Dans cette thèse on étudie quelques modèles macroscopiques pour des milieux conducteurs ou élastiques fortement hétérogènes et anisotropes obtenus par homogénéisation. Nous considérons le cas de l’homogénéisation périodique. En particulier pour le système de l’élasticité linéarisée modélisant les petites déformations d’un matériau fibré, nous étudions l’effet de l’anisotropie du matériau sur le modèle macroscopique et nous montrons que sous l’effet conjugué des conditions aux limites et de l’anisotropie des fibres, le système modélisant les déplacements à l’échelle macroscopique fait intervenir des termes non standard. Nous considérons plusieurs scalings et deux situations géométriques : dans la première le rayon des fibres cylindriques est du même ordre de grandeur que la taille de la période du milieu et dans la seconde la rayon est petit devant la période. Les résultats obtenus dans les deux cas, indépendants d’hypothèses de symétrie sur le matériau, permettent de retrouver les résultats déjà connus dans le cas de matériaux isotropes. / In this thesis we study some macroscopic models for drivers or elastic media highly heterogeneous and anisotropic obtained by homogenization. We consider the case of periodic homogenization. In particular the system of linearized elasticity modeling small deformations of a fiber material, we study the effect of material anisotropy on the macroscopic model and show that the combined effect of the boundary conditions and the anisotropy of the fiber system modeling movement at the macroscopic scale involves non-standard terms. We consider several scalings and two geometric situations: in the first radius of cylindrical fibers is of the same order of magnitude as the size of the middle period and in the second the radius is small compared to the period. The results obtained in both cases, independent of symmetry assumptions on the material used to find the results already known in the case of isotropic materials.

Dans cette thèse on étudie quelques modèles macroscopiques pour des milieux conducteurs ou élastiques fortement hétérogènes et anisotropes obtenus par homogénéisation. Nous considérons le cas de l'homogénéisation périodique. En particulier pour le système de l'élasticité linéarisée modélisant les petites déformations d'un matériau fibré, nous étudions l'effet de l'anisotropie du matériau sur le modèle macroscopique et nous montrons que sous l'effet conjugué des conditions aux limites et de l'anisotropie des fibres, le système modélisant les déplacements à l'échelle macroscopique fait intervenir des termes non standard. Nous considérons plusieurs scalings et deux situations géométriques : dans la première le rayon des fibres cylindriques est du même ordre de grandeur que la taille de la période du milieu et dans la seconde la rayon est petit devant la période. Les résultats obtenus dans les deux cas, indépendants d'hypothèses de symétrie sur le matériau, permettent de retrouver les résultats déjà connus dans le cas de matériaux isotropes.

Dans le domaine de l'électromagnétisme, les réseaux de réluctances sont parfaitement adaptés aux problématiques de pré-dimensionnement. Leur mise en équations est cependant une tâche fastidieuse et souvent source d'erreurs, et souffre d'un manque d'outil adapté.<br />Nous nous proposons ici de formuler cette méthode dans le cas général, puis de l'implémenter dans un outil dédié. Afin d'enrichir les modèles, le calcul des énergies et de la force sont également proposés, ainsi que sa dérivation automatique pour assurer sa compatibilité avec des algorithmes d'optimisation utilisant les gradients.<br />La problématique de simulation des régimes transitoires est également abordée à travers une méthodologie permettant de mettre en place des modèles dynamiques faisant intervenir les couplages avec les parties électrique et mécanique. Une attention particulière est portée sur leur formulation en vue de l'intégration des équations différentielles par des méthodes numériques.

Dans le domaine de l'électromagnétisme, les réseaux de réluctances sont parfaitement adaptés aux<br />problématiques de pré-dimensionnement. Leur mise en équations est cependant une tâche fastidieuse et souvent<br />source d'erreurs, et souffre d'un manque d'outil adapté.<br />Nous nous proposons ici de formuler cette méthode dans le cas général, puis de l'implémenter dans un outil<br />dédié. Afin d'enrichir les modèles, le calcul des énergies et de la force sont également proposés, ainsi que sa<br />dérivation automatique pour assurer sa compatibilité avec des algorithmes d'optimisation utilisant les gradients.<br />La problématique de simulation des régimes transitoires est également abordée à travers une méthodologie<br />permettant de mettre en place des modèles dynamiques faisant intervenir les couplages avec les parties électrique<br />et mécanique. Une attention particulière est portée sur leur formulation en vue de l'intégration des équations<br />différentielles par des méthodes numériques.

Il existe plusieurs modèles mathématiques pour décrire le comportement dynamique et acoustique des matériaux poreux. Ces modèles se basent sur l'introduction de plusieurs paramètres géométriques décrivant la structure du matériau poreux. La porosité, la résistivité statique, la tortuosité, les longueurs caractéristiques visqueuse et thermique et la perméabilité thermique sont les paramètres géométriques utilisés par exemple dans le modèle de Johnson-Lafarge. La détermination de ces six paramètres est un problème délicat, mais pourtant nécessaire pour la modélisation des matériaux poreux.Il existe des méthodes directes pour mesurer ces paramètres qui peuvent être plus ou moins couteuses et efficaces. Une alternative efficace et accessible aux méthodes directes est la méthode inverse qui est le sujet de ce mémoire. Cette méthode consiste à utiliser les données recueillies par un tube d'impédance, comme l'impédance de surface, pour remonter aux paramètres géométriques par inversion du modèle de Johnson-Lafarge.

Saccharothrix algeriensis est une bactérie filamenteuse capable de produire différentes molécules de la famille des dithiolopyrrolones présentant des activités antibiotiques et anticancéreuses. Ce travail porte sur l’analyse macroscopique et la modélisation du comportement dynamique de cette bactérie en vue de concevoir et d’optimiser un procédé de bioproduction de thiolutine. Les expériences menées en fermenteur de deux litres ont permis de décrire le comportement macroscopique de Sa. algeriensis. Sur substrat mixte (extrait de levure et glucose), la bactérie présente une croissance diauxique. La production de thiolutine, découplée de la croissance, est provoquée par l’épuisement du substrat préférentiel (extrait de levure). L’analyse des bilans carbone, azote et rédox nous a conduit à considérer deux phénomènes physico-chimiques qui n’étaient pas pris en compte dans le modèle proposé par Strub (2008) : l’entrainement de l’ammonium dans la phase gazeuse et l’adsorption des ions ammonium et des acides aminés sur la biomasse. Les données réconciliées sur la base des bilans élémentaires sont utilisées comme support pour la construction d’un modèle stœchio-cinétique. Différentes approches de modélisation des cinétiques et de représentation des bascules métaboliques ont été testées afin de retenir un schéma stœchio-cinétique apparent cohérent avec les données réconciliées. Cette étape de discrimination a été réalisée à l’aide de la toolbox ExOptim, développée en partenariat avec AgroParisTech. Cet outil, alliant une méthode d’optimisation robuste tout en limitant les temps de calcul, permet de prendre en compte les erreurs de mesure dès la mesure initiale et de reparamétrer indépendamment les paramètres du modèle et les données expérimentales. Les cinétiques réactionnelles sont représentées de manière satisfaisante par l’association du modèle de Monod et la loi logistique. Les seize paramètres du modèle sont identifiés sur sept expériences indépendantes. Le modèle finalement obtenu est ensuite testé sur cinq nouvelles expériences aux conditions initiales différentes. Ce modèle permet de prédire raisonnablement les cinétiques de croissance et de production de thiolutine. Toutefois, son utilisation reste limitée à des conditions initiales proches de celles de cette étude. / Saccharothrix algeriensis is a filamentous bacterium that produces several dithiolopyrrolone compounds with antibiotic and antitumor properties. This study focuses on the macroscopic analysis and modelling of the dynamic behaviour of this bacterium, in order to design and optimize the bioproduction process of thiolutin. Experiments were conducted in a two-litres bioreactor to characterise the macroscopic behaviour of Sa. algeriensis. On a medium containing several substrates (yeast extract and glucose), the bacterium shows a diauxic growth. Thiolutin production, which appears to be dissociated from growth, is triggered by the preferential substrate (yeast extract) depletion. The analysis of the carbon, nitrogen and redox balances led us to consider two physicochemical phenomena, which were not taken into consideration in the model proposed by Strub (2008): ammonium stripping in gaseous phase and adsorption of ammonium ions and amino acids on biomass. The data, reconciled on the basis of elementary balances, were used for the construction of a stoichio-kinetic model. Different modelling of kinetic and metabolic switches were tested in order to select a stoichio-kinetic model consistent with the reconciled data. This discrimination step was carried out using the ExOptim toolbox, developed in partnership with AgroParisTech. This toolbox combines a robust optimisation method and a reduced computation time. The experimental biases are taken into account from the first measurement and model parameters and experimental data reconditioned independently. The reaction kinetics are well represented by association of the Monod model and logistic laws. The sixteen model parameters were estimated from seven experiments. Finally, the model was validated by five additional experiments using different initial conditions. The kinetics of growth and thiolutin production are reasonably well predicted. However, the model is limited to initial conditions close to those of this study.

Cette thèse de doctorat est consacrée à l’étude analytique et numérique de systèmes de polymères et de fibres à deux dimensions. Des systèmes de polymères confinés en films ultra-minces présentent un très grand intérêt technologique et expérimentale et posent de nombreux défis théoriques en raison de leur fort comportement non-champ moyen qui se manifeste par divers exposants critiques non triviaux. Nous nous concentrons sur la limite strictement 2D où le croisement des chaînes est interdit et nous étudions, en fonction de la densité et de la rigidité des chaînes, les propriétés élastiques et conformationnelles de trois classes de systèmes: polymères flexibles et semi flexibles à température finie et polymères macroscopiques athermiques (fibres) à courbure spontanée imposée. Pour les polymères flexibles, il est démontré que bien que les polymères auto-évitant denses adoptent des configurations compactes avec un exposant de Flory ν = 1/2, ils ne se comportent pas comme des chaines gaussiennes. En particulier un exposant de contact non-nul θ2 = 3/4 implique une dimension fractale de périmètre dp = 5/4. Par conséquence, en accord avec la loi généralisée de Porod, le facteur de structure intramoléculaire F(q) révèle un comportement non-gaussien et la température de démixion des mélanges de polymères 2D devrait être réduite. Nous étudions également les effets de la rigidité des chaînes sur les systèmes de polymères à 2D et constatons que le comportement universel n’est pas modifié lorsque la longueur de persistance est beaucoup plus petite que la longueur de confinement. La nature de la transition de phase nématique à haute rigidité, qui est dans le cas 2D l’objet d’un débat de longue date, est également explorée. Des résultats préliminaires semblent indiquer une transition du premier ordre. Enfin, motivés par un travail théorique récent sur les modules élastiques de faisceaux de fibres, nous étudions les effets de la courbure spontanée sur l’élasticité d’ensembles de fibres. Nous montrons que en jouant sur le désordre des amplitudes des modes de Fourier de l’état fondamental il est possible de régler le module de compression, en accord qualitatif avec la théorie. / This PhD thesis is devoted to a theoretical study of polymer and ’polymer like’ systems in strictly two dimensions. Polymer systems in reduced dimensions are of high experimental and technological interest and present theoretical challenges due to their strong non-mean-field-like behavior manifested by various non-trivial universal power law exponents. We focus on the strictly 2D limit where chain crossing is forbidden and study as function of density and of chain rigidity conformational and elastic properties of three system classes: flexible and semiflexible polymers at finite temperature and macroscopic athermal polymers (fibers) with imposed quenched curvature. For flexible polymers it is shown that although dense self-avoiding polymers are segregated with Flory exponent ν = 1/2 , they do not behave as Gaussian chains. In particular a non-zero contact exponent θ2 = 3/4 implies a fractal perimeter dimension of dp = 5/4. As a consequence and in agreement with the generalized Porod law, the intramolecular structure factor F(q) reveals a non-Gaussian behavior and the demixing temperature of 2D polymer blends is expected to be reduced. We also investigate the effects of chain rigidity on 2D polymer systems and found that universal behavior is not changed when the persistence length is not too large compared to the semidilute blob size. The nature of the nematic phase transition at higher rigidities, which is in the 2D case the subject of a long standing debate, is also briefly explored. Preliminary results seem to indicate a first order transition. Finally, motivated by recent theoretical work on elastic moduli of fiber bundles, we study the effects of spontaneous curvature at zero temperature. We show that by playing on the disorder of the Fourier mode amplitudes of the ground state, it is possible to tune the compression modulus, in qualitative agreement with theory.

Cette thèse porte sur la modélisation, l’analyse et l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires et non-locales avec des applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modélisé à des différentes échelles. En particulier, on peut considérer l’échelle microscopique qui décrit la dynamique de chaque véhicule individuellement et l’échelle macroscopique qui voit le trafic comme un fluide et qui décrit le trafic en utilisant des quantités macroscopiques comme la densité des véhicules et la vitesse moyenne. Dans cette thèse, en utilisant la théorie des solutions de viscosité, on fait le passage entre les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques. L’intérêt de ce passage est que les modèles microscopiques sont plus intuitifs et faciles à manipuler pour simuler des situations particulières (bifurcations, feux tricolores,...) mais ils ne sont pas adaptés à des grosses simulations (pour simuler le trafic dans toute une ville par exemple). Au contraire, les modèles macroscopiques sont moins évidents à modifier (pour simuler une situation particulière) mais ils peuvent être utilisés pour des simulations à grande échelle. L’idée est donc de trouver le modèle macroscopique équivalent à un modèle microscopique qui décrit un scénario précis (une jonction, une bifurcation, des différents types de conducteurs, une zone scolaire,...). La première partie de cette thèse contient un résultat d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour un modèle microscopique avec différents types de conducteurs. Dans une seconde partie, on obtient des résultats d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour des modèles microscopiques con- tenant une perturbation locale (ralentisseur, zone scolaire,...). Finalement, on présente un résultat d’homogénéisation dans le cadre d’une bifurcation. / This work deals with the modelling, analysis and numerical analysis of non- linear and non-local partial differential equations and their application to traffic flow. Traffic can be simulated at different scales. Mainly, we have the microscopic scale which describes the dynamics of each of the vehicles individually and the macroscopic scale which describes the traffic as a fluid using macroscopic quantities such as the density of vehicles and the average speed. In this PhD thesis, using the theory of viscosity solutions, we derive macroscopic models from microscopic models. The interest of these results is that microscopic models are very intuitive and easy to manipulate to describe a particular situation (bifurcation, a traffic light,...), however, they are not adapted for big simulations (to simulate the traffic in an entire city for example). Conversely, macroscopic models are less easy to modify (to simulate a particular situation) but they can be used for big simulations. The idea is then to find the macroscopic model equivalent to a microscopic model describing a particular scenario (a junction, a bifurcation, different types of drivers, a school zone,...). The first part of this work contains an homogenization result and a numerical homogenization result for a microscopic model with different types of drivers. The second part contains an homogenization and numerical homogenization result for microscopic models with a local perturbation (a moderator, a school zone,...). Finally, we present an homogenization result for a bifurcation.

Movité par des questions posées par F. Santambrogio, cette thèse est dédiée à l'étude de jeux à champ moyen et des modèles impliquant le transport optimal avec contraintes de densité. A fin d'étudier des modèles de MFG d'ordre deux dans l'esprit des travaux de F. Santambrogio, on introduit en tant que brique élementaire un modèle diffusif de mouvement de foule avec contraintes de densité (en généralisant dans une sense les travaux de Maury et al.). Le modèle est décrit par l'évolutions de la densité de la foule, qui peut être vu comme une courbe dans l'espace de Wasserstein. Du point de vu EDP, ça correspond à une équation de Fokker-Planck modifiée, avec un terme supplémentaire, le gradient d'une pression (seulement dans la zone saturée) dans le drift. En passant par l'équation duale et en utilisant des estimations paraboliques bien connues, on démontre l'unicité du pair densité et pression. Motivé initialement par l'algorithm de splitting (utilisé dans le résultat d'existence ci-dessus), on étudie des propriétés fines de la projection de Wasserstein en dessous d'un seuil donné. Intégrant cette question dans une classe plus grande de problèmes impliquant le transport optimal, on démontre des estimations BV pour les optimiseurs. D'autres applications possibles (en transport partiel, optimisation de forme et problèmes paraboliques dégénérés) de ces estimations BV sont également discutées.En changeant le point de vu, on étudie également des modèles de MFG variationnels avec contraintes de densité. Dans ce sens, les systèmes de MFG sont obtenus comme conditions d'optimalité de premier ordre pour deux problèmes convexes en dualité. Dans ces systèmes un terme additionnel apparaît, interpreté comme un prix à payer quand les agents passent dans des zones saturées. Premièrement, en profitant des résultats de régularité elliptique, on montre l'existence et la caractérisation de solutions des MFG de deuxième ordre stationnaires avec contraintes de densité. Comme résultat additionnel, on caractérise le sous-différentiel d'une fonctionnelle introduite par Benamou-Brenier pour donner une formulation dynamique du problème de transport optimal. Deuxièmement, (basé sur une technique de pénalisation) on montre qu'une classe de systèmes de MFG de premier ordre avec contraintes de densité est bien posée. Une connexion inattendu avec les équations d'Euler incompressible à la Brenier est égalment donnée. / Motivated by some questions raised by F. Santambrogio, this thesis is devoted to the study of Mean Field Games and models involving optimal transport with density constraints. To study second order MFG models in the spirit of the work of F. Santambrogio, as a possible first step we introduce and show the well-posedness of a diffusive crowd motion model with density constraints (generalizing in some sense the works by B. Maury et al.). The model is described by the evolution of the people's density, that can be seen as a curve in the Wasserstein space. From the PDE point of view, this corresponds to a modified Fokker-Planck equation, with an additional gradient of a pressure (only living in the saturated zone) in the drift. We provide a uniqueness result for the pair density and pressure by passing through the dual equation and using some well-known parabolic estimates. Initially motivated by the splitting algorithm (used for the above existence result), we study some fine properties of the Wasserstein projection below a given threshold. Embedding this question into a larger class of variational problems involving optimal transport, we show BV estimates for the optimizers. Other possible applications (for partial optimal transport, shape optimization and degenerate parabolic problems) of these BV estimates are also discussed.Changing the point of view, we also study variational Mean Field Game models with density constraints. In this sense, the MFG systems are obtained as first order optimality conditions of two convex problems in duality. In these systems an additional term appears, interpreted as a price to be paid when agents pass through saturated zones. Firstly, profiting from the regularity results of elliptic PDEs, we give the existence and characterization of the solutions of stationary second order MFGs with density constraints. As a byproduct we characterize the subdifferential of a convex functional introduced initially by Benamou-Brenier to give a dynamic formulation of the optimal transport problem. Secondly, (based on a penalization technique) we prove the well-posedness of a class of first order evolutive MFG systems with density constraints. An unexpected connection with the incompressible Euler's equations à la Brenier is also given

Cette thèse traite de la modélisation des infrastructures autoroutières et de leur gestion par des méthodes de régulation telles que le contrôle d'accès. L'approche retenue est macroscopique et conduit à des modèles distribués sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous apportons plusieurs éclairages sur l'analyse et la résolution de ces modèles (condition d'entropie pour les rampes d'accès, discrétisation simpliée) et proposons une interprétation hybride des inhomogénéités (conditions aux limites, rampes d'accès et de sorties, variations brutales des paramètres) adaptée aux problèmes de contrôle. Deux nouvelles méthodologies calculatoires sont ensuite introduites pour concevoir des contrôleurs dynamiques s'appliquant à la gestion du trafic. La première est formulée comme un problème de commande optimale en boucle ouverte et nécessite l'adaptation de la méthode adjointe traditionnelle en raison de l'irrégularité des solutions. La seconde repose sur une discrétisation sous la forme d'un système affine commuté et une synthèse boucle fermée utilisant la dissipativité et les inégalités matricielles linéaires.