Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles. / The work presented in this thesis concerns the study of the fractal geometry of stochastic processes using the formalism of 2-microlocal analysis. The latter has been introduced in another branch of mathematics -functional analysis- but has also proved to be relevant to describe the geometry of deterministic functions or random processes, extending in particular the classic Hölder exponents. Several classes of processes are investigated in this manuscript, beginning with continuous martingales and Ito integrals. In particular, the characterisation of the 2-microlocal regularity of the latter leads to the introduction of a closely related concept: the pseudo 2-microlocal frontier. We also investigate using this formalism a class of Gaussian processes called multifractional Brownian motion and obtain a fine description of its Hölder and 2-microlocal behaviours. In addition, we characterize entirely the Hausdorff and Box dimensions of its graph. In our study of Lévy processes, we combine the 2-microlocal formalism and multifractal analysis to describe their regularity, exhibiting in particular some subtle geometrical behaviours which are not captured by classic tools. Furthermore, as a corollary of this result, we also determine the multifractal spectrum of another family of processes: the fractional Lévy processes. Lastly, we also define a class of multiparameter and set-indexed Markov processes and study its properties.

This thesis is a collection of the three projects I have worked on at Purdue. The first is a paper on thermoacoustic tomography involving circular integrating detectors that was published in Inverse Problems and Imaging. Results from this paper include demonstrating that the measurement operators involved are Fourier integral operators, as well as proving microlocal uniqueness in certain cases, and also stability. The second paper, submitted to the Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, is much more of an application of sampling theory in to the specific case of thermoacoustic tomography. Results from this paper include demonstrating resolution limits imposed by sampling rates, and showing that aliasing artifacts appear in predictable locations in an image when the measurement operator is under sampled in either the time variable or space variables. We also show an application of a basic anti aliasing scheme based on averaging of data. The last project moves slightly away from microlocal analysis and considers the uniqueness in medical imaging of the restricted Radon transform in even dimensions. This is the classical interior problem, and we show a characterization of the range of the Radon transform, and from this are able to obtain a characterization of the kernel of the restricted Radon transform. We include figures throughout to illustrate results.

Wir geben eine rigorose Konstruktion von analytisch-regularisierten Feynman-Integralen im D-dimensionalen Minkowski-Raum als meromorphe Distributionen in den externen Impulsen, sowohl in der Impuls- als auch in der parametrischen Darstellung. Wir zeigen, dass ihre Pole durch die üblichen Power-counting Formeln gegeben sind, und dass ihr singulärer Träger in mikrolokalen Verallgemeinerungen der (+alpha)-Landauflächen enthalten ist. Als weitere Anwendungen geben wir eine Konstruktion von dimensional regularisierten Integralen im Minkowski-Raum und beweisen Diskontinuitätsformeln für parametrische Amplituden. / We give a rigorous construction of analytically regularized Feynman integrals in D-dimensional Minkowski space as meromorphic distributions in the external momenta, both in the momentum and parametric representation. We show that their pole structure is given by the usual power-counting formula and that their singular support is contained in a microlocal generalization of the alpha-Landau surfaces. As further applications, we give a construction of dimensionally regularized integrals in Minkowski space and prove discontinuity formula for parametric amplitudes.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. / In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules.

Diese Dissertation ist dem Studium temperierter Distributionen mittels mikrolokaler Methoden gewidmet. Die fundamentale Größe der mikrolokalen Analysis, die Wellenfrontmenge, wird durch zwei analoge Konzepte ersetzt, die den pseudo-differentiellen SG- und Shubin-Kalkülen zugeordnet sind. Die Eigenschaften dieser globalen Wellenfrontmengen werden studiert und ferner werden unterschiedliche Möglichkeiten, diese globalen Singularitäten zu charakterisieren, untersucht, insbesondere mittels der FBI-Transformation. Zahlreiche Konstruktionen, die den klassischen Wellenfrontmengenbegriff beinhalten, werden in den globalen Kontext übersetzt, insbesondere Rechenoperationen mit temperierten Distributionen wie etwa (getwistete) Produkte, Pull-backs und Paarungen, für die mikrolokale Existenzkriterien angegeben werden. Als eine Anwendung wird eine Klasse von temperierten Oszillatorintegralen eingeführt, welche durch inhomogene Phasenfunktionen und Amplituden aus SG-Symbolklassen parametrisiert werden. Die SG-Wellenfrontmengen dieser Distributionen werden untersucht und es stellt sich heraus, dass diese durch eine Verallgemeinerung der Menge stationärer Punkte der Phasenfunktionen beschränkt werden. In diesem Kontext wird eine Verallgemeinerung des klassischen Begriffs einer konischen Lagrange-Untermannifaltigkeit des T*R^d vorgenommen und diese Objekte werden auf ihre Parametrisierungseigenschaften untersucht. Es stellt sich heraus, dass jedes solche Objekt lokal als die Menge der stationären Punkte einer SG-Phasenfunktion realisiert werden kann. Als weitere Anwendung werden einige Konstruktionen der axiomatischen Quantenfeldtheorie, die Distributionen beinhalten, im temperierten Kontext realisiert.

In this work we study several important properties of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability. Due to the richness of the weight sequence used to measure smoothness, this scale of function spaces incorporates a wide range of function spaces, of which we mention the spaces with variable smoothness. Within the existing characterizations of these spaces, the characterization via smooth atoms is undoubtedly one of the most used when it comes to obtain new results in varied directions. In this work we make use of such characterization to prove several embedding results, such as Sobolev, Franke and Jawerth embeddings, and also to study traces on hyperplanes. Despite the considerable benefits of resorting on the smooth atomic decomposition, there are still some limitations when one tries to use it in order to prove some specific results, such as pointwise multipliers and diffeomorphisms assertions. The non-smooth atomic characterization proved in this work overcome these problems, due to the weaker conditions of the (non-smooth) atoms. Moreover, it also allows us to give an intrinsic characterization of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability on the class of regular domains, in which connected bounded Lipschitz domains are included. / In dieser Arbeit untersuchen wir einige wichtige Eigenschaften der 2-microlokalen Besov und Triebel-Lizorkin Räume mit variabler Integrabilität. Weil die Glattheit hier mit einer reicher Gewichtsfolge gemessen wird, beinhaltet diese Skala von Funktionsräumen eine große Anzahl von Funktionsräumen, von denen wir die Räume mit variabler Glattheit erwähnen. Innerhalb der vorhandenen Charakterisierungen dieser Räume ist die Charakterisierung mit glatten Atomen zweifellos eine der am häufigsten verwendeten, um neue Ergebnisse in verschiedenen Richtungen zu erhalten. In dieser Arbeit verwenden wir eine solche Charakterisierung, um mehrere Einbettungsergebnisse zu bewiesen, wie Sobolev-Einbettungen und Einbettungen vom Franke-Jawerth Typ, und auch Spurresultate zu untersuchen. Trotz der beträchtlichen Vorteile des Rückgriffs auf die glatte Atomaren-Zerlegung gibt es immer noch einige Einschränkungen, wenn man versucht, sie zu verwenden, um einige spezifische Ergebnisse zu beweisen, wie beispielsweise punktweise Multiplikatoren und Diffeomorphismen-Assertionen. Die nichtglatte atomare Charakterisierung, die wir in dieser Arbeit beweisen, überwindet diese Probleme aufgrund der schwächeren Bedingungen von (nichtglatten) Atomen. Außerdem erlaubt es uns, eine Intrinsische Charakterisierung der 2-mikrolokalen Besov- und Triebel-Lizorkin-Räume mit variabler Integrabilität auf regulärer Gebieten zu geben.