Gradient descent methods and especially their stochastic variants have become highly popular in the last decade due to their efficiency on big data optimization problems. In this thesis we present the development of data sampling strategies for these methods. In the first four chapters we focus on four views on the sampling for convex problems, developing and analyzing new state-of-the-art methods using non-standard data sampling strategies. Finally, in the last chapter we present a more flexible framework, which generalizes to more problems as well as more sampling rules. In the first chapter we propose an adaptive variant of stochastic dual coordinate ascent (SDCA) for solving the regularized empirical risk minimization (ERM) problem. Our modification consists in allowing the method to adaptively change the probability distribution over the dual variables throughout the iterative process. AdaSDCA achieves a provably better complexity bound than SDCA with the best fixed probability distribution, known as importance sampling. However, it is of a theoretical character as it is expensive to implement. We also propose AdaSDCA+: a practical variant which in our experiments outperforms existing non-adaptive methods. In the second chapter we extend the dual-free analysis of SDCA, to arbitrary mini-batching schemes. Our method is able to better utilize the information in the data defining the ERM problem. For convex loss functions, our complexity results match those of QUARTZ, which is a primal-dual method also allowing for arbitrary mini-batching schemes. The advantage of a dual-free analysis comes from the fact that it guarantees convergence even for non-convex loss functions, as long as the average loss is convex. We illustrate through experiments the utility of being able to design arbitrary mini-batching schemes. In the third chapter we study importance sampling of minibatches. Minibatching is a well studied and highly popular technique in supervised learning, used by practitioners due to its ability to accelerate training through better utilization of parallel processing power and reduction of stochastic variance. Another popular technique is importance sampling { a strategy for preferential sampling of more important examples also capable of accelerating the training process. However, despite considerable effort by the community in these areas, and due to the inherent technical difficulty of the problem, there is no existing work combining the power of importance sampling with the strength of minibatching. In this chapter we propose the first importance sampling for minibatches and give simple and rigorous complexity analysis of its performance. We illustrate on synthetic problems that for training data of certain properties, our sampling can lead to several orders of magnitude improvement in training time. We then test the new sampling on several popular datasets, and show that the improvement can reach an order of magnitude. In the fourth chapter we ask whether randomized coordinate descent (RCD) methods should be applied to the ERM problem or rather to its dual. When the number of examples (n) is much larger than the number of features (d), a common strategy is to apply RCD to the dual problem. On the other hand, when the number of features is much larger than the number of examples, it makes sense to apply RCD directly to the primal problem. In this paper we provide the first joint study of these two approaches when applied to L2-regularized ERM. First, we show through a rigorous analysis that for dense data, the above intuition is precisely correct. However, we find that for sparse and structured data, primal RCD can significantly outperform dual RCD even if d ≪ n, and vice versa, dual RCD can be much faster than primal RCD even if n ≫ d. Moreover, we show that, surprisingly, a single sampling strategy minimizes both the (bound on the) number of iterations and the overall expected complexity of RCD. Note that the latter complexity measure also takes into account the average cost of the iterations, which depends on the structure and sparsity of the data, and on the sampling strategy employed. We confirm our theoretical predictions using extensive experiments with both synthetic and real data sets. In the last chapter we introduce two novel generalizations of the theory for gradient descent type methods in the proximal setting. Firstly, we introduce the proportion function, which we further use to analyze all the known block-selection rules for coordinate descent methods under a single framework. This framework includes randomized methods with uniform, non-uniform or even adaptive sampling strategies, as well as deterministic methods with batch, greedy or cyclic selection rules. We additionally introduce a novel block selection technique called greedy minibatches, for which we provide competitive convergence guarantees. Secondly, the whole theory of strongly-convex optimization was recently generalized to a specific class of non-convex functions satisfying the so-called Polyak- Lojasiewicz condition. To mirror this generalization in the weakly convex case, we introduce the Weak Polyak- Lojasiewicz condition, using which we give global convergence guarantees for a class of non-convex functions previously not considered in theory. Additionally, we give local convergence guarantees for an even larger class of non-convex functions satisfying only a certain smoothness assumption. By combining the two above mentioned generalizations we recover the state-of-the-art convergence guarantees for a large class of previously known methods and setups as special cases of our framework. Also, we provide new guarantees for many previously not considered combinations of methods and setups, as well as a huge class of novel non-convex objectives. The flexibility of our approach offers a lot of potential for future research, as any new block selection procedure will have a convergence guarantee for all objectives considered in our framework, while any new objective analyzed under our approach will have a whole fleet of block selection rules with convergence guarantees readily available.

L'objet de ce travail est l'étude des courbes intégrales du champ de gradient de fonctions définissables dans une structure o-minimale. On s'intéresse au comportement des courbes intégrales au voisinage d'une fibre atypique. <br /><br /><br /><br />Le premier chapitre rappelle certaines propriétés géométriques des<br />ensembles définissables dans une structure o-minimale.<br /><br /><br />Le deuxième chapitre s'attache à l'étude d'une famille définissable de fonctions définies sur des ouverts contenus dans un même compact. On montre grâce à la formule de Cauchy-Crofton que la longueur des courbes intégrales du champ de gradient de chaque fonction est majorée par une constante ne dépendant que de la dimension et du compact. On en déduit ensuite une borne explicite dans le cas d'un polynôme générique de degré fixé. <br /><br /><br />Le troisième chapitre est consacré aux fonctions $C^1$ définies sur<br />des ouvert non bornés. On montre que l'ensemble des valeurs ne vérifiant pas la condition de Malgrange (valeurs critiques asymptotiques) est fini et contient les valeurs atypiques qui ne sont pas valeurs critiques. <br /><br /><br />On établit dans le quatrième chapitre un théorème de plongement d'une composante connexe arbitraire d'une fibre correspondant à la valeur critique asymptotique dans une composante connexe d'une fibre typique voisine. Ce résultat, obtenu par une inégalité du type Lojasiewicz à l'infini, permet de comprendre les changements de type topologiques des fibres d'une fonction définissable au voisinage d'une valeur atypique. En dimension deux, on décrit l'ensemble des points d'une fibre typique par lesquels passe une courbe intégrale du champ de gradient qui n'atteint pas le niveau atypique. <br /><br /><br />Enfin, le dernier chapitre étudie certaines courbes intégrales<br />remarquables du champ de gradient. Une courbe réalisant le minimum de la norme du gradient sur les niveaux est une courbe intégrale du champ de gradient si et seulement si c'est une droite. Ce résultat conduit à s'interroger sur la finitude de séparatrices du champ de gradient d'une fonction polynomiale.

Dans le cadre d'intersections de classes non quasi-analytiques à croissance modérée, J. Chaumat et A. M. Chollet ont démontré, notamment, un théorème d'extension de Whitney, pour des jets définis sur un compact et un théorème de Lojasiewicz sur la régulière situation. Ces intersections sont contenues dans l'intersection des classes de Gevrey. On établit ici un théorème d'extension dans une famille d'intersections de classes plus vaste, en ce sens que, tout jet de Whitney appartient à l'une des intersections considérées. Ensuite, en utilisant une méthode d'interpolation à l'aide de polynômes de Lagrange, due à W. Pawlucki et W. Plesniak, on établit aussi un théorème d'extension linéaire pour les jets définis sur des compacts ayant la propriété de Markov. Ces extensions de jets peuvent être choisies réelles analytiques sur le complémentaire du compact. Ces résultats sont complétés par trois exemples de situations pour lesquelles il n'existe pas d'opérateur d'extension linéaire continu. Enfin, on démontre un théorème de Lojasiewicz. Tous ces résultats sont étroitement reliés aux théorèmes classiques de la théorie des fonctions infiniment dérivables.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao-Jose Henrique Salazar do Amaral.pdf: 346281 bytes, checksum: ed448001994e6dc5edb294a83390961a (MD5) Previous issue date: 2012-06-27 / This paper presents an analysis of convergence of the proximal point method for functions that satisfy the inequality of Lojasiewicz. / Neste trabalho é feita uma análise de convergência do Método do Ponto Proximal para funções não necessariamente convexas que satisfazem a desigualdade de &#321;ojasiewicz.

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L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25. / The aim of this thesis is to study the large time behavior of solutions of nonlocal evolution equations and to also study the singular limit of equations and systems of parabolic partial differential equations involving a small parameter epsilon. In Chapter 1, we consider a nonlocal reaction-diffusion equation with mass conservation, which was originally proposed by Rubinstein and Sternberg as a model for phase separation in a binary mixture. The corresponding Neumann problem possesses a Lyapunov functional, namely a functional which decreases in time along solution orbits. After having proved that the solution is conned in an invariant region, we study its large time behavior and apply a Lojasiewicz inequality to show that it converges to a stationary solution as t tends to infinity. We also evaluate the rate of convergence and precisely compute the limiting stationary solution in one space dimension. Chapter 2 is devoted to the study of a nonlocal evolution equation which one obtains by neglecting the diffusion term in the nonlocal Allen-Cahn equation studied in Chapter 1. Without the diffusion term, the solution can not be expected to be more regular than the initial function. Moreover, because of the absence of the diusion term, the method of Chapter 1 can not be applied to study the large time behavior of the solution. We present a new method based up on rearrangement theory and the study of the solution profile. We show that the solution stabilizes for large times and give a detailed characterization of its asymptotic limit as t tends to infinity. More precisely, it turns out that the limiting function is a step function, which takes at most two values, which are stable points of a corresponding ordinary dierential equation. We also show by means of a nontrivial counterexample that, when a certain hypothesis on the initial function does not hold, the limiting function may take three values. One of them is the unstable point and the two others are the stable points of the ordinary dierential equation. We study in Chapter 3 a nonlocal ordinary dierential equation which has been proposed by M. Nagayama. The nonlocal term involves a denominator which may vanish. We apply a contraction fixed point theorem to prove the existence of a unique solution which stays confined in an invariant region. We also show that the corresponding initial value problem possesses a Lyapunov functional and prove that the solution stabilizes for large times to a step function, which takes at most two values. In Chapter 4, we consider a diffuse-interface tumor-growth model which involves a fourth order Cahn-Hilliard type equation. Introducing a related phase-field model, we formally study the singular limit of the solution as the reaction coecient tends to infinity. More precisely, we show that the solution converges to the solution of a moving boundary problem. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Let F : Kn &rarr; Kp be a polynomial map, where K = R or C. Motivated by the characterization of the integral closure of ideals in the ring On by means of analytic inequalities proven by Lejeune-Teissier [46], we define the set Sp(F) of special polynomials with respect to F. The set Sp(F) can be considered as a counterpart, in the context of polynomial maps Kn &rarr; Kp, of the notion of integral closure of ideals in the ring of analytic function germs (~&lceil;+. In this work, we are mainly interested in the determination of the convex region S0(F) formed by the exponents of the special monomials with respect to F. Let us fix a convenient Newton polyhedron &lceil; + ~&sube; Rn. We obtain an approximation to S0</sub (F) when F is strongly adapted to ~&sube; +, which is a condition expressed in terms of the faces of ~&lceil;+ and the principal parts at infinity of F. The local version of this problem has been studied by Bivià-Ausina [4] and Saia [71]. Our result about the estimation of S0(F) allows us to give a lower estimate for the Lojasiewicz exponent at infinity of a given polynomial map with compact zero set. As a consequence of our study of ojasiewicz exponents at infinity we have also obtained a result about the uniformity of the ojasiewicz exponent in deformations of polynomial maps Kn &rarr; Kp. Consequently we derive a result about the invariance of the global index of real polynomial maps Rn &rarr; Rn. As particular cases of the condition of F being adapted to ~&lceil;+ there appears the class of Newton non-degenerate polynomial maps at infinity and pre-weighted homogeneous maps. The first class of maps constitute a natural extension for maps of the Newton non-degeneracy condition introduced by Kouchnirenko for polynomial functions. We characterize the Newton non-degeneracy at infinity condition of a given polynomial map F : Kn &rarr; Kp in terms of the set S0((F, 1)), where (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 is the polynomial map whose last component function equals 1. Motivated by analogous problems in local algebra we also derive some results concerning the multiplicity of F. / Seja F :Kn &rarr; Kp uma aplicação polinomial, onde K = C ou K = R. Motivados pela caracterização do fecho integral de ideais no anel On por meio de desigualdades analíticas provadas por Lejeune-Teissier [46], definimos o conjunto Sp(F) de polinomios especiais com respeito a F. O conjunto Sp(F) pode ser considerado como um homólogo, no contexto das aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp, da noção de fecho integral de ideais no anel de germes de funções analíticas (Kn 0) &rarr; K. Neste trabalho, estamos interessados principalmente na determinação da região convexa S0 (F) formado pelos expoentes dos monômios especiais com respeito a F. Fixado um poliedro de Newton conveniente ~&lceil; + ~&sube; Rn, é obtida uma aproximação de S0(F), quando F é fortemente adaptada a &lceil; + o qual é uma condição expressada em termos das faces de ~&lceil; + e as partes principais no infinito de F. A versão local deste problema foi estudado por Bivià-Ausina [4] e Saia [71]. Nosso resultado sobre a estimativa de S0(F) nos permite dar uma estimativa inferior para o expoente Lojasiewicz no infinito de uma aplicação polinomial Kn &rarr; Kp, com conjunto F-1(0) compacto. Como uma consequência do estudo dos expoentes de Lojasiewicz no infinito também foi obtido um resultado sobre a uniformidade do expoente Lojasiewicz em deformações de aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp e consequentemente, um resultado sobre a invariância do índice global de aplicações polinomiais reais Rn &rarr; Rn. Como casos particulares da condição de F ser adaptada a ~&lceil; + aparecem a classe de aplicações polinomiais Newton não degeneradas e as aplicações polinomiais pre-quase homogêneas. A primeira classe de aplicações constitui uma extensão natural da condição Newton não-degeneração introduzida por Kouchnirenko para funções polinomiais. Caracterizamos a condição Newton não-degeneração para uma determinada aplicação polinomial F : Kn &rarr; Kp em termos do conjunto S0((F, 1)), onde (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 é a aplicação polinomial cuja última função componente é igual a 1. Motivados por problemas análogos em álgebra local, também obtivemos alguns resultados sobre a multiplicidade de F.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Let F : Kn &rarr; Kp be a polynomial map, where K = R or C. Motivated by the characterization of the integral closure of ideals in the ring On by means of analytic inequalities proven by Lejeune-Teissier [46], we define the set Sp(F) of special polynomials with respect to F. The set Sp(F) can be considered as a counterpart, in the context of polynomial maps Kn &rarr; Kp, of the notion of integral closure of ideals in the ring of analytic function germs (~&lceil;+. In this work, we are mainly interested in the determination of the convex region S0(F) formed by the exponents of the special monomials with respect to F. Let us fix a convenient Newton polyhedron &lceil; + ~&sube; Rn. We obtain an approximation to S0</sub (F) when F is strongly adapted to ~&sube; +, which is a condition expressed in terms of the faces of ~&lceil;+ and the principal parts at infinity of F. The local version of this problem has been studied by Bivià-Ausina [4] and Saia [71]. Our result about the estimation of S0(F) allows us to give a lower estimate for the Lojasiewicz exponent at infinity of a given polynomial map with compact zero set. As a consequence of our study of ojasiewicz exponents at infinity we have also obtained a result about the uniformity of the ojasiewicz exponent in deformations of polynomial maps Kn &rarr; Kp. Consequently we derive a result about the invariance of the global index of real polynomial maps Rn &rarr; Rn. As particular cases of the condition of F being adapted to ~&lceil;+ there appears the class of Newton non-degenerate polynomial maps at infinity and pre-weighted homogeneous maps. The first class of maps constitute a natural extension for maps of the Newton non-degeneracy condition introduced by Kouchnirenko for polynomial functions. We characterize the Newton non-degeneracy at infinity condition of a given polynomial map F : Kn &rarr; Kp in terms of the set S0((F, 1)), where (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 is the polynomial map whose last component function equals 1. Motivated by analogous problems in local algebra we also derive some results concerning the multiplicity of F. / Seja F :Kn &rarr; Kp uma aplicação polinomial, onde K = C ou K = R. Motivados pela caracterização do fecho integral de ideais no anel On por meio de desigualdades analíticas provadas por Lejeune-Teissier [46], definimos o conjunto Sp(F) de polinomios especiais com respeito a F. O conjunto Sp(F) pode ser considerado como um homólogo, no contexto das aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp, da noção de fecho integral de ideais no anel de germes de funções analíticas (Kn 0) &rarr; K. Neste trabalho, estamos interessados principalmente na determinação da região convexa S0 (F) formado pelos expoentes dos monômios especiais com respeito a F. Fixado um poliedro de Newton conveniente ~&lceil; + ~&sube; Rn, é obtida uma aproximação de S0(F), quando F é fortemente adaptada a &lceil; + o qual é uma condição expressada em termos das faces de ~&lceil; + e as partes principais no infinito de F. A versão local deste problema foi estudado por Bivià-Ausina [4] e Saia [71]. Nosso resultado sobre a estimativa de S0(F) nos permite dar uma estimativa inferior para o expoente Lojasiewicz no infinito de uma aplicação polinomial Kn &rarr; Kp, com conjunto F-1(0) compacto. Como uma consequência do estudo dos expoentes de Lojasiewicz no infinito também foi obtido um resultado sobre a uniformidade do expoente Lojasiewicz em deformações de aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp e consequentemente, um resultado sobre a invariância do índice global de aplicações polinomiais reais Rn &rarr; Rn. Como casos particulares da condição de F ser adaptada a ~&lceil; + aparecem a classe de aplicações polinomiais Newton não degeneradas e as aplicações polinomiais pre-quase homogêneas. A primeira classe de aplicações constitui uma extensão natural da condição Newton não-degeneração introduzida por Kouchnirenko para funções polinomiais. Caracterizamos a condição Newton não-degeneração para uma determinada aplicação polinomial F : Kn &rarr; Kp em termos do conjunto S0((F, 1)), onde (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 é a aplicação polinomial cuja última função componente é igual a 1. Motivados por problemas análogos em álgebra local, também obtivemos alguns resultados sobre a multiplicidade de F.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.<br /><br />Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.<br /><br />Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.<br /><br />Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.