Cette thèse présente une méthode parallèle de résolution de systèmes linéaires creux basée sur un algorithme multigrille géométrique. Les estimations de la solution sont calculées par méthode directe sur le niveau grossier ou par méthode itérative de type splitting sur les maillages raffinés; des opérateurs inter-grilles sont définis pour interpoler les solutions approximatives entre les différents niveaux de raffinements. Ce solveur est utilisé dans le cadre de simulations électromagnétiques en 3D (équations de Maxwell en régime harmonique discrétisées par éléments finis de Nédélec de premier ordre) en tant que méthode stationnaire ou comme préconditionneur d’une méthode de Krylov (GMRES). / Multigrid algorithm. The system is solved thanks to a direct method on the coarse mesh anditerative splitting method on refined meshes; inter-grid operators are defined to interpolate theapproximate solutions on the different refinement levels. Applied to 3D electromagnetic simulations(Nédélec first order finite element approximation of time harmonic Maxwell equations) thissolver is used either as a stationary method or as a preconditioner for a Krylov subspace method(GMRES).

Dans le contexte de la fusion de données en imagerie médicale, cette thèse s'intéresse aux problèmes de recalage non-rigide en imagerie cérébrale, monomodalité et multimodalité. Dans un premier temps, nous avons développé une approche originale pour estimer une transformation $3D$ dense entre deux volumes IRM de deux sujets différents. Cette méthode est basée sur une estimation du flot optique, exprimé dans un cadre statistique robuste. Nous avons également proposé un schéma de minimisation efficace, à la fois multirésolution et multigrille, s'appuyant sur des contraintes anatomiques. Nous avons validé cette méthode sur des données synthétiques, puis sur une base de donnée de 18 sujets. Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au problème du recalage non-rigide multimodalité. Les images fonctionnelles IRMf, en acquisition EPI, présentent des déformations géométriques qui gênent l'interprétation des données fonctionnelles. Nous avons proposé un algorithme de recalage non-rigide multimodalité à l'aide d'une mesure de similarité adaptée, dans un cadre de minimisation multigrille. Dans un troisième temps, nous avons proposé un cadre de validation de méthodes de recalage non-rigides. 5 méthodes différentes, parmi lesquelles des approches classiques et des approches plus récentes, ont été évaluées sur la base de critères globaux (volume moyen, corrélation des Lvv, recouvrement des tissus anatomiques) et de critères locaux (recalage des sillons corticaux). Enfin, nous avons étudié des approches coopératives utilisant les processus de segmentation et de recalage. Basée sur une méthode de type ``ensemble de niveaux'', la segmentation de structures anatomiques peut être guidée par un champ grossier de déformation. Le recalage permet d'initialiser correctement les modèles déformables, entraînant une segmentation automatique, plus robuste, plus précise et considérablement plus rapide. D'autre part, la segmentation de structures anatomiques d'intérêt comme les sillons corticaux permet de contraindre le processus de recalage présenté dans la première partie. En particulier, le cadre statistique permet d'intégrer cette contrainte locale et éparse de manière naturelle. Sur la base de 18 sujets, nous avons montré l'apport de cette contrainte anatomique.

La thèse porte sur le développement d'algorithmes d'estimation rapides pour l'analyse modale de signaux multidimensionnels (R-D) présentant des problèmes de résolution et de complexité numérique. Un signal multidimensionnel de dimension R est la superposition de produits de R sinusoïdes. L'application visée est la spectroscopie RMN.Dans un premier temps, après un état de l'art des méthodes d'estimation dites « algébriques », nous proposons une méthode paramétrique basée sur les tenseurs. Celle-ci utilise le treillis multidimensionnel du tenseur du signal R-D et exploite la structure des vecteurs propres du sous-espace signal obtenus en utilisant la décomposition en valeurs singulières d'ordre supérieur. Contrairement à la plupart des approches tensorielles, la méthode proposée permet d'éviter la phase d'appariement des coordonnées des modes dans chacune des dimensions ou d'une diagonalisation conjointe. Dans un deuxième temps, le problème d'estimation modale multidimensionnelle est présenté comme un problème d'approximation parcimonieuse dans lequel le dictionnaire est obtenu par la discrétisation de fonctions exponentielles complexes. Afin d'atteindre une bonne résolution spectrale, il est nécessaire de choisir une grille très fine, ce qui conduit à la manipulation d'un dictionnaire de grande taille avec tous les problèmes calculatoires sous-jacents. Nous proposons alors une méthode originale qui consiste à combiner une approximation parcimonieuse et une approche multigrille sur plusieurs niveaux de résolution. L'approche est validée au travers de plusieurs exemples 1-D et 2-D. En outre, une étude sur l'influence du choix du dictionnaire initial sur la convergence est également menée. Les méthodes développées sont ensuite appliquées à l'estimation des paramètres de signaux de spectroscopie RMN 1-D et 2-D. Afin de réduire le coût de calcul dans le cas de signaux bidimensionnels de grande taille, nous proposons également une approche exploitant la notion de parcimonie simultanée, pour estimer les coordonnées des modes sur chacune des dimensions. La procédure consiste à effectuer deux approximations parcimonieuses 1-D suivies d'une phase de reformation des paires de modes 2-D / This thesis aims at the developpement of modal analysis algorithms for multidimensional signals (R-D) presenting resolution and numerical complexity problems. A multidimensional signal of dimension R is the superimposition of products of R monodimensional sinusoids. The intended application is NMR spectroscopy. Firstly, after a state-of-the-art on the so-called ''algebraic'' estimation methods, we propose a parametric method based on tensors. It uses the multidimensional tensor lattice of the R-D modal signal and exploits the eigenvectors structure of the signal subspace obtained using a higher-order singular value decomposition (HOSVD). Unlike most tensor-based eigenvalue approaches, modes estimated by the proposed method are automatically paired, thus it avoids a separate pairing step and joint diagonalization. Secondly, the multidimensional modal estimation problem is formulated as a sparse approximation problem in which the dictionary is obtained by the discretization of complex exponential functions. To achieve good spectral resolution, it is necessary to choose a very fine grid, which leads to handling a large dictionary with all the underlying computational problems. Hence, we propose a novel method that consists in combining a sparse approximation and a multigrid approach on several levels of resolution. The approach is demonstrated using several 1-D and 2-D examples. In addition, the influence of the initial dictionary on the algorithm convergence is also studied. The developed methods are then applied to estimate 1-D and 2-D NMR signal parameters. To reduce the computation cost in the case of large bidimensional signals, we also propose an approach exploiting the simultaneous sparsity principle to estimate the coordinates of the modes on each dimension. The procedure involves two 1-D sparse approximations followed by a 2-D modes painring step.

Les travaux présentés dans ce mémoire d'habilitation correspondent à des recherches effectuées depuis mon arrivée à Bordeaux en septembre 1999. J'ai choisi d'y présenter celles qui ont trait aux approches non-euclidiennes pour l'analyse d'image, la clé de voûte en étant la segmentation par modèle déformable. D'autres travaux plus amonts comme la topologie des espaces subdivisés et les invariants topologiques ou plus avals comme la reconstruction de colonne vertébrale en imagerie radiographique ne seront qu'évoqués. Ce choix, s'il peut sembler restrictif par rapport à une synthèse exhaustive de mes travaux, présente néanmoins une plus grande cohérence, à la fois dans les résultats et dans la démarche suivie. Ce mémoire montre notamment que l'utilisation d'autres géométries que la géométrie euclidienne classique, les géométries riemannienne et discrète, présente un intérêt certain en analyse d'images. Les modèles déformables constituent une technique classique de segmentation et de reconstruction en analyse d'image. Dans ce cadre, le problème de la segmentation est exprimé sous forme variationnelle, où la solution est idéalement le minimum d'une fonctionnelle. Pendant ma thèse, je m'étais déjà intéressé aux modèles hautement déformables, qui ont la double caractéristique de se baser uniquement sur l'information image pour repérer ses composantes et de pouvoir extraire des formes de complexité arbitraire. Pour assurer l'initialisation du modèle déformable, j'avais aussi mis en évidence les liens entre surfaces discrètes et triangulations d'isosurfaces. Ces premiers travaux expliquent le cheminement que j'ai suivi depuis dans mes recherches. En voulant attaquer deux problématiques fondamentales des modèles déformables (la minimisation du nombre de paramètres et de la complexité, la recherche d'une solution plus proche de l'optimale), j'ai été amené à changer l'espace de travail classique : l'espace euclidien. Le Chapitre 1 résume les approches classiques des modèles déformables, leurs différentes formulations, ainsi que les problématiques spécifiques auxquelles je me suis intéressé. Il montre enfin en quoi la formulation des modèles déformables dans des espaces non-euclidiens ouvre des pistes intéressantes pour les résoudre. La première voie explorée et résumée dans le Chapitre 2 est d'introduire une métrique riemannienne, variable dans l'espace et dépendante de l'information image locale. L'utilisation d'une autre métrique permet de déformer virtuellement l'espace afin de concentrer l'effort de calcul sur les zones d'intérêt de l'image. Une métrique judicieusement choisie permet d'adapter le nombre de paramètres du modèle déformable à la géométrie de la forme recherchée. Le modèle pourra ainsi se déplacer très vite sur les zones homogènes, extraire les parties droites, planes ou peu courbées avec très peu de paramètres, et conserver une grande précision sur les contours significatifs très courbés. Une telle approche conserve voire améliore la qualité et la robustesse de la segmentation, et minimise à la fois la complexité en temps et le nombre d'itérations avant convergence. La deuxième voie explorée parallèlement est le remplacement de l'espace euclidien continu par la grille cellulaire discrète. L'espace des formes possibles est alors fini tout en restant adapté à l'échantillonnage de l'image. D'autres techniques d'optimisation sont dès lors envisageables, la solution est bien définie et les problèmes numériques liés à la convergence d'un processus ne sont plus présents. Le Chapitre 3 décrit le principe suivi pour discrétiser le modèle déformable sur la grille cellulaire Z^n. Il présente les premiers résultats obtenus avec un algorithme de segmentation a posteriori. Il met aussi en évidence les problématiques soulevées par le passage au discret, problématiques qui se sont révélées être des voies de recherche par elles-mêmes. D'une part, il faut mettre au point des structures de données et des outils pour représenter les surfaces discrètes, pour mesurer leurs paramètres géométriques, et pour les faire évoluer. Le Chapitre 4 synthétise les travaux menés en ce sens. Cela nous conduit à proposer un nouveau formalisme algébrique pour représenter ces surfaces en dimension quelconque. Une étude précise des estimateurs géométriques discrets de tangente, de normale, de longueur et de courbure est ensuite conduite. Nous avons notamment évalué quantitativement leurs performances à basse échelle et proposé de nouveaux estimateurs pour les améliorer. Leurs propriétés asymptotiques lorsque la discrétisation est de plus en plus fine sont enfin discutées. D'autre part, le modèle déformable discret doit approcher au mieux le comportement du modèle déformable euclidien à résolution donnée mais aussi simuler de plus en plus exactement ce comportement lorsque la résolution augmente asymptotiquement. Les estimateurs géométriques discrets se doivent dès lors d'être convergents. En analysant finement la décomposition des courbes discrètes en segments discrets maximaux, nous avons obtenu des théorèmes de convergence ou de non-convergence de certains estimateurs. Le Chapitre 5 résume cette étude de la géométrie des courbes discrètes 2D et des propriétés géométriques asymptotiques du bord d'une discrétisation. Le mémoire se conclut par une synthèse des principaux résultats obtenus et montre les perspectives de recherche ouvertes par ces travaux.

Dans les transistors MOS (Métal Oxyde Semiconducteur) fortement submicroniques (<100 nm), l'augmentation de la densité d'intégration des composants s'accompagne d'une dégradation de certaines caractéristiques électriques (effets de canal court), tout particulièrement dans le régime sous le seuil. Parmi les solutions possibles pour atteindre les longueurs de grille de « fin de roadmap », les architectures MOSFET (Transistor à effet de champ de type MOS) à grille multiple sur SOI (Silicium sur Isolant) apparaissent particulièrement séduisantes, surtout en termes de contrôle électrostatique. <br />Grâce au simulateur particulaire MONACO de type Monte Carlo, ce travail commence par analyser la transition apparaissant dans les transistors ultracourts entre un régime de transport diffusif vers un régime de plus en plus balistique. D'après notre étude, les dispositifs ultimes devraient délivrer des courants très proches de la limite balistique.<br />Ensuite, l'optimisation du dimensionnement de tels transistors MOS à grille multiple sur SOI a été étudiée, entre autres pour limiter l'augmentation des impédances parasites. Le meilleur compromis entre comportement sous le seuil acceptable et rapidité est obtenu dans le cas des architectures à double grille.<br />Enfin, une nouvelle version très novatrice du logiciel MONACO développée durant cette thèse est présentée. Par résolution de l'équation de Schrödinger 1D, elle permet la prise en compte des effets de quantification d'énergie qui ont lieu perpendiculairement à la direction du transport de charges 2Dk, c'est à dire selon l'axe des grilles, dans les MOSFET à double grille ultra courts qui sont aussi ultrafins.

Ce travail se situe dans le cadre de la modélisation numérique par éléments finis du procédé de forgeage à chaud des métaux. Il a pour but l'optimisation du logiciel de simulation numérique tridimensionnelle Forge 3. Il s'oriente autour de deux points bloquants pour une utilisation de ce logiciel: des problèmes de précision sur la surface de contact entre la pièce et l'outil et un temps de calcul élevé. Dans la première partie, on étudie le problème du contact unilatéral. En partant de la méthode de pénalisation existant, on améliore l'algorithme de contact par la mise en place d'un algorithme implicite. On valide ces développements sur plusieurs cas de forgeage où l'on montre l'apport du nouvel algorithme en terme de précision de gestion de la surface entre la pièce et l'outil. Dans la seconde partie, on traite du problème de temps de calcul. Malgré la mise en place d'une méthode de calcul parallèle les délais de calcul pour une simulation tridimensionnelle restent très élevés. Nos travaux ont donc consisté à remplacer le solveur de type résidu minimal implémenté dans Forge 3 par une méthode asymptotiquement optimale basée sur l'utilisation de multigrilles. Nous avons développé une méthode originale utilisant la méthode de résidu minimal comme lisseur et une méthode de raffinement de maillage pour la construction des différents niveaux. Nous avons optimisé cet algorithme en introduisant en particulier un préconditionneur utilisant une factorisation de Crout incomplète pour les résolutions grille grossière. Les résultats obtenus en bigrille sur différents cas de forgeage sont excellents et les quelques résultats sur un calcul avec trois niveaux de maillage sont très encourageants.

Le calcul numérique du champ électrique ou magnétique intervient aussi bien dans la mise au point d'outils de communication performants que dans les problèmes de compatibilité électromagnétique des systèmes électriques ou de modélisation de l'interaction champ-vivant. Ce calcul est fréquemment fondé sur la discrétisation des équations de Maxwell par la méthode des éléments finis d'arête. Il conduit alors à la résolution d'un système linéaire creux mais généralement de grande taille.<br /><br />L'objectif de ce travail est de proposer une méthode multiniveau algébrique pour la résolution des systèmes linéaires issus d'une discrétisation par la méthode des éléments finis d'arête. En effet, les méthodes itératives multiniveau construisent des algorithmes qui s'avèrent être les plus performants pour certaines classes l'équations aux dérivées partielles. Ces méthodes s'appuient, dans leur version géométrique, sur une hiérarchie de maillages emboîtés. Cependant pour des applications réalistes cette hiérarchie ne peut pas toujours être construite et il faut définir algébriquement les différents niveaux.<br /><br />La stratégie algébrique de définition des niveaux grossiers que nous proposons repose sur la construction de fonctions grossières nodales et d'arête vérifiant une contrainte de compatibilité. En outre, les fonctions grossières d'arête doivent minimiser une fonctionnelle d'énergie. Ce problème de minimisation avec contrainte est résolu par deux techniques : l'une utilise les multiplicateurs de Lagrange, l'autre s'appuie sur la résolution d'une suite de problèmes de flot dans un graphe. Des expériences numériques illustrent les performances de différentes versions de notre méthode.

Le sujet de cette thèse est le développement de méthodes itératives permettant la résolution degrands systèmes linéaires creux d'équations présentant plusieurs seconds membres simultanément. Ces méthodes seront en particulier utilisées dans le cadre d'une application géophysique : la migration sismique visant à simuler la propagation d'ondes sous la surface de la terre. Le problème prend la forme d'une équation d'Helmholtz dans le domaine fréquentiel en trois dimensions, discrétisée par des différences finies et donnant lieu à un système linéaire creux, complexe, non-symétrique, non-hermitien. De plus, lorsque de grands nombres d'onde sont considérés, cette matrice possède une taille élevée et est indéfinie. Du fait de ces propriétés, nous nous proposons d'étudier des méthodes de Krylov préconditionnées par des techniques hiérarchiques deux niveaux. Un tel pre-conditionnement s'est montré particulièrement efficace en deux dimensions et le but de cette thèse est de relever le défi de l'adapter au cas tridimensionel. Pour ce faire, des méthodes de Krylov sont utilisées à la fois comme lisseur et comme méthode de résolution du problème grossier. Ces derniers choix induisent l'emploi de méthodes de Krylov dites flexibles. / The topic of this PhD thesis is the development of iterative methods for the solution of large sparse linear systems of equations with possibly multiple right-hand sides given at once. These methods will be used for a specific application in geophysics - seismic migration - related to the simulation of wave propagation in the subsurface of the Earth. Here the three-dimensional Helmholtz equation written in the frequency domain is considered. The finite difference discretization of the Helmholtz equation with the Perfect Matched Layer formulation produces, when high frequencies are considered, a complex linear system which is large, non-symmetric, non-Hermitian, indefinite and sparse. Thus we propose to study preconditioned flexible Krylov subspace methods, especially minimum residual norm methods, to solve this class of problems. As a preconditioner we consider multi-level techniques and especially focus on a two-level method. This twolevel preconditioner has shown efficient for two-dimensional applications and the purpose of this thesis is to extend this to the challenging three-dimensional case. This leads us to propose and analyze a perturbed two-level preconditioner for a flexible Krylov subspace method, where Krylov methods are used both as smoother and as approximate coarse grid solver.

Avec le développement des techniques d’imagerie telles que la tomographie par rayons X au cours des dernières années, il est maintenant possible de prendre en compte la microstructure réelle dans les simulations des matériaux composites. Cependant, la complexité des composites tels que des fibres inclinées et brisées, les vides, exige un grand nombre des données à l’échelle microscopique pour décrire ces détails et amène ainsi des problèmes difficiles en termes de temps de calcul et de mémoire lors de l’utilisation de méthodes de simulation traditionnelles comme la méthode Eléments Finis. Ces problèmes deviennent encore plus sérieux dans la simulation de l’endommagement, comme la propagation des fissures. Par conséquent, il est nécessaire d’étudier des méthodes numériques plus efficaces pour ce genre de problèmes à grande échelle. La méthode Multigrille (MG) est une méthode qui peut être efficace parce que son coût de calcul est proportionnel au nombre d’inconnues. Dans cette thèse, un solveur de MG efficace pour ces problèmes est développé. La méthode MG est appliquée pour résoudre le problème d’élasticité statique basé sur l’équation de Lamé et aussi le problème de la propagation de fissures basé sur une méthode de champ de phase. La précision des solutions MG est validée par une solution analytique classique d’Eshelby. Ensuite, le solveur MG est développé pour étudier le processus d’homogénéisation des composites et ses solutions sont comparées avec des solutions existantes de la littérature. Après cela, le programme de calcul MG est appliqué pour simuler l’effet de bord libre dans les matériaux composites stratifiés. Une structure stratifiée réelle donnée par tomographie X est d’abord simulé. Enfin, le solveur MG est encore développé, combinant une méthode de champ de phase, pour simuler la rupture quasi-fragile. La méthode MG présente l’efficacité à la fois en temps de calcul et en mémoire pour résoudre les problèmes ci-dessus. / With the development of imaging techniques like X-Ray tomography in recent years, it is now possible to take into account the microscopic details in composite material simulations. However, the composites' complex nature such as inclined and broken fibers, voids, requires rich data to describe these details and thus brings challenging problems in terms of computational time and memory when using traditional simulation methods like the Finite Element Method. These problems become even more severe in simulating failure processes like crack propagation. Hence, it is necessary to investigate more efficient numerical methods for this kind of large scale problems. The MultiGrid (MG) method is such an efficient method, as its computational cost is proportional to the number of unknowns. In this thesis, an efficient MG solver is developed for these problems. The MG method is applied to solve the static elasticity problem based on the Lame's equation and the crack propagation problem based on a phase field method. The accuracy of the MG solutions is validated with Eshelby's classic analytic solution. Then the MG solver is developed to investigate the composite homogenization process and its solutions are compared with existing solutions in the literature. After that, the MG solver is applied to simulate the free-edge effect in laminated composites. A real laminated structure using X-Ray tomography is first simulated. At last, the MG solver is further developed, combined with a phase field method, to simulate the brittle crack propagation. The MG method demonstrates its efficiency both in time and memory dimensions for solving the above problems.

L'objet de cette thèse a été d'étudier la simulation numérique directe d'écoulements diphasiques de fluides non miscibles, incompressibles et isothermes avec la technique du raffinement adaptatif local de maillage. La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles est faite par le biais d'une méthode de projection explicite. La capture de l'interface est réalisée explicitement par la méthode Level Set. L'utilisation de la méthode Ghost Fluid pour le traitement des conditions de saut permet la résolution couplée des deux fluides. Le maillage adaptatif a été implémenté avec les librairies parallèles PARAMESH. Celles-ci gèrent la création d'un maillage construit par blocs qui peuvent être bissectés de façon récursive afin d'obtenir la résolution désirée. Les blocs ont tous le même nombre de cellules, ce qui permet une répartition efficace de la charge de travail en parallle. Un ensemble d'outils nécessaires à une correcte résolution des équations ont été développés, à partir d'un robuste solveur elliptique BiCG-stab préconditionné par méthode multigrille. Le code a été vérifié sur des cas tests académiques capable de maintenir la précision sur les grilles plus fines. Les performances du code en termes de réduction de charge de travail et d'efficacité de la parallelisation ont été également illustrées. Le code a été enfin testé sur la désintégration assistée d'une nappe liquide bidimensionnelle cisaillée par des courants gazeux à haute vitesse. Le code s'est avéré capable de retrouver certains phénomènes physiques comme l'oscillation longitudinale de la nappe, ainsi que de permettre une simulation multi échelles, ce qui permet de plus se rapprocher des conditions des injecteurs réels.