Made available in DSpace on 2016-08-29T15:33:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_4169_.pdf: 1286337 bytes, checksum: 39c4698e061db5cf5177b1968c611fc0 (MD5) Previous issue date: 2012-08-28 / Este trabalho apresenta uma implementação do método de elementos finitos para resolver o sistema de equações de Euler compressíveis bidimensionais em variáveis conservativas, usando a formulação estabilizada submalha Difusão Dinâmica, considerando escalas submalhas estáticas e transientes. O método Difusão Dinâmica é baseado no formalismo multiescala e foi proposto para resolver problemas de transporte predominantemente convectivos. Um operador dissipativo não linear é acrescentado ao método de Galerkin adicionando uma difusão artificial não parametrizada em todas as escalas da discretização. Além disso, estamos considerando que as escalas submalhas variam em função do tempo. Dessa forma, apresentamos uma expressão para representá-las em cada passo de tempo. Um algoritmo preditor multicorretor de segunda ordem é utilizado para a integração no tempo e os sistemas lineares resultantes em cada correção são resolvidos pelo método iterativo GMRES. São considerados um conjunto de experimentos clássicos tais como, choque normal, choque oblíquo e choque refletido para aferir a acuidade da solução aproximada encontrada. Os experimentos numéricos realizados demonstram que o método Difusão Dinâmica com subescalas transientes obtém soluções mais precisas do que os métodos estabilizados SUPG/CAU e SUPG/YZβ.

Quatro novos métodos de elementos finitos destinados a resolução de problemas de reacao-difusao singularmente perturbados, e designados por método de Galerkin enriquecido (MGE), metodo estabilizado multiescala (MEMp) e (MEM-g), e método enriquecido de Petrov-Galerkin descontinuo no tempo (MEPGDT), são propostos. Os três primeiros métodos são dedicados a resolução da equação de reacao-difusao estacionaria, enquanto que o ultimo e proposto para resolver a equacao de reacao-difusao transiente. Estimativas a priori de erro ótimas nas normas naturais L2 e H1 são derivadas para os métodos MGE, MEM-p e MEM-g. Para o MEPGDT, uma estimativa a priori de erro otima na norma da energia, e fornecida. As taxas de convergência teóricas são confirmadas atraves de diversos experimentos numéricos. Os novos métodos numéricos são também validados numericamente através da resolução de problemas singularmente perturbados que demonstram a ótima performance dos novos métodos propostos. / Four new finite element methods, namely, Galerkin Enriched Method (MGE),Multiscale Stabilizad Method (MEM-p) and (MEM-g), and time-discontinuous Petrov-Galerkin Enriched Method (MEPGDT), are proposed to solve singularly perturbed reaction-difuusion problems. We dedicated the first three methods for solving stationary reaction-di_usion equation, while the latter handles the transient case. Optimal a priori error estimates in L2 and H1 norm for MGE, MEM-p and MEM-g are derived. For MEPGDT, a priori optimal error estimate in the energy norm is provided. Theoretical convergence rates are con_rmed and further investigated by numerical experiments. Also, the methods are validated through several numerical tests of singularly perturbed type, which demonstrate their good performance.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Honorio.pdf: 2417164 bytes, checksum: a4c625e867c8db83246b723571784aae (MD5) Previous issue date: 2010-07-30 / Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / Four new finite element methods, namely, Galerkin Enriched Method (MGE),Multiscale Stabilizad Method (MEM-p) and (MEM-g), and time-discontinuous Petrov-Galerkin Enriched Method (MEPGDT), are proposed to solve singularly perturbed reaction-difuusion problems. We dedicated the first three methods for solving stationary reaction-di_usion equation, while the latter handles the transient case. Optimal a priori error estimates in L2 and H1 norm for MGE, MEM-p and MEM-g are derived. For MEPGDT, a priori optimal error estimate in the energy norm is provided. Theoretical convergence rates are con_rmed and further investigated by numerical experiments. Also, the methods are validated through several numerical tests of singularly perturbed type, which demonstrate their good performance. / Quatro novos métodos de elementos finitos destinados a resolução de problemas de reacao-difusao singularmente perturbados, e designados por método de Galerkin enriquecido (MGE), metodo estabilizado multiescala (MEMp) e (MEM-g), e método enriquecido de Petrov-Galerkin descontinuo no tempo (MEPGDT), são propostos. Os três primeiros métodos são dedicados a resolução da equação de reacao-difusao estacionaria, enquanto que o ultimo e proposto para resolver a equacao de reacao-difusao transiente. Estimativas a priori de erro ótimas nas normas naturais L2 e H1 são derivadas para os métodos MGE, MEM-p e MEM-g. Para o MEPGDT, uma estimativa a priori de erro otima na norma da energia, e fornecida. As taxas de convergência teóricas são confirmadas atraves de diversos experimentos numéricos. Os novos métodos numéricos são também validados numericamente através da resolução de problemas singularmente perturbados que demonstram a ótima performance dos novos métodos propostos.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:51:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Apresentacao.pdf: 101300 bytes, checksum: 62de93a7615eeb9b5d3dd49f5ba22f68 (MD5) Previous issue date: 2006-03-28 / Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior / This work deals with the stability analysis of the fully discrete transport problem obtained using a stable finite element method in space and the generalized trapeizoidal family of methods in time. Depeding on the range of parameters the Galerkin and the Streamline Upwind Petrov-Galerkin Methods are introduced. We evaluate the accuracy and stability properties of the methods. The sawtooth pattern in time is observed,caused by spurious higher modes when Crank-Nicolson method is used. We derive a stability analysis of the fully discrete method and investigate the techniques proposed in literature to damp oscillations. We propose a new stability condition to overcome the spurious modes. The proposed methodology is apllied to a one-dimensional contaminant transport problems in a saturated porous media that considers a radioactive contaminant decay at a constant rate. / Nesta dissertação apresenta-se a análise de métodos totalmente discretos, estabilizados espacialmente, para a resolução de problemas de transporte unidimensionais convectivos-difusivos-reativos, lineares e transientes que modelam o transporte de contaminantes radioativos com decaimento a uma taxa constante em um meio poroso saturado. O método de elementos finitos clássico de Galerkin é usado no espaço quando o problema de transporte é pura e/ou predominantemente difusivo, ao passo que quando a convecção domina, o método SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) é utilizado. O método de elementos finitos é combinado a um esquema discreto de integração no tempo, os algoritmos trapezoidais generalizados. Observa-se que a solução aproximada pode apresentar oscilações espúrias quando o método de Crank-Nicolson é utilizado. São consideradas diversas metodologias propostas na literatura para amortecer tais oscilações. Como consequência da análise de estabilidade desenvolvida, uma nova condição de estabilidade é proposta.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:51:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_danieltf.pdf: 1240547 bytes, checksum: d1fac8fed2c288c3581c57065cf2c0c2 (MD5) Previous issue date: 2009-03-02 / Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / It is well known that classical finite elements or finite difference methods for Helmholtz problem present pollution effects that can severely deteriorate the quality of the approximate solution. To control pollution effects is especially difficult on non uniform meshes. For uniform meshes of square elements pollution effects can be minimized with the Quasi Stabilized Finite Element Method (QSFEM) proposed by Babus\v ska el al, for example. In the present work we initially present two relatively simple Petrov-Galerkin finite element methods, referred here as RPPG (Reduced Pollution Petrov-Galerkin) and QSPG (Quasi Stabilized Petrov-Galerkin), with reasonable robustness to some type of mesh distortion. The QSPG also shows minimal pollution, identical to QSFEM, for uniform meshes with square elements. Next we formulate the QOFD (Quasi Stabilized Finite Difference) method, a finite difference method for unstructured meshes. The QOFD shows great robustness relative to element distortion, but requires extra work to consider non-essential boundary conditions and source terms. Finally we present a Quasi Optimal Petrov-Galerkin (QOPG) finite element method. To formulate the QOPG we use the same approach introduced for the QOFD, leading to the same accuracy and robustness on distorted meshes, but constructed based on consistent variational formulation. Numerical results are presented illustrating the behavior of all methods developed compared to Galerkin, GLS and QSFEM. / É bem sabido que métodos clássicos de elementos finitos e diferenças finitas para o problema de Helmholtz apresentam efeito de poluição, que pode deteriorar seriamente a qualidade da solução aproximada. Controlar o efeito de poluição é especialmente difícil quando são utilizadas malhas não uniformes. Para malhas uniformes com elementos quadrados são conhecidos métodos (p. e. o QSFEM, proposto por Babuska et al) que minimizam a poluição. Neste trabalho apresentamos inicialmente dois métodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin com formulação relativamente simples, o RPPG e o QSPG, ambos com razoável robustez para certos tipos de distorções dos elementos. O QSPG apresenta ainda poluição mínima para elementos quadrados. Em seguida é formulado o QOFD, um método de diferenças finitas aplicável a malhas não estruturadas. O QOFD apresenta grande robustez em relação a distorções, mas requer trabalho extra para tratar problemas não homogêneos ou condições de contorno não essenciais. Finalmente é apresentado um novo método de elementos finitos de Petrov-Galerkin, o QOPG, que é formulado aplicando a mesma técnica usada para obter a estabilização do QOFD, obtendo assim a mesma robustez em relação a distorções da malha, com a vantagem de ser um método variacionalmente consistente. Resultados numéricos são apresentados ilustrando o comportamento de todos os métodos desenvolvidos em comparação com os métodos de Galerkin, GLS e QSFEM.

Nesta dissertação apresenta-se a análise de métodos totalmente discretos, estabilizados espacialmente, para a resolução de problemas de transporte unidimensionais convectivos-difusivos-reativos, lineares e transientes que modelam o transporte de contaminantes radioativos com decaimento a uma taxa constante em um meio poroso saturado. O método de elementos finitos clássico de Galerkin é usado no espaço quando o problema de transporte é pura e/ou predominantemente difusivo, ao passo que quando a convecção domina, o método SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) é utilizado. O método de elementos finitos é combinado a um esquema discreto de integração no tempo, os algoritmos trapezoidais generalizados. Observa-se que a solução aproximada pode apresentar oscilações espúrias quando o método de Crank-Nicolson é utilizado. São consideradas diversas metodologias propostas na literatura para amortecer tais oscilações. Como consequência da análise de estabilidade desenvolvida, uma nova condição de estabilidade é proposta. / This work deals with the stability analysis of the fully discrete transport problem obtained using a stable finite element method in space and the generalized trapeizoidal family of methods in time. Depeding on the range of parameters the Galerkin and the Streamline Upwind Petrov-Galerkin Methods are introduced. We evaluate the accuracy and stability properties of the methods. The sawtooth pattern in time is observed,caused by spurious higher modes when Crank-Nicolson method is used. We derive a stability analysis of the fully discrete method and investigate the techniques proposed in literature to damp oscillations. We propose a new stability condition to overcome the spurious modes. The proposed methodology is apllied to a one-dimensional contaminant transport problems in a saturated porous media that considers a radioactive contaminant decay at a constant rate.

É bem sabido que métodos clássicos de elementos finitos e diferenças finitas para o problema de Helmholtz apresentam efeito de poluição, que pode deteriorar seriamente a qualidade da solução aproximada. Controlar o efeito de poluição é especialmente difícil quando são utilizadas malhas não uniformes. Para malhas uniformes com elementos quadrados são conhecidos métodos (p. e. o QSFEM, proposto por Babuska et al) que minimizam a poluição. Neste trabalho apresentamos inicialmente dois métodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin com formulação relativamente simples, o RPPG e o QSPG, ambos com razoável robustez para certos tipos de distorções dos elementos. O QSPG apresenta ainda poluição mínima para elementos quadrados. Em seguida é formulado o QOFD, um método de diferenças finitas aplicável a malhas não estruturadas. O QOFD apresenta grande robustez em relação a distorções, mas requer trabalho extra para tratar problemas não homogêneos ou condições de contorno não essenciais. Finalmente é apresentado um novo método de elementos finitos de Petrov-Galerkin, o QOPG, que é formulado aplicando a mesma técnica usada para obter a estabilização do QOFD, obtendo assim a mesma robustez em relação a distorções da malha, com a vantagem de ser um método variacionalmente consistente. Resultados numéricos são apresentados ilustrando o comportamento de todos os métodos desenvolvidos em comparação com os métodos de Galerkin, GLS e QSFEM. / It is well known that classical finite elements or finite difference methods for Helmholtz problem present pollution effects that can severely deteriorate the quality of the approximate solution. To control pollution effects is especially difficult on non uniform meshes. For uniform meshes of square elements pollution effects can be minimized with the Quasi Stabilized Finite Element Method (QSFEM) proposed by Babusv ska el al, for example. In the present work we initially present two relatively simple Petrov-Galerkin finite element methods, referred here as RPPG (Reduced Pollution Petrov-Galerkin) and QSPG (Quasi Stabilized Petrov-Galerkin), with reasonable robustness to some type of mesh distortion. The QSPG also shows minimal pollution, identical to QSFEM, for uniform meshes with square elements. Next we formulate the QOFD (Quasi Stabilized Finite Difference) method, a finite difference method for unstructured meshes. The QOFD shows great robustness relative to element distortion, but requires extra work to consider non-essential boundary conditions and source terms. Finally we present a Quasi Optimal Petrov-Galerkin (QOPG) finite element method. To formulate the QOPG we use the same approach introduced for the QOFD, leading to the same accuracy and robustness on distorted meshes, but constructed based on consistent variational formulation. Numerical results are presented illustrating the behavior of all methods developed compared to Galerkin, GLS and QSFEM.

Several problems in physics and engineering are modeled by reaction-advection-diffusion (RAD) equations. However, when the diffusive terms are small compared with the other ones, these problems can become difficult to solve numerically. Besides, formulating the unsteady version of these models in a semi-discrete fashion, it can be interpreted that the overall diffusivity gets smaller as the time step decreases. To overcome these drawbacks, this thesis considers the development of Galerkin (or Petrov-Galerkin) finite element methods based on approximation spaces enriched by residual-free bubbles (RFB) or multiscale functions. Beginning with the unsteady reaction-diffusion problem, new methods using multiscale functions are presented which improve the solutions in the reaction-dominated regime and/or when small time steps are adopted. They also give rise to a general concept of stabilizing unsteady problems differently along the time. In the following, it is shown that switching RFB by suitable multiscale functions in the elements connected to the outflow boundaries of the domain increases the accuracy of the solutions in this region for RAD problems with advection. Next, this methodology is further studied for systems of RAD equations. In a final contribution, an extension of the RFB method is introduced for the shallow waters equations. All these methods are tested through benchmark problems and compared with stabilized methods presenting stable and accurate results. / A modelagem de vários problemas físicos e de engenharia envolve a solução de problemas de transporte do tipo reação-advecção-difusão (RAD), porém, estes podem tornar-se singularmente perturbados quando os termos difusivos são pequenos comparados aos demais. Além disso, ao adotar formulações semi-discretas em problemas transientes, observa-se que diminuir o passo de tempo tem um efeito de redução da componente difusiva. Para superar estas dificuldades, esta tese considera o desenvolvimento de métodos de elementos finitos de Galerkin (ou Petrov-Galerkin) baseados em espaços de aproximação enriquecidos por funções bolhas livres do resíduo (RFB) ou funções multiescala. Começando pelo problema de reação-difusão transiente, novos métodos utilizando funções multiescala são apresentados, os quais melhoram as soluções no regime reativo-dominante e/ou quando pequenos passos de tempo são adotados. Com estes métodos, discute-se também o conceito de estabilização variável ao longo do tempo para problemas transientes. Na seqüência, verifica-se que utilizar funções multiescala nos elementos conectados às fronteiras de saída de fluxo do domínio e RFB nos demais elementos aumenta a precisão das soluções nesta região em problemas de RAD com advecção dominante. A seguir, esta metodologia é estudada para sistemas de RAD. Como contribuição final, estende-se o método RFB para o modelo de águas rasas. Todos estes métodos são submetidos a testes de robustez e comparados com métodos estabilizados, apresentando resultados estáveis e precisos.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Apresentacao.pdf: 200775 bytes, checksum: 317576b779951158daadb5222c59a464 (MD5) Previous issue date: 2005-12-20 / Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior / Several problems in physics and engineering are modeled by reaction-advection-diffusion (RAD) equations. However, when the diffusive terms are small compared with the other ones, these problems can become difficult to solve numerically. Besides, formulating the unsteady version of these models in a semi-discrete fashion, it can be interpreted that the overall diffusivity gets smaller as the time step decreases. To overcome these drawbacks, this thesis considers the development of Galerkin (or Petrov-Galerkin) finite element methods based on approximation spaces enriched by residual-free bubbles (RFB) or multiscale functions. Beginning with the unsteady reaction-diffusion problem, new methods using multiscale functions are presented which improve the solutions in the reaction-dominated regime and/or when small time steps are adopted. They also give rise to a general concept of stabilizing unsteady problems differently along the time. In the following, it is shown that switching RFB by suitable multiscale functions in the elements connected to the outflow boundaries of the domain increases the accuracy of the solutions in this region for RAD problems with advection. Next, this methodology is further studied for systems of RAD equations. In a final contribution, an extension of the RFB method is introduced for the shallow waters equations. All these methods are tested through benchmark problems and compared with stabilized methods presenting stable and accurate results. / A modelagem de vários problemas físicos e de engenharia envolve a solução de problemas de transporte do tipo reação-advecção-difusão (RAD), porém, estes podem tornar-se singularmente perturbados quando os termos difusivos são pequenos comparados aos demais. Além disso, ao adotar formulações semi-discretas em problemas transientes, observa-se que diminuir o passo de tempo tem um efeito de redução da componente difusiva. Para superar estas dificuldades, esta tese considera o desenvolvimento de métodos de elementos finitos de Galerkin (ou Petrov-Galerkin) baseados em espaços de aproximação enriquecidos por funções bolhas livres do resíduo (RFB) ou funções multiescala. Começando pelo problema de reação-difusão transiente, novos métodos utilizando funções multiescala são apresentados, os quais melhoram as soluções no regime reativo-dominante e/ou quando pequenos passos de tempo são adotados. Com estes métodos, discute-se também o conceito de estabilização variável ao longo do tempo para problemas transientes. Na seqüência, verifica-se que utilizar funções multiescala nos elementos conectados às fronteiras de saída de fluxo do domínio e RFB nos demais elementos aumenta a precisão das soluções nesta região em problemas de RAD com advecção dominante. A seguir, esta metodologia é estudada para sistemas de RAD. Como contribuição final, estende-se o método RFB para o modelo de águas rasas. Todos estes métodos são submetidos a testes de robustez e comparados com métodos estabilizados, apresentando resultados estáveis e precisos.