritos por equações algébrico-diferenciais com algumas não linearidades não racionais. O desempenho do sistema não linear pode ser obtido dentro dos conceitos de taxa de convergência, custo garantido e ganho L2 do operador entrada de perturbação / saída de interesse. Na síntese de controladores utiliza-se funções de Lyapunov quadráticas (isto é, funções quadráticas no estado e independentes dos parâmetros incertos) obtendo desta forma condições convexas de estabilização para uma lei de controle linear ou não linear. Para diminuir o possível conservadorismo da utilização de funções quadráticas é proposto uma etapa adicional empregando funções de Lyapunov mais complexas. Vários exemplos numéricos são apresentados para ilustrar o procedimento e demonstrar a vantagem desta metodologia com relação às que empregam funções de Lyapunov quadráticas.

Made available in DSpace on 2015-12-10T14:22:54Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-04-23. Added 1 bitstream(s) on 2015-12-10T14:29:06Z : No. of bitstreams: 1 000853509.pdf: 437852 bytes, checksum: 2598c84067f7ea76027b8854c86596fb (MD5) / Este trabalho apresenta um estudo sobre estabilidade do equilíbrio nulo de equações discretas autônomas através do Método de Liapunov e do Método das Funções Dicotômicas, que é uma extensão do Método de Liapunov / This work presents a study about stability of the null equilibrium of autonomous discrete equations by Liapunov's Method and Method of Dichotomic Maps, which is an extension of the Liapunov's Method

Resumo: O entendimento dos mecanismos dinâmicos que levam à formação de estados turbulentos em sistemas espacialmente estendidos constitue um problema de grande importância. É observado que em alguns sistemas essa transição acontece de maneira intermitente, ou seja, a dinâmica oscila de uma maneira aparentemente aleatória entre estados de caos temporal e estados turbulentos, e a energia de cada um destes estados reside em ramos diferentes e que não se sobrepõem. Neste trabalho, estão apresentados os resultados obtidos no estudo de uma transição de caos temporal para turbulência, que acontece de maneira intermitente, na equação de onda longa regular forçada e amortecida, um modelo que representa diferentes problemas físicos, entre eles a dinâmica de uma onda de deriva eletrost ática em um plasma. As propriedades estatísticas da série temporal da energia da onda mostram que a transição acontece segundo um comportamento dinâmico conhecido que recebe o nome de intermitência on-o_ de dois estados. A análise posterior da distribui ção dos expoentes de Lyapunov a tempo _nito sugere que a perda de estabilidade transversal dos atratores do sistema no espaço de fase de Fourier é o mecanismo dinâmico por trás da intermitência e que, portanto, leva o sistema a um estado turbulento. No caso especí_co do modelo estudado, o aumento da intensidade do forçamento induz a perda de estabilidade transversal em um atrator de baixa energia, que leva ao surgimento da intermitência e portanto do caos espaço-temporal no sistema. ii

Orientador: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Jair Silvério dos Santos / Banca: Marta Cilene Gadotti / Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre estabilidade do equilíbrio nulo de equações discretas autônomas através do Método de Liapunov e do Método das Funções Dicotômicas, que é uma extensão do Método de Liapunov / Abstract: This work presents a study about stability of the null equilibrium of autonomous discrete equations by Liapunov's Method and Method of Dichotomic Maps, which is an extension of the Liapunov's Method / Mestre

Orientador: Edvaldo Assunção / Banca: Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira / Banca: Rodrigo Cardim / Banca: Roberto Kawakami Harrop Galvão / Banca: Flávio Andrade Faria / Resumo: Este trabalho trata do problema de estabilização robusta de sistemas lineares contínuos no tempo sujeitos a incertezas do tipo politópicas no modelo. Todo o trabalho é fundamen- tado em leis de controle por realimentação da derivada do vetor de estado (realimentação derivativa). A motivação em utilizar a realimentação derivativa (u(t) = −Kd x(t)) em ̇ vez da realimentação do vetor de estado convencional é devido à facilidade de imple- mentação em algumas aplicações mecânicas, por exemplo, no controle de vibrações de sistemas mecânicos, nos quais sensores como acelerômetros têm sido utilizados para me- dir a derivada de segunda ordem (aceleração) de uma variável de estado (posição) desses sistemas. A metodologia apresenta condições suficientes na forma de desigualdades ma- triciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para Linear Matrix Inequalities) para a síntese de controladores lineares robustos estáticos (Kd ), visando a princípio apenas a estabilização do sistema, na sequência a estabilização com restrição de taxa de decaimento (γ > 0) e por fim projetos que asseguram a D-estabilidade (alocação regional) robusta, restringindo os autovalores a uma determinada região do plano complexo. Os índices de desempenho de taxa de decaimento e D-estabilidade são adicionados no projeto dos controladores visto que, garantir apenas a estabilidade do sistema nem sempre é suficiente para um bom desempenho prático. As formulações LMIs são realizadas através de lemas largamente utilizados (Lema da Projeção Recíproca e Lema de Finsler) em análise de estabilidade e projetos de controladores para os mais diversos problemas. Estes lemas permitem o uso de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros (PDLF, acrônimo inglês para Parameter-Dependent Lyapunov Function) para assegurar a estabilidade... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: This work deals with the problem of robust stabilization of continuous-time linear sys- tems subjected to polytopic uncertainties in the plant. All our work is based on control techniques using only the state-derivative feedback. The motivation for the use of state- derivative feedback (u(t) = −Kd x(t)) instead of conventional state feedback is due to ease ̇ of implementation in some mechanical applications, for instance, in the vibration control of mechanical systems, in which sensors like accelerometers have been used to measure the second order derivative (acceleration) of one state variable (position) of these systems. The methodology presents sufficient conditions in the form of linear matrix inequalities (LMIs) for the synthesis of static linear robust controllers (Kd ), aiming at first only the system's stability, followed by the system's stability with decay rate (γ > 0) and finally designs that ensure the system's robust D-stability (regional allocation), restricting the eigenvalues at a given region of the complex plane. The performance indexes of decay rate and D-stability are added in the controllers design since ensuring system's stability only is not always sufficient for a good practical performance. The LMIs formulations are made through widely used lemmas (Reciprocal Projection Lemma and Finsler's Lemma) in the stability analysis and in the controllers design for many problems. These lemmas allow the use of a parameter-dependent Lyapunov function (PDLF) to ensure the asymptotic stability of the systems in the sense of Lyapunov. Comparing with the existing litera- ture, in which the results consider classical LMIs formulations, based on the existence of a common quadratic Lyapunov function (CQLF) for the solution of the problems, the present work shows to be less conservative in most occasions. In many cases... (Complete abstract click electronic access below) / Doutor

Neste trabalho, estudamos algumas inversões parciais do teorema de Dirichlet-Lagrange, essencialmente estendendo os resultados em dois graus de liberdade de Garcia e Tal (2003) para algumas situações em $R^$. Mais precisamente, um dos objetivos é mostrar, no contexto da mecânica lagrangeana, que se há um split da energia potencial em uma parte no plano cujo jato $k$ mostra que ela não tem mínimo no ponto de equilíbrio e existe o jato $k-1$ do seu gradiente, e a outra em $R^$ que tenha mínimo no ponto de equilíbrio, este é instável. A instabilidade do ponto de equilíbrio em estudo é provada mostrando a existência de uma trajetória assintótica ao mesmo. Para isso, apresentamos um resultado inicial para lagrangeanos com uma forma bem específica e, a seguir, mostramos que a classe de lagrangeanos que descrevemos acima pode ser levada a esta forma, através de uma adequada mudança de coordenadas espaciais. Além disso, consideramos a extensão desses resultados a sistemas com forças giroscópicas. / In this work, we study some partial inversions of the Lagrange-Dirichlet theorem, extending the results in two degrees of freedom of Garcia and Tal (2003) for some other situations in $\\mathbb^$. More precisely, one of our objectives is to show, in the context of lagrangian mechanics, that if there is a splitting of the potential energy in one part in the plane which its $k$-jet shows that it does not have a minimum in the equilibrium and there exists the $(k-1)$-jet of its gradient, and the other part in $\\mathbb^$ has a minimum in the equilibrium, then the equilibrium point is unstable. Instability of the equilibrium point is shown by proving the existence of an assymptotic trajectory to it. For this purpose, first it is proven a result for lagrangians with a specific form and, next, we show that the class of lagrangians we are interested in can be transformed into this specific form by a subtle change of spatial coordinates. Finally, we consider the extension of this results to systems with gyroscopic forces.

Neste trabalho, estudamos algumas inversões parciais do teorema de Dirichlet-Lagrange, essencialmente estendendo os resultados em dois graus de liberdade de Garcia e Tal (2003) para algumas situações em $R^$. Mais precisamente, um dos objetivos é mostrar, no contexto da mecânica lagrangeana, que se há um split da energia potencial em uma parte no plano cujo jato $k$ mostra que ela não tem mínimo no ponto de equilíbrio e existe o jato $k-1$ do seu gradiente, e a outra em $R^$ que tenha mínimo no ponto de equilíbrio, este é instável. A instabilidade do ponto de equilíbrio em estudo é provada mostrando a existência de uma trajetória assintótica ao mesmo. Para isso, apresentamos um resultado inicial para lagrangeanos com uma forma bem específica e, a seguir, mostramos que a classe de lagrangeanos que descrevemos acima pode ser levada a esta forma, através de uma adequada mudança de coordenadas espaciais. Além disso, consideramos a extensão desses resultados a sistemas com forças giroscópicas. / In this work, we study some partial inversions of the Lagrange-Dirichlet theorem, extending the results in two degrees of freedom of Garcia and Tal (2003) for some other situations in $\\mathbb^$. More precisely, one of our objectives is to show, in the context of lagrangian mechanics, that if there is a splitting of the potential energy in one part in the plane which its $k$-jet shows that it does not have a minimum in the equilibrium and there exists the $(k-1)$-jet of its gradient, and the other part in $\\mathbb^$ has a minimum in the equilibrium, then the equilibrium point is unstable. Instability of the equilibrium point is shown by proving the existence of an assymptotic trajectory to it. For this purpose, first it is proven a result for lagrangians with a specific form and, next, we show that the class of lagrangians we are interested in can be transformed into this specific form by a subtle change of spatial coordinates. Finally, we consider the extension of this results to systems with gyroscopic forces.

Os modelos metapopulacionais são uma ferramenta muito importante nos estudos de habitats fragmentados. Sendo a natureza bastante diversificada, a análise de ambientes heterogêneos e primordial para a construção de uma dinâmica mais próxima da realidade. Com isso, buscou-se construir um modelo metapopulacional heterogêneo de múltiplas espécies, cujo objetivo e encontrar um critério de estabilidade assintótica de orbitas de sincronização parcial. Para tanto e descrito um ambiente com n patches ou sítios conectados por movimentos de migração divididos em conjuntos, que apresentam diferentes características de sobrevivência e reprodução de cada espécie. Obteve-se uma representação para matriz Jacobiana do sistema, al em de um critério para o cálculo do expoente de Lyapunov. Sendo possível, então, uma generalização para um modelo metapopulacional heterogêneo de múltiplas espécies. / The metapopulational models are an important appliance in the fragmented habitats studies."The nature is very diversi ed, so the heterogeneous environments analysis is primordial for close construction of dynamics realities. Therefore, this research aimed to construct a metapopulational heterogeneous model of multiple species in order to nd an asymptotic stability standard of partial synchronization of orbits. Hence an environment with n patches or connected sites by migration movements were described, whose were divided into groups with di erent survival and reproduction characteristics of each species. A Jacobian matrix of system representation was obtained, as well as a Lyapunov exponent calculation criteria. Thus, a generalization for a heterogeneous metapopulational model of multiple species was possible.

Neste trabalho fazemos o estudo da teoria de equações diferenciais fracionárias do ponto de vista qualitativo. Para isso, estudamos teoremas de existência, unicidade e prolongamento de soluções, teoria de comparação, teoria de estabilidade de Lyapunov para sistemas de ordem fracionárias e fazemos uma aplicação desses resultados. Fizemos uso da teoria desenvolvida para estudar um modelo matemático para a transmissão do vírus da Dengue via equações diferenciais com a derivada fracionária de Caputo, cujo o modelo está disponível na literatura. Desse modo, é fundamental a análise do comportamento assintótico, ou seja, o que acontece com as soluções quando faz-se o tempo tender para o infinito, na qual, utilizou-se a Estabilidade de Lyapunov. Seguiu-se uma linha numérica, na qual foram realizadas simulações para validação do modelo adotado e investigação da estabilidade assintótica global dos pontos de equilíbrio. Assim, foram considerados quatro valores como condições iniciais, cujas soluções convergem para os pontos de equilíbrio. Além disso, foi feito a comparação com uma simulação utilizando equações diferenciais ordinárias e constatou-se que as soluções do modelo de ordem fracionária tem menos oscilações por garantir um sistema de amortecimento, fazendo com que as soluções convirjam em menor velocidade. / This work is a study of the theory of fractional differential equations from the point of view qualitative. To this, we study theorems of existence, uniqueness and continuation of solutions, comparison theory, Lyapunov stability theory to fractional order systems and we apply these results. In recent years, study of fractional-order systems has attracted the attention of many researchers and has generated several publications. The possible applications of this theory are present in several areas of the knowledge such as Viscoelasticity, Electrochemistry, Physics, Epidemiology, among many others that can be modeled by fractional differential equation. We make use of this theory to study a mathematical model to transmission of Dengue Disease, by fractional derivative of Caputo type, whose model is available in the literature. Thus, a fundamental result is the analysis of the behavior asymptotic, that is, what happens to the solutions when the time to infinity, so we will use Lyapunov stability. We use numerical simulations to carried out to validate the model and investigate whether the equilibrium points are globally asymptotically stable, since four values were considered as initial conditions, whose solutions converge to the equilibrium points. In addition, it was compared to a simulation using ordinary differential equations and it was found that the solutions of the fractional order model have less oscillations because they guarantee a damping system, causing the solutions to converge at a lower speed. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

The route to hyperchaos is studied by direct numerical simulation of Rayleigh-Bénard convection in the Boussinesq approximation. The fluid is confined between two planes in a square periodicity cell and convective attractors are obtained for the Rayleigh number varying from 1760 to 2500, for which the hyperchaotic regime emerges; all other parameters of the system are fixed. The temperature of the upper and bottom plane are held constant and the horizontal boundaries are stress-free and isothermal. In the range of parameter considered, 9 convective attractors were found. The three largest Lyapunov exponents were computed in order to characterize all the attractors. For this, two different numerical methods were employed, one considering hypervolumes deformation (standard method) and the other the linearized system of equations (linearization method). Both numerical methods used to compute Lyapunov exponents produce similar results. While the linearization one can be applied to spatially extended systems with no dimension limit the standard is faster but restricted to low dimension dynamical systems. There is coexistence of attractors in almost all range of the parameter and intermittency is found before the hyperchaotic regime. The results suggest that the hyperchaotic attractor is created in a crisis involving an chaotic attractor and a hyperchaotic saddle. This work, is the first study of transition from periodicity to hyperchaos in three-dimensional Rayleigh-Bénard convection, an important step in understanding the onset of turbulence.