Ce mémoire présente les travaux que j'ai effectués, tout d'abord, à<br />l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de<br />1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux<br />Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université<br />d'Orsay, depuis 2001.<br />Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de<br />problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension<br />infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux<br />sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats<br />numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont<br />présentés.<br /><br /><br />Dans la première partie, on s'intéresse à <br />la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle<br />optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère<br />que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires<br />singulières minimisantes}.<br />Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité<br />de l'ensemble des solutions du système de contrôle.<br />Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires<br />singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par<br />opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre<br />classique du calcul des variations.<br />Pour des systèmes affines à coût quadratique,<br />on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière<br />minimisante, alors la fonction valeur associée est<br />\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations<br />plus générales). <br /><br />Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi<br />et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que<br />la \textit{solution de viscosité} de certaines<br />classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}<br />est sous-analytique, ce qui implique en particulier<br />que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de<br />codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de<br />\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des<br />systèmes de contrôle affines sans dérive.<br /><br />S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction<br />valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude<br />asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.<br />Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à<br />la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe<br />sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.<br /><br />Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des<br />trajectoires singulières.<br /><br />Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,<br />sous des conditions génériques, la propriété de<br />\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées<br />parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et<br />donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit<br />\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.<br /><br />On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières<br />minimisantes.<br />Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre<br />de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne<br />remplissent que peu d'espace.<br />En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle<br />(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même<br />de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.<br /><br />On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux<br />propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des<br />systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de<br />Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},<br />ce qui a des corollaires en contrôle optimal.<br />Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant<br />plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe<br />aucune trajectoire singulière minimisante~;<br />en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.<br /><br /><br /><br />Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux<br />méthodes numériques en<br />contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les<br />\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation<br />totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes<br />de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}<br />d'autre part,<br />basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un<br />problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une<br />\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont<br />particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées<br />ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire<br />d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les<br />extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.<br />Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps<br />conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est<br />plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,<br />basés sur des développements théoriques récents en théorie du<br />contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas<br />anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont<br />implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}<br />(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.<br /><br />Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème<br />de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le<br />but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible<br />donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant<br />le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus<br />soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,<br />accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes<br />rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent<br />une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses<br />optimales locales avec contraintes.<br />Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à<br />poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse<br />à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de<br />propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important<br />lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion<br />ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.<br />Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,<br />utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.<br /><br /><br /><br /><br /><br />Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des<br />équations aux dérivées partielles.<br />On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de<br />stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le<br />long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée<br />principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle<br />permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi<br />qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement<br />implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet<br />d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation<br />pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en<br />dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que<br />l'existence de fonctions barrières et/ou de<br />phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.<br />Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un<br />contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état<br />stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même<br />composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette<br />condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure<br />consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire<br />instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle<br />sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes<br />de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour<br />l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation<br />des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.<br /><br />On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte<br />sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires<br />particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide<br />incompressible entre deux cylindres<br />concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un<br />flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du<br />cylindre extérieur.<br /><br /><br />Dans le dernier chapitre,<br />on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des<br />équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.<br />La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une<br />méthode de Galerkin, conduit à une<br />famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question<br />de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes<br />semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend<br />vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant<br />d'atteindre un certain point. Pour des EDP<br />linéaires contrôlables, il existe de nombreuses<br />méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM<br />(\textit{Hilbert Uniqueness Method})<br />consiste à minimiser la norme $L^2$ du<br />contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes<br />paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions<br />standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la<br />plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle<br />n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de<br />\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles<br />discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour<br />calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent<br />vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une<br />certaine cible.<br />La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,<br />pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,<br />et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.

Les méthodes à noyaux désignent une famille récente d'outils d'analyse de données, pouvant être utilisés dans une grande variété de tâches classiques comme la classification ou la régression. Ces outils s'appuient principalement sur le choix a priori d'une fonction de similarité entre paires d'objets traités, communément appelée "noyau'' en apprentissage statistique et analyse fonctionnelle. Ces méthodes ont récemment gagné en popularité auprès des praticiens par leur simplicité d'utilisation et leur performance. Le choix d'un noyau adapté à la tâche traitée demeure néanmoins un problème épineux dans la pratique, et nous proposons dans cette thèse plusieurs noyaux génériques pour manipuler des objets structurés, tels que les séquences, les graphes ou les images. L'essentiel de notre contribution repose sur la proposition et l'étude de différents noyaux pour nuages de points ou histogrammes, et plus généralement de noyaux sur mesures positives. Ces approches sont principalement axées sur l'utilisation de propriétés algébriques des ensembles contenant les objets considérés, et nous faisons ainsi appel pour une large part à la théorie des fonctions harmoniques sur semigroupes. Nous utilisons également la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant dans lesquels sont plongées ces mesures, des éléments d'analyse convexe ainsi que plusieurs descripteurs de ces mesures utilisés en statistiques ou en théorie de l'information, comme leur variance ou leur entropie. En considérant tout objet structuré comme un ensemble de composants, à l'image d'une séquence transformée en un ensemble de sous-séquences ou d'images en ensembles de pixels, nous utilisons ces noyaux sur des données issues principalement de la bioinformatique et de l'analyse d'images, en les couplant notamment avec des méthodes discriminantes comme les machines à vecteurs de support. Nous terminons ce mémoire sur une extension de ce cadre, en considérons non plus chaque objet comme un seul nuage de point, mais plutôt comme une suite de nuages emboîtés selon un ensemble d'évènements hierarchisés, et aboutissons à travers cette approche à une famille de noyaux de multirésolution sur objets structurés.

Soit $M=\{M_n\}_{n\in\bkN}$ une suite de réels positifs logarithmiquement convexe. On étudie les sous-anneaux $\Gamma_M$ de l'anneau des séries<br />formelles en $s$ variables dont la croissance des coefficients est contrôlée par la suite $M.$ Sous de faibles hypothèses sur $M,$ on obtient, tout d'abord, des théorèmes de composition. On apporte, par exemple, une réponse à la question suivante. Etant donnée une application $F$ dans $(\Gamma_M)^{s},$ si ${\cal A}\circ F$ appartient à $\Gamma_M,$ à quelle classe $\Gamma_N$ la<br />série ${\cal A}$ appartient-elle? On établit ensuite quelques propriétés algébriques de ces anneaux. On montre qu'étant donné un bon ordre sur $\bkN^{s},$ on peut diviser dans $\Gamma_M$ toute série<br />par une famille finie $f_1,\dots,f_p$ telle que les quotients et le reste appartiennent encore à $\Gamma_M.$ Cela permet d'aborder des problèmes<br />comme la division modulo un idéal, la noetherianité ou la platitude.<br />On obtient aussi des théorèmes de préparation du type Malgrange.<br />On étend également le célèbre théorème d'approximation d'Artin.

La Géométrie vue à la fin du 19eme. siècle par Félix Klein et Sophus Lie consiste à envisager l'action d'un groupe sur un espace. En termes contemporains on a ainsi un groupoïde de transformation. Une version non commutative de ce point de vue consiste à remplacer tout espace par une algèbre de fonctions sur celui ci, et considérer certaines algèbres comme celles des fonctions sur un espace quantique. <br />Ainsi toute algèbre de von Neumann peut-elle être considérée comme une "algèbre de fonctions mesurables essentiellement bornées sur un espace quantique mesuré" et toute C*-algèbre, comme une "algèbre de fonctions continues sur un espace quantique localement compact". Un groupe est un espace ayant une structure supplémentaire, l'algèbre associée est une bigèbre, plus précisément une algèbre de Hopf.<br />Ma thèse a porté sur les C*- algèbres de Hopf donc sur les groupes quantiques topologiques localement compacts. il s'agissait de transcrire aux C*-algèbres les précédants travaux sur les <br />algèbres de Hopf von Neumann. Nous avons ensuite avec Michel Enock généralisé, à ce cadre non commutatif, un théorème d'André Weil montrant que pour un groupe, la donnée d'une classe de mesures invariantes ou une topologie localement compacte et compatible sont équivalentes.<br />Dans le cas des groupes quantiques, Saad Baaj et Georges Skandalis avaient montré que l'essentiel de la structure est contenu dans un unique opérateur, appelé "unitaire multiplicatif", connu et étudié depuis des décennies dans le cas des groupes localement compacts. J'ai d'abord montré une généralisation de ce résultat au cas des groupoïdes, et dégagé un unique opérateur qui contient l'essentiel de la structure du groupoide, que j'ai appelé "unitaire pseudo-multiplicatif", et qui généralise l'unitaire multiplicatif associé aux groupes topologiques localement compacts.<br />Dans l'article suivant avec M.Enock, portant sur les inclusions de profondeur deux d'algèbres de von Neumann, nous avons mis en lumière un "unitaire pseudo-multiplicatif" plus général, qui prolonge la notion de Baaj-Skandalis, et engendre donc ce qu'on peut appeler un groupoide quantique. Il s'agissait ainsi d'appréhender ces inclusions dans les termes de la Géométrie non commutative.<br />Mes travaux actuels portent sur ces groupoïdes quantiques en dimension finie avec pour objectif, entre autres, de les caractériser en tant qu'algèbres d'opérateurs sur un espace hilbertien de dimension finie. Un premier article en ce sens a été publié, un second est en préparation.

Dans cette thèse, on s'intéresse à différentes équations issues de la théorie cinétique. Tout d'abord, on considère une équation de Landau pour les particules de Fermi-Dirac. On montre l'existence d'une solution au problème de Cauchy associé et on détermine les états d'équilibre. Ensuite, dans une deuxième partie, on s'intéresse aux systèmes de moments pour l'équation de Boltzmann en relativité restreinte et on détermine les espaces de moments relativistes adéquats. Dans une troisième partie, on étudie les états stationnaires d'une équation de Kac avec thermostat dans le cas où la section efficace est supposée non-intégrable. Finalement, la quatrième partie est consacrée à l'étude d'une équation issue de la théorie de la coagulation, l'équation de Oort-Hulst-Safronov, qui est approchée par une suite d'équations discrètes.

Le cadre de cette thèse est l'étude de l'anneau des cycles algébriques de la jacobienne d'une courbe lisse, tensorisé par Q. Les cycles sont étudiés sous l'angle de la décomposition de Beauville, c'est-a-dire celle en espaces propres pour les opérateurs k_* et k^* associés aux homothéties k : x -> kx . Plus précisément, on s'intéresse aux cycles tautologiques, ceux dans le plus petit sous-anneau contenant (le plongement de) la courbe, stable par les opérations élémentaires : intersection, produit de Pontryagin, opérateurs k_* et k^*.<br /><br /> L'objectif de cette thèse est de montrer comment calculer de nouvelles relations entre cycles modulo équivalence algébrique en fonction des systèmes linéaires admis par la courbe. <br /><br />Le point de départ de ces calculs est une formule obtenue par Elisabetta Colombo et Bert van Geemen précisant la classe algébrique d'un pinceau (considéré comme sous-variété du produit symétrique de la courbe) dont ils déduisent de premiers résultats d'annulation. On étend cette formule aux systèmes linéaires de dimension supérieure (et à l'anneau de Chow) pour obtenir d'autres résultats d'annulation.

This thesis gives a comprehensive view of the scope of formulations and<br />related solution approaches for the cutting stock problem (CSP) and its<br />variants. The focus is on branch-and-price approaches. Specialized<br />algorithms are developed for knapsack subproblems that arise in the<br />course of the algorithm. Thorough numerical tests are used to identify good strategies<br />for initialization, stabilization, branching, and producing<br />primal solutions. Industrial variants of the <br />problem are shown to be tractable for a branch-and-price approach.<br /><br /><br />The models studied are the following: the standard cutting stock and<br />bin packing problems, a variant in which the production levels lie in<br />a prescribed interval of tolerance, the multiple width cutting stock<br />problem in which stock pieces are of different size, a variant with<br />additional technical constraints that arise typically in industrial<br />applications, and a variant where the number of distinct cutting<br />patterns used is minimized given a waste threshold. <br /><br /><br />First, we consider various formulation of the Cutting Stock Problem<br />(CSP): different models of the knapsack subproblem can be exploited to<br />reformulate the CSP. Moreover, we introduce different ways of<br />modeling local exchanges in the solution (primal exchanges imply dual<br />constraints that stabilize the column generation procedure). Some<br />models are shown to be valid integer programming (IP) reformulations while others define<br />relaxations. The dual bounds defined by their LP solution are compared<br />theoretically.<br /><br />Then, we study the variants of the knapsack subproblem that arise<br />in a column generation approach to the CSP. The branching constraints<br />used in the branch-and-price algorithm can result in class bound and<br />setup cost or the need for a binary decomposition in the subproblem. <br />We show how standard knapsack solvers (dynamic programming approach and specialized<br />branch-and-bound algorithm) can be extended to these variants of the<br />knapsack problem.<br /><br />Next, we discuss some branch-and-price implementation strategies. We compare <br />different modes of initialization of the column generation procedure, we present our numerical study of various stabilization<br />strategies to accelerate convergence of the procedure. We compare in particular the impact of the various ways of introducing<br />local exchanges in our primal model and other stabilization techniques<br />such as dual solution smoothing techniques or penalization from a<br />stability center that prevent the fluctuation of the dual variables. <br />To generate the columns we study different strategies based on the use of heuristic columns or on a multiple generation of columns.<br />We also consider the use of heuristics based on column generation to find a primal bound. These are compared to a classic constructive heuristic. Then, we compare the different branching rules that are used in the branch-and-price procedure. <br /><br />Finally, we present numerical results on two industrial applications that<br />correspond to the variant with technical restrictions for which we<br />minimize first the waste and then the number of setups.

Nous donnons une description de l'anneau du groupe symétrique ZS_n <br />en tant que sous-anneau d'un produit direct d'anneaux de matrices sur Z,<br />utilisant le plongement de Wedderburn. Des morphismes modulaires<br />donnent des conditions nécessaires à un tuple de telles matrices pour<br />être contenu dans l'image de ZS_n. <br /><br />Résultat 1: Construction d'un système de morphismes modulaires donnant<br />une condition nécessaire et suffisante à un tel tuple.<br /><br />Résultat 2 : Une formule pour un morphisme modulaire de type<br />"décalage d'une case", ainsi précisant une partie d'un résultat de Carter <br />et Payne.

Cette thèse rassemble diverses contributions mathématiques et numériques à la chimie quantique. Le chapitre 1 est consacré à une présentation de l'esprit et des modèles de la chimie quantique. Le chapitre 2 traite de la convergence d'algorithmes pour la résolution des équations de Hartree-Fock. Les chapitres suivants portent sur des problèmes spécifiques aux systèmes moléculaires in situ, c'est-à-dire en interaction avec un environnement extérieur. Une première approche pour simuler les effets d'environnement consiste à traiter l'interaction entre le système moléculaire et le milieu extérieur comme une perturbation. Au chapitre 3, on étend la théorie des perturbations des opérateurs linéaires au cadre non linéaire du modèle de Hartree-Fock. L'interaction d'un système moléculaire avec un environnement est souvent un processus dynamique. C'est le cas bien évidemment dès qu'on étudie une réaction chimique. Le chapitre 4 consiste en l'analyse mathématique d'une des approximations de l'équation de Schödinger dépendant du temps qui décrit la dynamique du système : le modèle de Hartree-Fock non adiabatique. La quasi-totalité des réactions chimiques intéressant l'industrie ou les sciences de la vie se déroulent en phase liquide, où les effets de solvants jouent un rôle déterminant. Les chapitres 5, 6 et 7 concernent la résolution numérique des modèles de continuum qui sont les modèles de solvatation offrant à l'heure actuelle le meilleur compromis entre qualité des résultats et temps de calcul. (Résumé de l'auteur).

Nous étudions une propriété de correction de programmes écrits dans un langage parallèle. Cette propriété est une équivalence sémantique entre le programme parallèle et sa version séquentielle, que nous définissons. Le langage que nous considérons, outre des structures séquentielles usuelles (boucles, branchements conditionnels), comporte des boucles parallèles et des synchronisations par événements. L'objet principal de cette thèse est de démontrer un théorème qui assure cette propriété de correction, sous un certain nombre d'hypothèses, principalement une condition de préservation des dépendances de données. Ces hypothèses portent seulement sur la sémantique de la version séquentielle : autrement dit, en vertu de notre résultat, vérifier la correction d'un certain programme parallèle se ramène à vérifier un certain nombre de propriétés de sa seule version séquentielle. Par ailleurs, nous esquissons une extension de ce résultat, par l'introduction de sections critiques, envisageant alors une version affaiblie (c'est-à-dire généralisée) de notre propriété de correction. (Résumé de l'auteur).