Pas de résumé / The level set method was introduced by Osher & Sethian (1988) as a general technique to capture moving interfaces. It has been used to study crystal growth, to simulate water and fire for computer graphics applications, to study two-phase flows and in many other fields. The wellknown problem of the level set method is the following: if the flow velocity is not constant, the level set scalar may become strongly distorted. Thus, the numerical integration may suffer from loss of accuracy. In level set methods, this problem is remedied by the reinitialization procedure, i.e. by reconstruction of the level set function in a way to satisfy the eikonal equation. We propose an alternative approach. We modify directly the level set equation by embedding a source term. The exact expression of this term is such that the eikonal equation is automatically satisfied. Furthermore on the interface, this term is equal to zero. In the meantime, the advantage of our approach is this: the exact expression of the source term allows for the possibility of derivation of its local approximate forms, of first-and-higher order accuracy. Compared to the extension velocity method, this may open the simplifications in realization of level set methods. Compared to the standard approach with the reinitialization procedure, this may give the economies in the number of level set re-initializations, and also, due to reduced number of reinitializations, one may expect an improvement in resolution of zero-set level. Hence, the objective of the present dissertation is to describe and to assess this approach in different test cases.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la simulation numérique d'écoulements instationnaires de deux fluides visqueux non miscibles, séparés par une interface mobile. Plus particulièrement des écoulements sans choc constitués d'une phase gazeuse et d'une phase liquide sont considérés. Pour modéliser de tels écoulements, une approche dans laquelle le gaz est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et le liquide par les équations de Navier-Stokes incompressible est proposée. C'est le couplage de ces deux modèles qui constitue l'originalité et l'enjeu principal de de cette thèse. Pour traiter cette difficulté majeure, une méthode globale (i.e. la même dans chaque phase) et simple à mettre en oeuvre est élaborée. L'utilisation des équations de Navier-Stokes formulées de façon unifiée pour les inconnues primitives (pression, vitesse et température) constitue le point de départ pour la construction de notre méthode qui repose sur les composants suivants: une méthode d'éléments finis stabilisés pour la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes; une approche Level Set pour représenter précisément l'interface dont l'équation de transport a été résolue par une méthode de type Galerkin Discontinu; et des grandeurs moyennes pour traiter les discontinuités à l'interface. Le bon comportement de notre approche est illustré sur différents tests mono et bi-dimensionnels. / In this work, we are interested in the numerical simulation of instationnary viscous flows of two immiscible fluids, separated by a mobile interface. In particular, flows without shock composed of a gas phase and a liquid phase are considered. In order to modelize such flows, an approach in which the gaz is described by compressible Navier-Stokes equations and the liquid by incompressible Navier-Stokes équations is proposed. The coupling between these two models is the originality and the stake of this thesis. To treat this important difficulty, a global (i.e. the same for each phase) and simple method is elaborated. In our procedure we propose, using the Navier-Stokes equations formulated in set of primitives unknowns (pressure, velocity and temperature), to elaborate a strategy that relies on the follow components: the stabilized finite element method to discretize spatially the Navier-Stokes equations; the Level Set method for tracking the interface precisely with a discontinuous Galerkin method to solve the associated transport equation; and some averaged quantities to treat the discontinuities at the interface. The good behaviour of this approach is performed on both one and two spatial dimensions.

La fissuration à chaud est un défaut majeur rencontré en solidification des alliages d'aluminium. Elle est liée à l'incapacité du liquide de s'écouler dans les zones où des porosités sont présentes, ne permettant pas de les refermer avant qu'elles gagnent en volume. Pour comprendre la fissuration à chaud, il est crucial de développer nos connaissances du comportement mécanique de la zone pâteuse. Pour cela, il est très utile d'effectuer des expériences de microtomographie aux rayons X et des simulations mécaniques sur des volumes élémentaires représentatifs. Dans cette thèse, nous proposons de coupler les deux approches en initialisant une simulation par éléments finis grâce à des données de microtomographie issues d'un test de traction isotherme d'un alliage d'aluminium-cuivre à l'état pâteux. Cette approche originale nous donne directement accès à la réalité expérimentale et permet des comparaisons des évolutions numérique et expérimentale de l'éprouvette. Nous expliquons dans un premier temps comment obtenir la représentation numérique à l'aide de l'algorithme des marching cubes et de la méthode d'immersion de volume. Nous présentons ensuite notre modèle numérique qui s'appuie sur une résolution monolithique des équations de Stokes. Une fois le champ de vitesse obtenu dans l'ensemble des phases solide, liquide et gazeuse, nous utilisons une méthode level set dans un formalisme eulérien afin de faire évoluer la morphologie de notre échantillon numérique. Malgré la simplicité du modèle, les résultats expérimentaux et numériques montrent un accord raisonnable en ce qui concerne la propagation de l'air à l'intérieur de l'échantillon.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la simulation numérique d'écoulements instationnaires de deux fluides visqueux non miscibles, séparés par une interface mobile. Plus particulièrement des écoulements sans choc constitués d'une phase gazeuse et d'une phase liquide sont considérés. Pour modéliser de tels écoulements, une approche dans laquelle le gaz est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et le liquide par les équations de Navier-Stokes incompressible est proposée. C'est le couplage de ces deux modèles qui constitue l'originalité et l'enjeu principal de de cette thèse. Pour traiter cette difficulté majeure, une méthode globale (i.e. la même dans chaque phase) et simple à mettre en \oe uvre est élaborée. L'utilisation des équations de Navier-Stokes formulées de façon unifiée pour les inconnues primitives (pression, vitesse et température) constitue le point de départ pour la construction de notre méthode qui repose sur les composants suivants: - une méthode d'éléments finis stabilisés pour la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes; - une approche Level Set pour représenter précisément l'interface dont l'équation de transport a été résolue par une méthode de type Galerkin Discontinu; \item et des grandeurs moyennées pour traiter les discontinuités à l'interface. Le bon comportement de notre approche est illustré sur différents tests mono et bi-dimensionnels.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la simulation numérique de suspensions denses d'objets immergés dans un fluide. En s'inspirant d'une méthode de segmentation d'image, nous avons développé une méthode efficace de capture d'interface permettant d'une part de localiser les structures immergées et d'autre part de gérer les contacts numériques entre les structures.Le domaine fluide/structure est représenté à l'aide de trois fonctions labels et deux fonctions distances qui permettent de localiser chaque structure et son plus proche voisin.Les interfaces sont capturées par une seule fonction level set, celle-ci est ensuite transportée par la vitesse du fluide ou par la vitesse de chaque structure. Un algorithme de multi-label fast marching permet de réinitialiser à chaque pas de temps les fonctions labels et distances dans un périmètre proche des interfaces.La gestion des contacts numériques est effectuée grâce à une force répulsive à courte portée prenant en compte l'interaction entre les objets les plus proches.Dans un premier temps, la méthode est appliquée à l'évolution de solides rigides immergés.Un modèle de pénalisation global couplé aux fonctions labels permet de calculer en une seule fois l'ensemble des vitesses des structures rigides. Les résultats obtenus montrent l'efficacité de la méthode à gérer un grand nombre de solides.Nous avons ensuite appliqué la méthode des suspensions de vésicules immergées. Ce type de simulation requiert le calcul des forces élastiques et de courbures exercées sur les membranes. Grâce au modèle proposé, seulement une force élastique et une force de courbure sont calculées pour l'ensemble des membranes à l'aide de la fonction level set et des fonctions labels. / In this work, we propose a method to efficiently capture an arbitrary number of fluid/solid or fluid/fluid interfaces, in a level-set framework. This technique, borrowed from image analysis, is introduced in the context of the interaction of several bodies immersed in a fluid. A configuration of the bodies in the fluid/structure domain is described by three label maps providing the first and second neighbours, and their associated distance functions. Only one level set function captures the union of all interfaces and is transported with the fluid velocity or with a global velocity field which takes into account the velocity of each structure. A multi-label fast marching method is then performed in a narrow-band around the interfaces allowing to update the label and distance functions. Within this framework, the numerical treatment of contacts between the structures is achieved by a short-range repulsive force depending on the distance between the closest bodies.The method is validated through the simulation of a dense suspension of rigid bodies immersed in an incompressible fluid. A global penalization model uses the label maps to follow the solid bodies altogether without a separate computation of each body velocity. Consequently, the method shows its efficiency when dealing with a large number of rigid bodies. We also investigate the numerical simulation of vesicle suspensions for which a computation of elastic and bending forces on membranes is required. In the present model, only one elastic and bending force is computed for the whole set of membranes according to the level set function and the label maps.

Ce travail présente une technique de simulation de feux de forêt qui utilise la méthode Level-Set. On utilise une équation aux dérivées partielles pour déformer une surface sur laquelle est imbriqué notre front de flamme. Les bases mathématiques de la méthode Level-set sont présentées. On explique ensuite une méthode de réinitialisation permettant de traiter de manière robuste des données réelles et de diminuer le temps de calcul. On étudie ensuite l’effet de la présence d’obstacles dans le domaine de propagation du feu. Finalement, la question de la recherche du point d’ignition d’un incendie est abordée. / This work presents a forest fire simulation model which uses the Level-Set method. We use a partial differential equation to deform a surface on which our flame front is inscribed. The mathematical foundations of the Level-set method are presented. We then explain a reinitialization method that allows us to treat in a robust way real data and to reduce the calculation time. The effect of the presence of barriers in the fire propagation domain is also studied. Finally, we make an attempt to find the ignition point of a forest fire.

La fissuration à chaud est un défaut majeur rencontré en solidification des alliages d'aluminium. Elle est liée à l'incapacité du liquide de s'écouler dans les zones où des porosités sont présentes, ne permettant pas de les refermer avant qu'elles gagnent en volume. Pour comprendre la fissuration à chaud, il est crucial de développer nos connaissances du comportement mécanique de la zone pâteuse. Pour cela, il est très utile d'effectuer des expériences de microtomographie aux rayons X et des simulations mécaniques sur des volumes élémentaires représentatifs. Dans cette thèse, nous proposons de coupler les deux approches en initialisant une simulation par éléments finis grâce à des données de microtomographie issues d'un test de traction isotherme d'un alliage d'aluminium-cuivre à l'état pâteux. Cette approche originale nous donne directement accès à la réalité expérimentale et permet des comparaisons des évolutions numérique et expérimentale de l'éprouvette. Nous expliquons dans un premier temps comment obtenir la représentation numérique à l'aide de l'algorithme des marching cubes et de la méthode d'immersion de volume. Nous présentons ensuite notre modèle numérique qui s'appuie sur une résolution monolithique des équations de Stokes. Une fois le champ de vitesse obtenu dans l'ensemble des phases solide, liquide et gazeuse, nous utilisons une méthode level set dans un formalisme eulérien afin de faire évoluer la morphologie de notre échantillon numérique. Malgré la simplicité du modèle, les résultats expérimentaux et numériques montrent un accord raisonnable en ce qui concerne la propagation de l'air à l'intérieur de l'échantillon. / Hot tearing is a major defect arising during solidification of aluminium alloys. This defect is associated with the inability of liquid to feed areas where voids have started to appear, not allowing to heal small defects before they grow bigger. To understand hot tearing, it is mandatory to develop a good knowledge of the semi-solid mechanical behaviour. It is thus very useful to carry out X-ray microtomographies experiments and mechanical simulations on representative elementary volumes. In this work, we couple the both approaches by initialising a finite element simulation with the help of microtomography data obtained during an isothermal tensile testing of an aluminium-copper alloy in the mushy state. This innovative approach gives a direct access to the experimental reality and allows comparisons of numerical and experimental evolutions of the sample. We explain in a first time how to get the numerical representation thanks to a marching cubes algorithm and the immersed volume method. Then, we present our numerical model for which we solve the Stokes equations in a monolithic way. Once the velocity computed in all the solid, liquid and gaseous phases, we use a level set method in a Eulerian formalism to obtain the morphological evolution of our numerical sample. Despite the model simplicity, numerical and experimental results show a reasonable agreement concerning the air propagation inside the sample.

Les propriétés mécaniques et fonctionnelles des matériaux métalliques sont conditionnées par leurs microstructures, qui sont elles-mêmes héritées des traitements thermomécaniques subis. Etre capable de prévoir et simuler la microstructure et ses hétérogénéités lors des procédés de mise en forme complexes est récemment devenu crucial dans l'industrie métallurgique. C'est également un véritable challenge d'un point de vue numérique qui met en évidence l'importance des matériaux numériques dans les nouvelles méthodes de modélisation. Dans ce travail, nous nous intéressons à un modèle en champ complet récent basé sur la méthode level set (LS) dans un cadre éléments finis (EF) pour la modélisation des mécanismes de recristallisation.Les points forts de cette approche par rapport à l'état de l'art ont motivé le développement d'un logiciel appelé DIGIMU® par la société TRANSVALOR avec le soutien de grandes entreprises industrielles. Toutefois, le principal inconvénient de cette approche, commun aux autres méthodes en champ complet utilisant des maillages EF non structurés, reste son coût numérique important.Le principal objectif de ce travail a donc été d'améliorer considérablement le coût numérique de la formulation LS utilisée dans le contexte de maillages EF non structurés. De nouveaux développements génériques ont été réalisés pour améliorer l'efficacité globale du modèle. La formulation 2D LS existante, déjà utilisée pour modéliser la croissance de grains, la recristallisation statique et l'effet d'ancrage de Smith-Zener, a été étendue et améliorée afin de modéliser ces mécanismes en 3D pour des polycristaux à grand nombre de grains en des temps de calcul raisonnables. / Mechanical and functional properties of metallic materials are strongly related to their microstructures, which are themselves inherited from thermal and mechanical processing. Being able to accurately predict and simulate the microstructure and its heterogeneities after complex forming paths recently became crucial for the metallurgy industry. This is also a real challenge from a numerical point of view which highlights the importance of digital materials in new modeling techniques. In this work, we focus on a recent front-capturing full field model based on the level set (LS) method within a finite element (FE) framework to model recrystallization mechanisms.The strengths of this approach comparatively to the state of the art have motivated the development of a software package called DIGIMU® by the company TRANSVALOR with the support of major industrial companies. However, the main drawback of this approach, common with other front-capturing full field approaches working on unstructured FE meshes, is its important computational cost, especially in 3D.Main purpose of this work was finally to drastically improve the numerical cost of the considered LS-FE formulation in context of unstructured FE meshes. New generic numerical developments have been proposed to improve the global efficiency of the model. The existing 2D LS formulation, already used to model grain growth, static recrystallization and the Smith-Zener pinning effect, has been extended and improved in order to model these mechanisms in 3D for large-scale polycrystals with reasonable computational costs.

L'étude des mécanismes de formation d'un spray à partir d'un écoulement liquide-gaz est un sujet de recherche fondamental, et dont les applications industrielles sont nombreuses, notamment dans le domaine de la combustion et de la propulsion. La simulation numérique de tels écoulements apparaît comme un complément indispensable aux expériences et aux théories pour aboutir à une compréhension et à une prédiction fine de tels phénomènes physiques. Durant cette étude nous avons développé une technique numérique de suivi d'interface couplée à un solveur des équations de Navier-Stokes afin d'étudier précisément la dynamique de l'interface qui sépare la phase liquide de la phase gazeuse. Nous décrivons en détail la méthode Level Set qui a été utilisée durant cette étude pour suivre le mouvement de l'interface, ainsi que les techniques numériques utilisées pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Notamment différents schémas numériques sont testés pour que la précision du code de calcul développé soit optimal. Le couplage entre les équations du mouvement et le suivi d'interface peut être effectué par différentes techniques. L'utilisation de la Ghost Fluid Method pour réaliser ce couplage permet de préserver numériquement le caractère discontinu de l'interface liquide-gaz tout en proposant une discrétisation des équations précises et robustes. Les codes développés (2D, 3D parallélisation MPI) sont ensuite utilisés pour étudier des collisions de gouttes. Les comparaisons entre les résultats expérimentaux et les simulations numériques sont très probantes et mettent en valeur la prédictibilité des calculs effectués. D'autres configurations plus complexes sont étudiées dans le cadre d'une étude de faisabilité. L'étude de l'atomisation primaire d'un jet liquide continu en un spray de gouttelettes semble notamment être un domaine d'investigation particulièrement prometteur pour ce type de simulations. Enfin l'étude d'interfaces dites « réactives » comme la vaporisation d'un liquide et la propagation de flammes prémalangées a également été abordé en utilisant la Ghost Fluid Method pour imposer les conditions de saut spécifiques à ce type de phénomènes.

L'objet de cette thèse a été d'étudier la simulation numérique directe d'écoulements diphasiques de fluides non miscibles, incompressibles et isothermes avec la technique du raffinement adaptatif local de maillage. La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles est faite par le biais d'une méthode de projection explicite. La capture de l'interface est réalisée explicitement par la méthode Level Set. L'utilisation de la méthode Ghost Fluid pour le traitement des conditions de saut permet la résolution couplée des deux fluides. Le maillage adaptatif a été implémenté avec les librairies parallèles PARAMESH. Celles-ci gèrent la création d'un maillage construit par blocs qui peuvent être bissectés de façon récursive afin d'obtenir la résolution désirée. Les blocs ont tous le même nombre de cellules, ce qui permet une répartition efficace de la charge de travail en parallle. Un ensemble d'outils nécessaires à une correcte résolution des équations ont été développés, à partir d'un robuste solveur elliptique BiCG-stab préconditionné par méthode multigrille. Le code a été vérifié sur des cas tests académiques capable de maintenir la précision sur les grilles plus fines. Les performances du code en termes de réduction de charge de travail et d'efficacité de la parallelisation ont été également illustrées. Le code a été enfin testé sur la désintégration assistée d'une nappe liquide bidimensionnelle cisaillée par des courants gazeux à haute vitesse. Le code s'est avéré capable de retrouver certains phénomènes physiques comme l'oscillation longitudinale de la nappe, ainsi que de permettre une simulation multi échelles, ce qui permet de plus se rapprocher des conditions des injecteurs réels.