Le travail présenté ici avait pour but le développement d'un schéma de type Galerkin discontinu (GD) d'ordre élevé pour la résolution des équations de la dynamique des gaz écrites dans un formalisme Lagrangien total, sur des maillages bi-dimensionnels totalement déstructurés. A cette fin, une méthode progressive a été utilisée afin d'étudier étape par étape les difficultés numériques inhérentes à la discrétisation Galerkin discontinue ainsi qu'aux équations de la dynamique des gaz Lagrangienne. Par conséquent, nous avons développé dans un premier temps des schémas de type Galerkin discontinu jusqu'à l'ordre trois pour la résolution des lois de conservation scalaires mono-dimensionnelles et bi-dimensionnelles sur des maillages déstructurés. La particularité principale de la discrétisation GD présentée est l'utilisation des bases polynomiales de Taylor. Ces dernières permettent, dans le cadre de maillages bi-dimensionnels déstructurés, une prise en compte globale et unifiée des différentes géométries. Une procédure de limitation hiérarchique, basée aux noeuds et préservant les extrema réguliers a été mise en place, ainsi qu'une forme générale des flux numériques assurant une stabilité globale L2 de la solution. Ensuite, nous avons tâché d'appliquer la discrétisation Galerkin discontinue développée aux systèmes mono-dimensionnels de lois de conservation comme celui de l'acoustique, de Saint-Venant et de la dynamique des gaz Lagrangienne. Nous avons noté au cours de cette étude que l'application directe de la limitation mise en place dans le cadre des lois de conservation scalaires, aux variables physiques des systèmes mono-dimensionnels étudiés provoquait l'apparition d'oscillations parasites. En conséquence, une procédure de limitation basée sur les variables caractéristiques a été développée. Dans le cas de la dynamique des gaz, les flux numériques ont été construits afin que le système satisfasse une inégalité entropique globale. Fort de l'expérience acquise, nous avons appliqué la discrétisation GD mise en place aux équations bi-dimensionnelles de la dynamique des gaz, écrites dans un formalisme Lagrangien total. Dans ce cadre, le domaine de référence est fixe. Cependant, il est nécessaire de suivre l'évolution temporelle de la matrice jacobienne associée à la transformation Lagrange-Euler de l'écoulement, à savoir le tenseur gradient de déformation. Dans le travail présent, la transformation résultant de l'écoulement est discrétisée de manière continue à l'aide d'une base Éléments Finis. Cela permet une approximation du tenseur gradient de déformation vérifiant l'identité essentielle de Piola. La discrétisation des lois de conservation physiques sur le volume spécifique, le moment et l'énergie totale repose sur une méthode Galerkin discontinu. Le schéma est construit de sorte à satisfaire de manière exacte la loi de conservation géométrique (GCL). Dans le cas du schéma d'ordre trois, le champ de vitesse étant quadratique, la géométrie doit pouvoir se courber. Pour ce faire, des courbes de Bézier sont utilisées pour la paramétrisation des bords des cellules du maillage. Nous illustrons la robustesse et la précision des schémas mis en place à l'aide d'un grand nombre de cas tests pertinents, ainsi que par une étude de taux de convergence.

Cette thèse vise à développer et évaluer la méthode de Galerkin discontinue (DG) pour la simulationdes grandes échelles (LES) des écoulements turbulents. L'approche DG présente un nombre d'avantages intéressants pour la LES : ordre élevé, stencil compact, prise en compte des maillages non structurés et expression de la solution numérique dans une base de polynômes permettant l'utilisation de modèles de turbulence multi-échelle. Parmi ce type de modèles, nous nous sommes intéressés ici à la méthode Variational Multiscale (VMS) qui consiste à séparer les échelles résolues dans la base de polynômes pour restreindre l'influence du modèle à une gamme réduite d'échelles. Les modèles considérés ont été paramétrés en prenant en compte les fonctions de transfert spécifiques aux discrétisations DG. La précision de la méthode pour la représentation de phénomènes turbulents variés a été évaluée à travers la réalisation de DNS de configurations académiques. Enfin, l'approche VMS/DGa été éprouvée sur des configurations simples à haut nombre de Reynolds. Il apparaît que cette méthodologie permet la représentation précise des phénomènes turbulents pour un coût réduit en terme de degrés de liberté.

Ce travail est consacré au développement d'un outil numérique simulant l'expansion d'une mousse polymère. Un volume de mousse est décrit par un ensemble de bulles de gaz évoluant dans une matrice polymère. Son expansion est provoquée par la surpression du gaz. Un système d'équations décrivant les champs de vitesse et de pression est établi dans le liquide et dans le gaz. Le calcul de la pression du gaz, homogène dans chaque bulle, nécessite de connaître individuellement l'emplacement de chaque bulle: notre approche est multidomaine. Dans un contexte eulérien, chaque domaine est suivi par sa fonction caractéristique, laquelle est solution d'une équation de transport. Cette équation, purement convective, est résolue par une méthode éléments finis espace-temps Galerkin discontinu. Cette méthode est implicite: sa stabilité ne dépend pas du pas de temps. Une technique de r-adaptation de maillage diminue la diffusion liée à la discrétisation, et améliore la description des interfaces. Enfin, le domaine de calcul croît avec les bulles. Cette expansion globale préserve la géométrie du domaine, ainsi que la quantité de liquide contenue dans ce domaine. Cette méthodologie permet de simuler la formation d'une structure cellulaire: le taux de gaz passe de quelques pourcent à 80%, le liquide est piégé entre les bulles, et les cellules adoptent des formes polyédriques. L'approche locale développée est appliquée pour établir l'évolution de la viscosité et de la vitesse d'expansion d'un échantillon de mousse en fonction de sa structure. Un passage micro-macro permet d'utiliser ces lois pour simuler l'expansion macroscopique d'une mousse.

Ce travail de thèse s’inscrit dans l’effort de réduction des nuisances sonores dues à la soufflante d’unréacteur double-flux à l’aide de matériaux absorbants acoustiques, appelés communément «liners». Afind’optimiser ces traitements acoustiques, il convient d’étudier en détail la physique de la propagationacoustique en présence de liner. De plus, il s’agit d’améliorer la compréhension des instabilités hydrodynamiquespouvant se développer sur un liner sous des conditions particulières et possiblement génératricesde bruit. Ce travail de thèse a consisté à développer un code de calcul en formulation Galerkin discontinuepour l’analyse modale et la stabilité dans un conduit traité acoustiquement, code qui a été appliqué à desconfigurations réalistes, en considérant une section transverse ou longitudinale d’un conduit. Les étudesmodales réalisées dans la section transverse ont apporté des informations sur la propagation acoustiquedans une nacelle de turbofan avec des discontinuités du traitement acoustique («splices»), ainsi que dansle banc B2A de l’ONERA. Les calculs dans la section longitudinale ont nécessité l’implantation de conditionsaux limites PML pour tronquer le domaine de calcul, ainsi que d’une condition aux limites sur leliner, modélisée en domaine temporel à partir d’une extension de travaux existants dans la littérature.Avec ces outils, le code a permis de mettre en évidence une dynamique de type amplificateur de bruit dueau développement d’une instabilité hydrodynamique sur le liner en présence d’écoulement cisaillé ainsiqu’un rayonnement acoustique en amont et en aval du conduit dû à cette instabilité. / The current work deals with the reduction of aircraft engine fan noise using acoustic lining. In orderto optimise these liners, it is necessary to deeply understand the physics of acoustic wave propagation in lined ducts and to have a better knowledge of the hydrodynamic instabilities existing under particular conditions and likely to radiate noise. This work is about the development of a discontinuous Galerkin solver for modal and stability analysis in lined flow duct and the application of this solver to realistic configurations by considering the transverse or longitudinal section of a duct. The modal studies in the transverse section brought informations on acoustic propagation in a turbofan nacelle with lining discontinuities (“splices”) and in the B2A bench of ONERA. The computation in the longitudinal section of a duct required the implementation of PML boundary conditions in order to truncate the computational domain and of a boundary condition at the lined wall, modeled in temporal domain by the enhancement of a method published in the literature. With these features, the application of the solver highlighted a noise amplifier dynamics caused by the development of a hydrodynamic instability on the liner with sheared flow and a noise radiation mechanism upstream and downstream the lined section.

On s'intéresse dans ce travail à la simulation et l'approximation d'écoulements diphasiques avec transition de phase. Il s'agit de modéliser la dynamique d'une bulle de cavitation. Le modèle repose sur les équations d'Euler en coordonnées sphériques, l'interface gaz-liquide étant indiquée par une fonction de couleur. Dans une première partie, aucun transfert de masse n'est supposé. Un schéma Lagrange-projection est d'abord proposé : seule l'interface est déplacée à la vitesse du fluide. La projection repose sur un algorithme de suppression-découpage qui assure que les volumes ne deviennent pas négatifs. Le second chapitre traite du terme source géométrique. On construit un schéma équilibre articulé autour du schéma VFRoe-ncv pour lequel on propose une correction entropique non paramétrique. Un méthode d'ordre élevé de type Galerkin discontinu est ensuite étudiée dans le cadre de la magnétohydrodynamique. L'intégration en temps est réalisée par une méthode de type Adams-Bashforth, qui s'avère bien adaptée aux algorithmes de pas de temps local. La deuxième partie de la thèse traite de la modélisation du changement de phase liquide-vapeur. L'inf-convolution et la transformée de Legendre définissent une structure naturelle pour la construction de loi de pression de mélange. En particulier on montre que la construction de Maxwell est équivalente à la construction de l'enveloppe convexe de l'énergie de van der Waals. Un algorithme de transformée de Legendre rapide, adapté à la prise en compte correcte des bords du domaine de calcul de loi d'état, est développé. La méthode est appliquée à la construction de lois de pression tabulées de mélanges binaires miscibles ou immiscibles de gaz raides.

Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de noeuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type /hp/, qui combine /h-/raffinement et /p/-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul.<br />Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre<br />arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence /hp a priori/ ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue.<br />De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.

Cette thèse vise à développer et évaluer la méthode de Galerkin discontinue (DG) pour la simulationdes grandes échelles (LES) des écoulements turbulents. L’approche DG présente un nombre d’avantages intéressants pour la LES : ordre élevé, stencil compact, prise en compte des maillages non structurés et expression de la solution numérique dans une base de polynômes permettant l’utilisation de modèles de turbulence multi-échelle. Parmi ce type de modèles, nous nous sommes intéressés ici à la méthode Variational Multiscale (VMS) qui consiste à séparer les échelles résolues dans la base de polynômes pour restreindre l’influence du modèle à une gamme réduite d’échelles. Les modèles considérés ont été paramétrés en prenant en compte les fonctions de transfert spécifiques aux discrétisations DG. La précision de la méthode pour la représentation de phénomènes turbulents variés a été évaluée à travers la réalisation de DNS de configurations académiques. Enfin, l’approche VMS/DGa été éprouvée sur des configurations simples à haut nombre de Reynolds. Il apparaît que cette méthodologie permet la représentation précise des phénomènes turbulents pour un coût réduit en terme de degrés de liberté. / This work focuses on the development of the Discontinuous Galerkin (DG) method for the large-eddy simulation (LES) of turbulents flows. The DG method shows some interesting properties for LES : high-order of accuracy, compact stencil, unstructured meshes and amodal polynomial basis which can be used to implement multiscale turbulence models. We consider in this work the Variational Multiscale approach (VMS), which consists in splitting the resolved scales into two components using the modal basis in order to restrict the action of the model to a given range of small scales. The models have been tuned using the transfer functions of the DG hp-discretizations. The accuracy of the DG method for the representation of turbulent phenomena has been assessed through DNS of free and wall-bounded canonical flows. Finally, the VMS/DG approach has been assessed for simple configurations at high Reynolds numbers. We have shown that this particular approach allows for an accurate representation of turbulent flows for coarse discretizations.

L'idée d'utiliser des bases d'ondelettes dans l'analyse numérique (résolution des équations elliptiques, aux dérivées partielles, intégrales) s'est imposée depuis que ces bases ont fait preuve de leur efficacité dans le traitement du signal. Deux problèmes se posent quant au calcul de la solution dans une base d'ondelettes : - problème 1 : l'étude de la structure de la matrice associée à un noyau K d'un opérateur intégral T dans une base d'ondelettes ; - problème 2 : l'adaptation des techniques de discrétisation de Galerkin aux bases d'ondelettes. Cette thèse contribue à l'étude de ces problèmes par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs définis par leur matrice représentative dans une base d'ondelettes et caractérisés par les dérivées fractionnaires de leurs noyaux.

Cette étude concerne le développement d'une méthode Galerkin discontinue d'ordre élevé en domaine temporel (DGTD), flexible et efficace, pour la résolution des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes destructurés et reposant sur des schémas d'intégration en temps explicites. Les composantes du champ électromagnétique sont approximées localement par des méthodes d'interpolation polynomiale et la continuité entre éléments adjacents est renforcée de façon faible par un schéma centré pour le calcul du flux numérique à travers les interfaces du maillage. L'objectif de cette thèse est de remplir deux objectifs complémentaires. D'une part, améliorer la flexibilité de l'approximation polynomiale en vue du développement de méthodes DGTD p-adaptatives par l'étude de différentes méthodes d'interpolation polynomiale. Plusieurs aspects tels que la nature nodale ou modale de l'ensemble des fonctions de bases associées, leur éventuelle structure hiérarchique, le conditionnement des matrices élémentaires à inverser, les propriétés spectrales de l'interpolation ou la simplicité de programmation sont étudiés. D'autre part, augmenter l'efficacité de l'approximation temporelle sur des maillages localement raffinés en utilisant une stratégie de pas de temps local. Nous développerons finalement dans cette étude une méthodologie de calcul haute performance pour exploiter la localité et le parallélisme inhérents aux méthodes DGTD combinés aux capacités de calcul sur carte graphique. La combinaison de ces caractéristiques modernes résulte en une amélioration importante de l'efficacité et en une réduction significative du temps de calcul.