We give asymptotics near the boundary for the distribution of the first exit time of the isotropic alpha-stable Levy process on bounded Lipschitz sets in real euclidean space. These asymptotics bear some relation to the existence of limits in the Yaglom sense of alpha-stable processes. Our approach relies on the uniform integrability of the ratio of Green functions on bounded Lipschitz sets. We use bounds for the heat remainder to give the first two terms in the small time asymptotic expansion of the trace of the heat kernel of unimodal Levy processes satisfying some weak scaling conditions on bounded Lipschitz domains.

SAMPAIO, José Esdon. Regularidade Lipschitz, invariância da multiplicidade e a geometria dos cones tangentes de conjuntos analíticos. 2015. 56 f. Tese (doutorado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-Ce, 2015 / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-05-29T18:27:53Z No. of bitstreams: 1 2015_tese_jesampaio.pdf: 1161657 bytes, checksum: 388d75dfad46f85ce32ce24b79963987 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-06-01T10:56:02Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_tese_jesampaio.pdf: 1161657 bytes, checksum: 388d75dfad46f85ce32ce24b79963987 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-06-01T10:56:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_tese_jesampaio.pdf: 1161657 bytes, checksum: 388d75dfad46f85ce32ce24b79963987 (MD5) Previous issue date: 2015 / In this paper, it is shown that definable sets bi-Lipschitz homeomorphic have tangent cones bi-Lipschitz homeomorphic. Furthermore, in the case of complex analytical sets, Lipschitz regularity or strong topological regularity implies analytical regularity. It is also done a complete study on regularity of real analytic sets. Furthermore, it is given a complete classification for complex analytical curves in space and are shown some results about invariance of the multiplicity. In particular, it is shown that the multiplicity of real analytical sets is invariant mod 2 under diffeomorphisms. / Neste texto, é mostrado que conjuntos definíveis bi-Lipschitz homeomorfos tem cones tangentes bi-Lipschitz homeomorfos. Além disso, no caso de conjuntos analíticos complexos, regularidade Lipschitz ou regularidade topológica forte implica em regularidade analítica. Também é feito um estudo regularidade de conjuntos analíticos reais. Ademais, é dada uma classificação completa para curvas analíticas complexas no espaço e são apresentados alguns resultados sobre invariância da multiplicidade. Em especial, é mostrado que a multiplicidade mod 2 de conjuntos analíticos reais é invariante por difeomorfismos.

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Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2018-05-10T19:59:26Z No. of bitstreams: 1 2017_IsadoraFreireMartins.pdf: 4901785 bytes, checksum: 6a4cdb2ba378eee8aea8b36501481209 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-05-15T19:19:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_IsadoraFreireMartins.pdf: 4901785 bytes, checksum: 6a4cdb2ba378eee8aea8b36501481209 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-15T19:19:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_IsadoraFreireMartins.pdf: 4901785 bytes, checksum: 6a4cdb2ba378eee8aea8b36501481209 (MD5) Previous issue date: 2018-05-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). / Nesta dissertação, é proposto um conversor analógico-digital cujo processo de amostragem é baseado em propriedades da transformada wavelet. Tais propriedades permitem identificar características de interesse do sinal—especificamente, a localização de seus pontos críticos e a descrição da morfologia nos trechos entre esses pontos—, e assim representá-lo, em vez de aplicar a amostragem uniforme e limitada pelo critério de Nyquist. A primeira parte deste trabalho apresenta a implementação do conversor em nível de sistema para diferentes resoluções e bases e escalas da transformada wavelet. Para validar o algoritmo de amostragem, é proposto também um algoritmo de reconstrução polinomial do sinal. Os resultados mostram que a identificação de pontos críticos e a estimativa da morfologia do sinal são realizadas com sucesso, tendo sido possível recuperar o sinal de entrada com alta correlação e baixo erro RMS entre os sinais original e reconstruído. A segunda parte deste texto apresenta o desenvolvimento em nível de circuito. A transformada wavelet é implementada por filtros wavelet analógicos, que são testados utilizando-se duas aproximações diferentes para sua resposta em frequência. Os resultados de simulações para variadas escalas permitem identificar os pontos críticos do sinal. / This manuscript presents the project of an analog-to-digital converter with a wavelet-based sampling scheme. Instead of sampling a signal with uniformly spaced samples and in a frequency limited by Nyquist's criteria, the proposed ADC represents an input signal based on its characteristics speci cally, the critical points localization and the estimation of the signal's morphology around these points. The rst part of this work contains the system-level development, where the sampling algorithm is proposed as well as a polynomial reconstruction algorithm. Tests are run for di erent resolutions and wavelet bases and scales. The results show that the system successfully localizes the critical points and estimates the morphology of the signal, with high correlation and low RMS error values observed between the reconstructed signal and the input. The second part of this work contains the circuit-level development, where the wavelet transform is implemented with analog wavelet lters. The transfer functions of these lters are obtained by applying two di erent approximation methods. The results across scales show the critical points' localization.

This thesis is about graph-indexed random walks, Lipschitz mappings and graph homo- morphisms. It discusses connections between these notions, surveys the existing results, and shows new results. Graph homomorphism is an adjacency-preserving mapping between two graphs. Our main objects of study are graph homomorphisms to an infinite path. We are interested in two parameters: maximum range and average range. The average range of a graph is the expected size of the image of a uniformly picked random homomorphism to an infinite path. We obtain formulas for several graph classes and investigate main conjectures on this parameter. For maximum range parameter we show a general formula and an algorithm to compute it for general graphs. Besides that, we study the problem of extending a prescribed partial graph homomorphism to a full graph homomorphism. We show that this problem is polynomial in some cases. 1

Neste trabalho apresentamos um novo método ótimo para otimização de uma função convexa diferenciável sujeita a restrições convexas. Nosso método é baseado em ideias de Nesterov e Auslender e Teboulle. A proposta dos últimos autores usa uma distância de Bregman coerciva para garantir que os iterados permaneçam no interior do conjunto viável. Nosso método estende esses resultados para permitir o emprego da distância Euclidiana ao quadrado. Mostramos também como estimar a constante de Lipschitz para o gradiente da função objetivo, o que resulta em uma melhora na eficiência numérica do método. Finalmente, apresentamos experimentos numéricos para validar nossa proposta e comparar com o algoritmo de Nesterov. / In this work we introduce a new optimal method for constrained differentiable convex optimization which is based on previous ideas by Nesterov and Auslender and Teboulle. The method proposed by the last authors use a coercive Bregman distance to ensure that the iterates remain in the interior of the feasible set. Our results extend this method to allow the use of the squared Euclidean distance. We also show how to estimate the Lipschitz constant of the gradient of the objective function, improving the numerical behavior of the method. Finally, we present numerical experiments to validate our approach and compare it to Nesterov\'s algorithm.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Neste texto, à mostrado que conjuntos definÃveis bi-Lipschitz homeomorfos tem cones tangentes bi-Lipschitz homeomorfos. AlÃm disso, no caso de conjuntos analÃticos complexos, regularidade Lipschitz ou regularidade topolÃgica forte implica em regularidade analÃtica. TambÃm à feito um estudo regularidade de conjuntos analÃticos reais. Ademais, à dada uma classificaÃÃo completa para curvas analÃticas complexas no espaÃo e sÃo apresentados alguns resultados sobre invariÃncia da multiplicidade. Em especial, à mostrado que a multiplicidade mod 2 de conjuntos analÃticos reais à invariante por difeomorfismos. / In this paper, it is shown that definable sets bi-Lipschitz homeomorphic have tangent cones bi-Lipschitz homeomorphic. Furthermore, in the case of complex analytical sets, Lipschitz regularity or strong topological regularity implies analytical regularity. It is also done a complete study on regularity of real analytic sets. Furthermore, it is given a complete classification for complex analytical curves in space and are shown some results about invariance of the multiplicity. In particular, it is shown that the multiplicity of real analytical sets is invariant mod 2 under diffeomorphisms.

Neste trabalho apresentamos um novo método ótimo para otimização de uma função convexa diferenciável sujeita a restrições convexas. Nosso método é baseado em ideias de Nesterov e Auslender e Teboulle. A proposta dos últimos autores usa uma distância de Bregman coerciva para garantir que os iterados permaneçam no interior do conjunto viável. Nosso método estende esses resultados para permitir o emprego da distância Euclidiana ao quadrado. Mostramos também como estimar a constante de Lipschitz para o gradiente da função objetivo, o que resulta em uma melhora na eficiência numérica do método. Finalmente, apresentamos experimentos numéricos para validar nossa proposta e comparar com o algoritmo de Nesterov. / In this work we introduce a new optimal method for constrained differentiable convex optimization which is based on previous ideas by Nesterov and Auslender and Teboulle. The method proposed by the last authors use a coercive Bregman distance to ensure that the iterates remain in the interior of the feasible set. Our results extend this method to allow the use of the squared Euclidean distance. We also show how to estimate the Lipschitz constant of the gradient of the objective function, improving the numerical behavior of the method. Finally, we present numerical experiments to validate our approach and compare it to Nesterov\'s algorithm.

[ES] Desde el comienzo de la Teoría de Espacios de Banach, el estudio de los subespacios complementados y no complementados ha sido uno de los principales temas del área. Específicamente, en espacios de Banach no separables, han habido grandes esfuerzos en construir un marco teórico para describir la estructura de subespacios linealmente complementados en espacios de Banach. Concepctos clásicos como la Propiedad del Complemento Separable, Resoluciones Proyectivas de la Identidad, y la Propiedad de Plichko han sido y continúan siendo estudiadas en esta disciplina. En igual medida, las aplicaciones de Lipschitz en espacios de Banach también han jugado un papel importante en el desarrollo de la teoría. Cuestiones como la clasificación de Lipschitz de los espacios de Banach, la diferenciabilidad de las funciones de Lipschitz, o la existencia de retracciones de Lipschitz a subconjuntos y subespacios de espacios de Banach, son líneas de investigación activas con abundantes resultados y aplicaciones. En esta tesis analizamos la estructura de retractos de Lipschitz en espacios métricos y espacios de Banach no separables, de forma análoga a la teoría de complementación lineal en espacios de Banach. También discutimos la conexión de este tema con el progreso actual en el estudio de la estructura de los espacios de Lipschitz-free, y con el problema de la existencia de operadores de extensión lineales para funciones de Lipschitz. En primer lugar, generalizamos algunas herramientas clásicas de la teoría lineal al marco no lineal: Definimos el concepto de esqueletos retractivos de Lipschitz como una generalización a los esqueletos proyectivos. Como aplicación de estas nociones, demostramos que el espacio de Lipschitz-free asociado a un espacio de Banach con la propiedad de Plichko tiene a su vez la propiedad de Plichko. Utilizamos también los esqueletos retractivos de Lipschitz para caracterizar aquellos espacios métricos cuyo espacio de Lipschitz-free tiene la propiedad de Plichko con medidas de Dirac, y mostramos que el espacio de Lipschitz-free asociado a cualquier R-árbol es 1-Plichko con moléculas elementales. A continuación, pasamos a definir la Propiedad del Retracto de Lipschitz (α, β) (o la Lipschitz RP(α, β)) para un par de cardinales infinitos α ≤ β. Esta es la propiedad no lineal análoga a la clásica Propiedad del Complemento. Observamos que los espacios C(K) tiene la Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0), lo cual implica que sus espacios de Lipschitz-free asociados poseen la Propiedad del Complemento Separable. Siguiendo con el estudio previo, construimos, para cada cardinal infinito Λ, un espacio métrico completo sin la Lipschitz RP(Λ, Λ)). En el caso numerable, podemos mejorar este resultado produciendo un espacio métrico completo que satisface una propiedad más fuerte que la negación de la Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0): Todo subconjunto separable con almenos dos puntos no es un retracto de Lipschitz. Finalmente, generalizamos un resultado de Heinrich y Mankiewicz al marco no lineal al mostrar que en cada espacio métrico M, todo subconjunto está contenido en otro subconjunto con el mismo carácter de densidad que además admite un operador lineal de extensión de funciones Lipschitz. / [CA] Des del principi de la Teoria d'Espais de Banach, l'estudi dels subespais complementats i no complementats ha estat un dels principals temes de l'àrea. Específicament, en espais de Banach no separables, hi ha hagut un gran esforç de construir un marc teòric per descriure l'estructura de subespais linealment complementats en espais de Banach. Conceptes clàssics com la Propietat del Complement Separable, Resolucions Projectives de la Identitat, i la Propietat de Plichko han estat i continuen sent estudiades en aquesta disciplina. En igual mesura, les aplicacions de Lipschitz en espais de Banach també han jugat un paper important en el desenvolupament de la teoria. Qüestions com la classificació de Lipschitz dels espais de Banach, la diferenciabilitat de les funcions de Lipschitz, o l'existència de retraccions de Lipschitz a subconjunts i subespais d'espais de Banach, són línies d'investigació actives amb abundants resultats i aplicacions. En aquesta tesi analitzem l'estructura de retractes de Lipschitz en espais mètrics i espais de Banach no separables, de manera anàloga a la teoria de complementació lineal en espais de Banach. També discutim la connexió d'aquest tema amb el progrés actual en l'estudi de l'estructura dels espais de Lipschitz-free, i amb el problema de l'existència d'operadors d'extensió lineals per a funcions de Lipschitz. En primer lloc, generalitzem algunes eines clàssiques de la teoria lineal al marc no lineal: Definim el concepte d'esquelets retractius de Lipschitz com una generalització dels esquelets projectius. Com aplicació d'aquestes nocions, demostrem que l'espai de Lipschitz-free associat a un espai de Banach amb la propietat de Plichko té la propietat de Plichko. Utilitzem també els esquelets retractius de Lipschitz per a caracteritzar aquells espais mètrics que generen espais de Lipschitz-free amb la propietat de Plichko amb mesures de Dirac, i mostrem que l'espai de Lipschitz-free associat a qualsevol R-arbre és 1-Plichko amb molècules elementals. A continuació, passem a definir la Propietat del Retracte de Lipschitz (α, β) (o la Lipschitz RP(α, β)) per a un parell de cardinals infinits α ≤ β. Aquesta és la propietat no lineal anàloga a la clàssica Propietat del Complement. Observem que els espais C(K) tenen la Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0), la qual cosa implica que els espais de Lipschitz-free associats posseeixen la Propietat del Complement Separable. Seguint amb l'estudi previ, construïm, per a cada cardinal infinit Λ, un espai mètric complet sense la Lipschitz RP(Λ, Λ). En el cas numerable, podem millorar aquest resultat produint un espai mètric complet que satisfà una propietat més forta que la negació de la Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0): Tot subconjunt separable amb almenys dos punts no és un retracte de Lipschitz. Finalment, generalitzem un resultat de Heinrich i Mankiewicz al marc no lineal al demostrar que en cada espai mètric M, tot subconjunt està contingut en altre subconjut amb el mateix caràcter de densitat que a més admet un operador lineal d'extensió de funcions Lipschitz. / [EN] Since the inception of Banach Space Theory, the study of complemented and uncomplemented subspaces of Banach spaces has been one of the main themes of the area. Specifically, in non-separable Banach spaces, there have been many efofrts in constructing a theoretical framework to describe the linear complementation structure of Banach spaces. Classical concepts such as the Separable Complementation Property, Projectional Resolutions of the Identity, and the Plichko Property have been and continue to be studied in this area. Similarly, Lipschitz maps between Banach spaces have also played a main role in the development of the theory. Questions such as the Lipschitz classification of Banach spaces, difefrentiability of Lipschitz maps, or the existence of Lipschitz retractions onto subsets and subspaces of Banach spaces, have been and continue to be active topics of research with a wealth of results and applications. In this thesis we analyse the Lipschitz retractional structure of non-separable metric and Banach spaces, as an analogous theory to the linear complementation one in Banach spaces. We also discuss the connection of this topic with the ongoing program to study the structure of Lipschitz-free Banach spaces, and to the problem of finding bounded linear extension operators for Lipschitz functions. First, we generalize some classical tools of the linear theory to the non-linear setting: We define the concept of Lipschitz retractional skeletons as a generalization of Projectional skeletons. As applications of these concepts, we show that the Lipschitz-free space of a Plichko Banach space is again Plichko. We also use Lipschitz retractional skeletons to characterize metric spaces whose Lipschitz-free spaces enjoy the Plichko property witnessed by Dirac measures, and we show that the Lipschitz-free space of any R-tree is 1-Plichko witnessed by molecules. Next, we pass on to defining the (α, β) Lipschitz Retraction Property (Lipschitz RP(α, β) for short) for a pair of infinite cardinals α ≤ β. These are the non-linear analogues to the classical Complementation Properties. We observe that C(K) spaces enjoy the Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0), which in turn implies that their associated Lipschitz-free space satisfy the Separable Complementation Property. As a continuation of the previous study, we construct, for every infinite cardinal Λ, a complete metric space which fails the Lipschitz RP(Λ, Λ). In the countable case, we are able to produce a complete metric space, called the skein space, with a stronger property than the negation of the Lipschitz RP(ℵ0, ℵ0): Every separable subset of the skein space with at least two points fails to be a Lipschitz retract. Finally, we generalize a result of Heinrich and Mankiewicz to the non-linear setting, by showing that for any metric space M, every subset is contained in another subset of the same density character which admits a bounded linear extension operator for the space of Lipschitz functions. / Quilis Sandemetrio, A. (2023). Lipschitz Structure of Metric and Banach Spaces [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/200447

The study about bi-Lipschitz equisingularity has been a very important subject in Singularity Theory in last decades. Many different approach have cooperated for a better understanding about. One can see that the bi-Lipschitz geometry is able to detect large local changes in curvature more accurately than other kinds of equisingularity. The aim of this thesis is to investigate the bi-Lipschitz geometry in an algebraic viewpoint. We define some algebraic tools developing classical properties. From these tools, we obtain algebraic criterions for the bi-Lipschitz equisingularity of some families of analytic varieties. We present a categorical and homological viewpoints of these algebraic structure developed before. Finally, we approach algebraically the bi-Lipschitz equisingularity of a family of Essentially Isolated Determinantal Singularities. / O estudo da equisingularidade bi-Lipschitz tem sido amplamente investigado nas últimas décadas. Diversas abordagens têm contribuído para uma melhor compreensão a respeito. Observa-se que a geometria bi-Lipschitz é capaz de detectar grandes alterações locais de curvatura com maior precisão quando comparada a outros padrões de equisingularidade. O objetivo desta tese é investigar a geometria bi-Lipschitz do ponto de vista algébrico. Definimos algumas estruturas algébricas desenvolvendo algumas propriedades clássicas. A partir de tais estruturas obtemos critérios algébricos para a equisingularidade bi-Lipschitz de algumas classes de famílias de variedades analíticas. Apresentamos uma visão categórica e homológica dos elementos desenvol- vidos. Finalmente abordamos algebricamente a equisingularidade de famílias de Singularidades Determinantais Essencialmente Isoladas.