Aquesta tesi està dividida en dues parts diferents. En la primera, estudiam els sistemes quadràtics (sistemes polinomials de grau dos) que tenen un invers de factor integrant polinomial. En la segona, estudiam tres problemes diferents referits als sistemes diferencials polinomials. La primera partEn l'estudi dels sistemes diferencials plans el coneixement d'una integral primera és molt important. Els seus conjunts de nivell estan formats per òrbites i ens permeten dibuixar el retrat de fase del sistema, objectiu principal de la teoria qualitativa de les equacions diferencials al pla. Com ja se sap, existeix una bijecció entre l'estudi de les integrals primeres i l'estudi dels inversos de factor integrant. De fet, és més senzill l'estudi dels inversos de factor integrant que el de les integrals primeres. Una classe és dels sistemes quadràtics àmpliament estudiada dins els sistemes diferencials al pla és la dels sistemes quadràtics. Hi ha més d'un miler d'articles publicats sobre aquest tipus de sistemes, però encara som lluny de conèixer quins d'aquests sistemes són integrables, és a dir, si tenen una integral primera. En aquest treball, estudiam els sistemes quadràtics que tenen un invers de factor integrant polinomial V = V(x, y), i per tant també tenen una integral primera, definida allà on no s'anul·la. Aquesta classe de sistemes diferencials és important per diferents motius: 1. La integral primera és sempre Darboux. 2. Conté la classe dels sistemes quàdratics homogenis, àmpliament estudiada (Date, Sibirskii, Vulpe...). 3. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb un centre, també estudiada (Dulac, Kapteyn, Bautin,...). 4. Conté la classe dels sistemes quàdratics Hamiltonians (Artés, Llibre, Vulpe). 5. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera polinomial (Chavarriga, García, Llibre, Pérez de Rio, Rodríguez). 6. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera racional de grau dos (Cairó, Llibre). La segona partPresentam els següents tres articles: 1. A. Ferragut, J. Llibre and A. Mahdi, Polynomial inverse integrating factors for polynomial vector ?elds, to appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Periodic orbits for a class of C(1) three-dimensional systems, submitted. 3. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Hyperbolic periodic orbits coming from the bifurcation of a 4-dimensional non-linear center, to appear in Int. J. Of Bifurcation and Chaos. En el primer article donam tres resultats principals. Primer provam que un camp vectorial polinomial que té una integral primera polinomial té un invers de factor integrant polinomial. El segon resultat és un exemple d'un camp vectorial polinomial que té una integral primera racional i no té ni una integral primera polinomial ni un invers de factor integrant polinomial. Era un problema obert el fet de sebre si existien camps vectorials polinomials veri?cant aquestes condicions. El tercer resultat és un exemple d'un camp vectorial polinomial que té un centre i no té invers de factor integrant polinomial. Un exemple d'aquest tipus era esperat però desconegut en la literatura. En el segon article estudiam camps vectorials polinomials reversibles de grau quatre en R(3) que tenen, sota certes condicions genèriques, un nombre arbitrari d'-orbitesperi-odiques hiperb-oliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari d'òrbites periòdiques hiperbòliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari d'òrbites periòdiques.Finalment, en el tercer article, estudiam la pertorbació d'un centre de R(4) que prove d'un problema de la física. Mitjançant la teoria dels termes mitjans de primer ordre dins els camps vectorials polinomials de grau quatre, el sistema pertorbat pot tenir fins a setze òrbites periòdiques hiperbòliques bifurcant de les òrbites peròdiques del centre. / This thesis is divided into two different parts. In the first one, we study the quadratic systems (polynomial systems of degree two) having a polynomial inverse integrating factor. In the second one, we study three different problems related to polynomial differential systems.The ?rst part.It is very important, for planar differential systems, the knowledge of a ?rst integral. Its level sets are formed by orbits and they let us draw the phase portrait of the system, which is the main objective of the qualitative theory of planar differential equations. As it is known, there is a bijection between the study of the ?rst integrals and the study of inverse integrating factors. In fact, it is easier to study the inverse integrating factors than the ?rst integrals. A widely studied class of planar differential systems is the quadratic one. There are more than a thousand published articles about this subject of differential systems, but we are far away of knowing which quadratic systems are integrable, that is, if they have a ?rst integral. In this work, we study the quadratic systems having a polynomial inverse integrating factor V = V (x, y), so they also have a ?rst integral, de?ned where V does not vanish. This class of quadratic systems is important for several reasons: 1. The ?rst integral is always Darboux. 2. It contains the class of homogeneous quadratic system, widely studied (Date, Sibirskii, Vulpe,...). 3. It contains the class of quadratic systems having a center, also studied (Dulac, Kapteyn, Bautin,...). 4. It contains the class of Hamiltonian quadratic systems (Artés, Llibre, Vulpe). 5. It contains the class of quadratic systems having a polynomial ?rst integral (Chavarriga, García, Llibre, Pérez de Rio, Rodríguez). 6. It contains the class of quadratic systems having a rational ?rst integral of de gree two (Cairó, Llibre). The classi?cation of the quadratic systems having a polynomial inverse integrating factor is not completely ?nished. There remain near a 5% of the cases to study. We leave their study for an immediate future. The second part.We present the following three articles: 1. A. Ferragut, J. Llibre and A. Mahdi, Polynomial inverse integrating factors for polynomial vector ?elds, to appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Periodic orbits for a class of C(1) three-dimensional systems, submitted. 3. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Hyperbolic periodic orbits coming from the bifurcation of a 4-dimensional non-linear center, to appear in Int. J. Of Bifurcation and Chaos. In the first article we give three main results. First we prove that a polynomial vector field having a polynomial must have a polynomial inverse integrating factor. The second one is an example of a polynomial vector ?eld having a rational ?rst integral and having neither polynomial ?rst integral nor polynomial inverse integrating factor. It was an open problem to know if there exist polynomial vector ?elds verifying these conditions. The third one is an example of a polynomial vector ?eld having a center and not having a polynomial inverse integrating factor. An example of this type was expected but unknown in the literature. In the second article we study reversible polynomial vector ?elds of degree four in R(3) which have, under certain generic conditions, an arbitrary number of hyperbolic periodic orbits. Without these conditions, they have an arbitrary number of periodic orbits. Finally, in the third article, we study the perturbation of a center in R(4) which comes from a problem of physics. By the ?rst order averaging theory and perturbing inside the polynomial vector ?elds of degree four, the perturbed system may have at most sixteen hyperbolic periodic orbits bifurcating from the periodic orbits of the center.

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Cuaderno de trabajo del curso Nivelación de Matemáticas para Ingeniería y Arquitectura (MA239). El cuaderno de trabajo es una guía para el estudiante del curso de nivelación de matemática. Además, es un material teórico y práctico que permite al estudiante regular su propio autoaprendizaje.

Las t-estructuras en categorías trianguladas fueron introducidas a principios de los ochenta del último siglo por Beilinson, Bernstein y Deligne [BBD], en su estudio de los haces perversos sobre una variedad analítica o algebraica. El descubrimiento fundamental de este concepto era la existencia de una categoría abeliana “escondida”, llamada por ellos el corazón de la t-estructura, que permitía el desarrollo de una teoría de homología intrínseca dentro de la propia categoría triangulada en cuestión. Surge de manera natural las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuándo el corazón de una t-estructura es una categoría de Grothendieck?. 2. ¿Cuándo es él una categoría de módulos?. Lo inabordable de la pregunta, ha hecho que sólo se estudien casos particulares de la misma, estableciendo condiciones en la t-estructura así como también en la categoría triangulada en cuestión. De hecho, todos los trabajos que conocemos en está dirección, están concentrados en la llamada t-estructura de Happel-Reiten-Smalo (ver [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]). En esta tesis, se abordaron las cuestiones 1 y 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo, solventado algunos casos que no fueron cubiertos en los trabajos [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]. Por otra parte, una de las novedades de esta tesis, fue el estudiar las cuestiones 1 y 2, para t-estructuras más generales que el caso de Happel-Reiten-Smalo. En el capítulo 5 se estudia el corazón de las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano. A continuación, daremos una lista de los resultados más relevantes de esta tesis. Resultados Cuestión 1, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, fijamos una categoría de Grothendieck G y un par de torsión t = (T,F) en G y denotaremos por Ht el corazón de la t-estructura asociada en D(G). En primera instancia se mostró que Ht es una categoría abeliana AB5 si, y sólo si, los funtores de homologías Hk: Ht → G, conmutan con límites directos, para todo entero k. También probamos que si Ht es una categoría de Grothendieck entonces F es cerrada para límites directos en G. Como una consecuencia de nuestros resultados, para los pares de torsión inclinantes y coinclinantes, se logro dar resultados más allá de la condición de Grothendieck, generalizando algunos resultados de [CMT] y [BK]. Cuestión 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, el par de torsión t = (T,F) se fija en la categoría de módulos R-Mod sobre un anillo asociativo con unidad R. En el capítulo 4, se da respuesta definitiva a esta cuestión, en términos de un progenerador de Ht. Aprovechando dicho resultado, en el caso de pares de torsión introducidos por Hoshino, Kato y Miyachi, llamados pares de torsión HKM en lo que sigue, establecimos la relación precisa entre un complejo HKM que define el par de torsión y progenerador de Ht. Como consecuencia, se muestra un ejemplo de un complejo HKM que no está en el corazón y otro ejemplo de un par de torsión que no es un par de torsión HKM, cuyo corazón es una categoría de módulos. Por otra parte, para los pares de torsión hereditarios las condiciones que deben exigirse a un complejo para ser un progenerador de Ht se simplifican, surgiendo de manera natural las ternas TTF(=torsion torsionfree). En el caso en que suponemos que t = (T,F) es la parte derecha de una terna TTF en R-Mod, bajo unas hipótesis suficientemente generales, las condiciones a exigir al complejo, quedan reducidas. Otra pregunta natural que surge es la de encontrar un progenerador de Ht que sea lo más sencillo posible. En la tesis se estudiamos cuándo dicho progenerador puede ser elegido de manera que sea una suma directa de tallos. En el caso de un solo tallo, se logra dar un ejemplo de un par de torsión no inclinante cuyo corazón es una categoría de módulos que admite un progenerador de la forma V[0] para algún módulo V en T. Cuestiones 1 y 2, para las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano: Alonso, Jeremías y Saorín [AJS], clasifican las t-estructuras compactamente generada en D(R), donde R es un anillo conmutativo Noetheriano, en términos de filtraciones por soportes del espectro de R. Denotaremos por Ф tal filtración, y por HФ el corazón de la t-estructura asociada en D(R). Primero probamos que HФ siempre tiene un generador, así la cuestión 1 se reduce a determinar cuándo dicho corazón es una categoría abeliana AB5. Luego probamos que si Ф es una filtración acotada por la izquierda, entonces HФ es AB5 y por lo tanto, es una categoría de Grothendieck. A diferencia de la cuestión 1, la cuestión 2 es totalmente cubierta en la tesis. En esta repsuesta, la categoría cociente de R-Mod por una clase de torsión hereditaria juega un papel importante. Referencias [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489. / T-structures on triangulated categories were introduced in the early eighties of last century by Beilinson, Bernstein and Deligne [BBD] in their study of perverse sheaves on an analytic or an algebraic variety. The main discovery of this concept was the existence of a 'hidden' abelian category, called by them the heart of the t-structure, which allowed the development of a homology theory that is intrinsic to the triangulated category. In a natural way the following questions arise: 1. When is the heart of a t-structure a Grothendieck category? 2. When is it a category of modules? The intractability of the questions has led to study only particular cases of them, by establishing conditions on the t-structure as well as on the triangulated category in question. In fact, all the works that we know of in this respect are focused on the so-called t-structure of Happel-Reiten-Smalo (see [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]). In this thesis, we tackled questions 1 and 2 above for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo and solved some cases that were not covered in the work [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]. On the other hand, one of the novelties of the thesis was to study questions 1 and 2, for t-structures more general than the Happel-Reiten-Smalo case. In chapter 5 we study the heart of compactly generated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring. In the sequel we give a list of the most relevant results in the thesis. Results Question 1, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, we fix a Grothendieck category G and a torsion pair t=(T,F) in G and we will denote by Ht the heart of the associated t-structure in D(G). First, we proved that Ht is an AB5 abelian category if, and only if, the homology functors Hk: Ht → G commute with direct limits, for each integer k. We also proved that if Ht is a Grothendieck category then F is closed under taking direct limits in G. As a consequence of our results, for tilting and cotilting torsion pairs we managed to give results further than the Grothendieck case, generalizing results from [CMT] and [BK]. Question 2, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, the torsion pair t=(T,F) is fixed in the module category R-Mod over an associative ring with unit R. In chapter 4 a definitive answer to the question is given, in terms of a progenerator of Ht. Taking advantage of this result, in the case of the torsion pairs introduced by Hoshino, Kato and Miyachi, called HKM torsion pairs in the sequel, we established the precise relationship between an HKM complex which defines the torsion pair and the progenerator of Ht. As a consequence, we show an example of an HKM complex which is not in the heart and another example of a non-HKM torsion pair whose heart is a module category. On the other hand, for hereditary torsion pairs, the conditions to impose to a complex in order for it to be a progenerator of Ht get simplified, appearing in a natural way the TTF (=torsion torsionfree) triples. When we assume that t=(T,F) is the right constituent pair of a TTF triple in R-Mod, under sufficiently general hypotheses, the conditions to impose to the complex get reduced. Another natural by-side question which arises is that of finding a progenerator of Ht which is the simplest possible. In the thesis we study when such a progenerator can be chosen to be a direct sum of stalk complexes. In the case of a unique stalk complexes, we manage to give an example of a non-tilting torsion pair whose heart is a module category which admits a progenerator of the form V[0], for some module V in T. Questions 1 y 2, for compactly genrated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring: Alonso, Jeremías and Saorín [AJS] classify the compactly generated t-structres in D(R), where R is a commutative Noetherian ring, in terms of filtrations by supports of the spectrum of R. We will denote by Φ such a filtration and by HΦ the heart of the associated t-structure in D(R). We first proved that HΦ always has a generator, so that question 1 reduces to determine when this heart is an AB5 abelian category. We then proved that if Φ is a left bounded filtration, then HΦ is AB5 and, hence, a Grothendieck category. Unlike question 1, question 2 has been completely answered in the thesis. In this answer the quotient category of R-Mod by a hereditary torsion class plays a very important role. References [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489.

El objetivo principal de este trabajo es el estudio del cálculo de la distancia aparente de un código abeliano, la cual es una cota para su distancia mínima. Asimismo, también son objeto de este trabajo el desarrollo de la noción de cota BCH y código BCH multivariable, de las construcciones multivariables y las aplicaciones a los códigos cíclicos que se desprenden de dichas nociones. Un primer problema concreto que abordamos en esta tesis es determinar cuándo en un código cíclico la mayor de sus cotas BCH coincide con su distancia mínima. En este sentido hemos encontrado condiciones en términos de los divisores del polinomio xr-1 en ciertas extensiones del cuerpo base de los códigos que consideramos en este trabajo. Es más, a partir de estos resultados mostramos un método de construcción de códigos para los cuales el máximo de sus cotas BCH y su distancia mínima coinciden. En 1970, P. Camion [1] extendió el estudio de la cota BCH a la familia de los códigos abelianos al introducir la noción de distancia aparente de un código abeliano. En el caso de los códigos cíclicos, la distancia aparente y la (máxima) cota BCH del código, coinciden. La distancia aparente de un código abeliano en un anillo semisimple es el mínimo de la distancia aparente de ciertos polinomios que corresponden con la transformada de Fourier discreta de los elementos de todos los subconjuntos del conjunto de idempotentes que pertenecen al código. Esto implica que el cálculo es de orden exponencial. Así, en la práctica, el número de operaciones requeridas es muy elevado, por lo que es pertinente plantearse la búsqueda de un método alternativo que simplifique el original. En [2], R. E. Sabin realizó la primera reducción de los cálculos para obtener la distancia aparente de un polinomio fijo usando ciertas manipulaciones de matrices en el contexto de los llamados “2-D cyclic codes" (códigos abelianos en dos variables). Aún cuando el método de Sabin simplifica el original, no ayuda en nada a reducir el número de cálculos necesarios en el cómputo de la distancia aparente de un código. Así que el problema de la complejidad siguió abierto. En el trabajo de Camion antes mencionado, puede comprobarse que la distancia aparente de un código cíclico es precisamente la distancia aparente de un polinomio asociado al idempotente generador del código (concretamente, la transformada de Fourier). Hay ejemplos que muestran que, en el caso multivariable, dicha igualdad no se verifica, así que es natural preguntarse si en ese caso puede obtenerse la distancia aparente a partir de ciertas manipulaciones sobre dicho polinomio o específicamente sobre la hipermatriz (de coeficientes) asociada a la imagen bajo la transformada de Fourier del idempotente generador, respecto de ciertas raíces de la unidad prefijadas. Éste es el objetivo principal alcanzado en este trabajo: presentar un algoritmo para calcular la distancia aparente de un código abeliano basándose en el manejo de hipermatrices, de tal forma que la cantidad de operaciones involucradas se reduzca notablemente. De hecho, en el caso caso de dos variables se reduce hasta el orden lineal. Una vez que el algoritmo ha sido desarrollado, el siguiente paso natural ha sido presentar una noción de código BCH multivariable que nos ha permitido extender muchos de los resultados clásicos sobre códigos BCH cíclicos. Además, hemos encontrado aplicaciones de nuestras técnicas en la construcción de códigos abelianos con distancia aparente predeterminada. REFERENCIAS [1] P. Camion, Abelian Codes, MRC Tech. Sum. Rep. \# 1059, University of Wisconsin, 1971. [2] R. Evans Sabin, On Minimum Distance Bounds for Abelian Codes, Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing, Springer-Verlag, 1992

Tesis por compendio de publicaciones / It is well known that Takahashi's Theorem [7] characterizes the submanifolds in the Euclidean space whose coordinate functions are eigenfunctions of the Laplacian associated to the same nonzero eigenvalue: they are minimal submanifolds in a hypersphere. Later on, many authors have obtained different extensions of Takahashi's Theorem. One of these extensions is given by Dillen-Pas-Verstraelen in [2]. In that work, the authors study surfaces in the 3-dimensional space whose immersion ψ satisfy Δψ=Aψ+b, where Δ denotes the Laplacian operator, A is a 3x3 real matrix and b is a constant vector. They obtain that the only surfaces satisfying that equation are minimal ones, spheres and circular cylinders. After that different authors have studied this condition in the case of hypersurfaces Mn immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and showed that Mn must be an open part of a minimal Rn+1 surfaces, a totally umbilical hypersurface or a standard pseudo-Riemannian product. Recently, that equation has been extended to operators different to the Laplacian one. In fact, Alías and Gürbüz study in [2] hypersurfaces in the Euclidean space Rn+1 whose position vector ψ satisfies Lkψ=Aψ+b, where Lk is the linealized differential operator associated to the mean curvature of order k+1, for k=0, 1,..., n-1 (note that for k=0 we obtain the Laplacian operator). Those authors show that the only hypersurfaces satisfying the above condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). In view of that result for operators Lk, we study the same condition but for hypersurfaces immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and show (in papers [5] and [6]) that the only hypersurfaces in the pseudo-Euclidean spaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). After solving the problem for hypersurfaces in pseudo-Euclidean spaces, we study the condition Lkψ=Aψ+b for hypersurfaces immersed in pseudo-Riemannian space forms, for arbitrary index t≥0 and nonzero constant curvature. We show (in papers [3] and [4]), that the only hypersurfaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, totally umbilical hypersurfaces, standard pseudo-Riemannian products and some quadratic hypersurfaces. In conclusion, the results obtained in this Thesis extend completely to pseudo- Euclidean spaces and pseudo-Riemannian space forms of nonzero constant curvature the results previously obtained in [2]. References [1] L.J. Alías and N. Gürbüz. An extension of Takahashi theorem for the linearized operators of the higher order mean curvatures, Geom. Dedicata 121 (2006), 113-127. [2] F. Dillen, J. Pas and L. Verstraelen. On surfaces of finite type in Euclidean 3-space, Kodai Math. J. 13 (1990), 10-21. [3] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat Lorentzian space forms satisfying Lkψ=Aψ+b , Taiwanese J. Math. 16 (2012), 1173-1203. [4] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat pseudo-Euclidean space form satisfying a linear condition in the linearized operator of a higher order mean curvatures, Taiwanese J. Math. 17 (2013), 15-45. [5] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space satisfying Lkψ=Aψ+b , Geom. Dedicata 153 (2011), 151-175. [6] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in pseudo-Euclidean space satisfying a linear condition on the linearized operator of a higher order mean curvatures, Diff. Geom. and its Appl. 13 (2013), 175-189. [7] T. Takahashi. Minimal immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 380-385.

Se afirma que las matemáticas son una parte importante de nuestro día a día y que todo niño debe aprender. En este documento se plantea la pregunta ¿Qué debemos enseñar en matemáticas a niños de los primeros grados? Se argumenta que tanto la memoria de trabajo como el cálculo aritmético y el razonamiento sobre relaciones matemáticas son aspectos que aportan al desempeño matemático de manera independiente, pero se enfatiza en la importancia de enseñar razonamiento sobre relaciones matemáticas. Este se describe como la capacidad para analizar las relaciones y manipular los números. En los primeros grados de primaria los niños deben dominar las relaciones aditivas las cuales son las relaciones entre cantidades dentro de un esquema parte-todo y se basan en dos principios: (a) la composición aditiva, donde las partes son incluidas dentro de un todo o el todo es igual a la suma de las partes y (b) la relación inversa entre la suma y la resta donde los niños deben entender las relaciones cuantitativas en un problema las cuales demandan la comprensión y manipulación de los números para poder ser capaces de resolver el problema. A pesar de que se crea firmemente en la importancia de enseñar razonamiento sobre relaciones matemáticas se debe realizar la pregunta: ¿Por qué enseñar razonamiento sobre relaciones? En el documento se discuten evidencias científicas de estudios longitudinales que han comprobado que inclusive después de años, el dominio de estos principios puede pronosticar el desempeño matemático (Stern 2005, Nunes et al 2009). Dada la importancia de estos principios, se consideran estrategias para enseñar razonamiento sobre relaciones en matemáticas en base a experiencias con material concreto y resolución de problemas.

Esta tesis se centra en el marco de los sistemas dinámicos biológicos. Su objetivo central radica en el hecho de que a partir de un estudio matemático formal es posible inferir y responder interesantes preguntas biológicas. El primer problema abordado son las conjeturas de Thomas, las cuales establecen que una condición necesaria para la existencia de ciclos atractores (resp. multiestabilidad) es la presencia de circuitos negativos (resp. positivos) en el grafo regulatorio. Se comienza probando una serie de lemas con el fin de dar condiciones sobre el grafo de transición, junto con una formula general para el signo. Con ello es posible dar una prueba alternativa a un teorema de Remy et al. basada en la segunda conjetura en el caso booleano. En el segundo caso, encontramos condiciones para la existencia general de ciclos. Además se define el “grafo de transición extendido", el cual contiene no solo informaciÓn de la dinámica sino que también de la estructura del grafo regulatorio. En el segundo problema se muestra que el método de desincronización propuesto por Pécou se puede simular de forma numérica estable. En esta dirección, se aplica con éxito el algoritmo al modelo de Goodwin con función de regulación positiva y negativa, mostrándose teóricamente como inducir comportamiento periódico mediante la adición de una nueva ecuación. La inducción del caos del tipo Shilnikov o Lorenz, según la naturaleza de los valores propios, se muestra mediante la construcción de las órbita homoclínicas y la sensibilidad a las condiciones iniciales. Finalmente, se propone un modelo matemático para los procesos de incorporación, flujo, almacenamiento y tráfico de metales pesados Cu, Zn, Mn y Fe en Halobacterium NRC-1. Se muestra formalmente la existencia de estados estacionarios. Además, se derivan condiciones de monotonía para la existencia de respuestas globales en estado estacionario, independiente de la elección de los parámetros. Junto con los resultados teóricos, se desarrollan simulaciones para responder preguntas biológicas centrales sobre el crecimiento y la muerte de la archaea a altas concentraciones de metales, y la respuesta celular ante el estrés producido por incrementos sucesivos y alternados de metales.

El seminario consiste en la lectura comentada y el análisis del libro Computability, Computable Functions, Logic, and the Foundations of Mathematics, de Richard L. Epstein y Walter A. Carnielli. Este texto trata problemas de lógica y matemáticas vinculados con sus fundamentos filosóficos y sus alcances en el campo de la informática.

The present paper is a study of a class of polynomial set defined by means of a generating function of the form G(2xt- t²) for the choice G(u) = 0 F1(--;α;u). The paper contains some interesting results in the form of recurrence relations, generating functions, finite series of product of polynomials, hypergeometric form, relationship with Shively 's pseudo Laguerre and other polynomials, integral representation, fractional integral and Laplace transform of the polynomial.