This thesis is a continuation of a study of molecular moments begun by Joseph T. Fielder. In his paper he discussed the theory and the equipment necessary for such a study. It is the purpose of this paper to set forth modifications of his equipment, to present data obtained with this modified equipment, and to interpret this data.

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire) / It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

Cette thèse s'articule autour de deux grands thèmes: l'amélioration de la gestion des risques assurantiels souscrits par les entreprises d'assurance et l'intégration des techniques actuarielles et financières. L'intérêt majeur de notre démarche est de proposer de nouvelles méthodes modernes de gestion des risques pour les sociétés d'assurance, fournissant des alternatives pertinentes aux approches classiques des actuaires. Dans bon nombre de problèmes actuariels, l'information dont on dispose à propos des risques en présence n'est que partielle et il peut être intéressant d'obtenir des approximations de quantités d'intérêt (fonctions de répartition, primes stop-loss, coefficients d'ajustement, probabilités de ruine, etc.) basées sur les premiers moments des risques en présence. Dans tous les cas, il est évidemment très important de pouvoir évaluer la qualité de ces approximations. A cet égard, l'obtention de bornes sur ces quantités d'intérêt permet de contrôler l'erreur qui pourrait entacher l'approximation. Dans une telle perspective, la majeure partie de la thèse a pour cadre de travail les classes de risques partageant les mêmes premiers moments (notamment, moyenne, variance et coefficient de dissymétrie). L'existence de risques extrémaux par rapport à certaines relations d'ordres stochastiques de type convexe permet alors d'obtenir des bornes sur les quantités d'intérêt considérées. Dans certains cas, et ce afin d'obtenir des bornes plus précises, il peut également s'avérer intéressant de se restreindre à d'autres classes de risques. Par exemple, la classe des risques discrets, qui constitue un cas particulier de première importance en sciences actuarielles, a retenu toute notre attention. Cette thèse est composée d'articles (rédigés en anglais) publiés dans des revues nationales et internationales.

La tomographie optique diffuse de fluorescence permet la reconstruction tridimensionnelle de fluorophores présents dans un tissu biologique. La modalité la plus simple de cette technique repose sur une illumination continue du milieu et s'intéresse aux mesures d'atténuation du faisceau incident en différentes positions. En raison de la forte diffusion des tissus, la modalité continue souffre d'une faible résolution en profondeur.On considère aujourd'hui que la modalité résolue en temps, qui fournit pour chaque photon détecté son temps de vol, permettrait l'étude de tissus plus épais, ouvrant ainsi la porte à des applications cliniques. L'objet de cette thèse est de chercher comment tirer profit de l'information temporelle et de quantifier son apport par rapport à la modalité continue.La tomographie optique diffuse de fluorescence est un problème inverse mal conditionné. Dans un contexte où tout écart au modèle doit être limité, nous nous intéressons tout d'abord au modèle direct et montrons que la densité de photons est un modèle satisfaisant de la quantité expérimentalement mesurée. Nous passons ensuite au crible la méthode de reconstruction fondée sur l'exploitation des moments temporels des mesures. Étudiant théoriquement les propriétés des moments, nous montrons que cette approche nécessite, pour s'avérer intéressante, la détection d'un nombre élevé de photons. Nous introduisons enfin une nouvelle approche permettant d'exploiter l'information temporelle pour un nombre de photons plus limité. Cette approche, reposant sur une transformation en ondelettes des mesures, offre une qualité de reconstruction accrue par rapport à celle offerte par l'approche des moments. / Fluorescence diffuse optical tomography enables the three-dimensional reconstruction of fluorescence markers injected within a biological tissue, with light in the near infrared range. The simple continuous modality uses steady excitation light and operates from the measurements at different positions of the attenuation of the incident beam. This technique is low-cost, non-ionizing, and easy to handle, but subject to low resolution for thick tissues due to diffusion. Hopefully, the time-resolved modality, which provides the time of flight of any detected photon, could overcome this limitation and pave the way to clinical applications. This thesis aims at determining the best way to exploit the time resolved information and at quantifying the advantages of this modality over the standard continuous wave one.Model deviations must be carefully limited when ill-posed problems as fluorescence diffuse optical tomography are considered. As a result, we have first addressed the modelling part of the problem. We have shown that the photons density models to good approximation the measurable quantity that is the quantity measured by an actual acquisition set-up. Then, the moment-based reconstruction scheme has been thoroughly evaluated by means of a theoretical analysis of the moments’ properties. It was found that the moment-based approach requires high photon counts to be profitable compared to the continuous wave modality. Last, a novel wavelet-based approach, which enables an improved reconstruction quality, has been introduced. This approach has shown good ability to exploit the temporal information at lower photon counts.

Pas de résumé / No summary

Cette thèse porte sur la modélisation thermomécanique 3D en configuration de fraisage. Afin de déterminer, pour chaque orientation de la plaquette et à chaque position angulaire de l’outil, le torseur d’action complet (efforts et moments) trois grandes parties ont été développées dans ce manuscrit.En se basant sur les lignes de glissement dans les trois zones de coupe, un modèle de coupe orthogonale a été développé. Le rayon d’acuité est intégré dans la modélisation et les résultats du modèle sont sensibles à ce paramètre. Le modèle a été validé par une confrontation avec des essais de rabotage.Pour deux types de plaquette, à arêtes droite et ronde, l’étude cinématique le long de l’arête de coupe a menée à la détermination du torseur cinématique instantanée en chaque point. Cette partie a permis de définir une nouvelle composante de vitesse de coupe dépendante de la position angulaire de l’outil. L’inclinaison de l’arête génère une vitesse parallèle à l’arête de coupe (perpendiculaire au plan de coupe en configuration orthogonale) qui participe au comportement cinématique de la matière dans les zones de cisaillement primaire et secondaire.Une modélisation volumique 3D dans les deux zones de coupe primaire et secondaire a permis de définir la cartographie de déformation et de vitesse de déformation. Cette approche a été basée sur les données cinématiques et les conditions aux limites appropriées. Les gradients de contraintes et de vitesses trouvés sont à l’origine de l’apparition des moments de coupe. / This thesis is focused on 3D thermomechanical modeling in milling configuration. In order to determine, for each insert orientation and each tool angular position, the complete actions torsor (forces and moments) three parts have been developed in this work.Based on the slip lines in the three cutting areas, an orthogonal cutting model was developed. The tool edge radius is built in modeling and model results are sensitive to this parameter. The model was validated by comparison with experimental tests.For two types of insert, with straight and round edge, the kinematic study along the cutting edge allowed to determine the instantaneous kinematic torsor at each point. This part has defined a new cutting velocity component dependent of tool angular position. The inclination of the edge generates a parallel velocity to the cutting edge (perpendicular to the cutting plane in orthogonal configuration) that participates in the kinematic behavior of the material in the primary and secondary shear zones.A 3D solid modeling in the primary and secondary cutting zones helped to define the cartography of strain and strain rate. This approach was based on kinematic data and appropriate boundary conditions. The gradients of stresses and velocities are the source of the appearance of the cutting moments.

Ce travail a pour but la réalisation d'un outil permettant d'estimer la germination et la distribution en taille de cristaux d'un procédé de cristallisation. Pour ce faire un modèle de cristallisation a été développé et nous a permis de réaliser un observateur de dimension finie afin d'estimer la germination. Par la suite, un observateur de dimension infinie a été mis au point dans le but d'estimer la distribution de taille des cristaux à partir de la germination et de la mesure d'une taille de la distribution. Les deux observateurs ont été validés expérimentalement sur un procédé "batch" de cristallisation de l'oxalate d'ammonium. / The goal of this thesis is the development of an observer to estimate the nucleation and the crystal size distribution of a crystallization process. We first developed a model of crystallization in order to realize an observer for nucleation estimation. Then an infinite dimension observer was developed to estimate the crystal size distribution, using the nucleation estimation and one crystal size distribution measurement. An experimental validation was performed using the crystallization of ammonium oxalate.

Cette thèse porte sur la reconstruction de formes linéaires sur l'anneau des polynômes dans le cas multivarié et ses applications. Nous proposons des outils théoriques et algorithmiques permettant de résoudre des problèmes liés aux moments : la reconstruction de polytopes convexes à partir de leurs moments et la recherche de cubatures. L'algorithme numérique proposé pour reconstruire des polytopes utilise des méthodes numériques utilisées précédemment pour le cas des polygones, ainsi que les identités de Brion reliant moments directionnels et sommets projetés. Un polyèdre à 57 sommets - la coupe d'un diamant - est ainsi reconstruit. Pour la recherche de cubatures, nous adaptons la méthode de Prony univariée en une méthode multivariée à l'aide des opérateurs de Hankel. Un problème de complétion de matrices est aussi résolu grâce au théorème d'extension plate de Curto-Fialkow. Nous expliquons ainsi la recherche de cubatures à l'aide des matrices de moments, connue dans la littérature. La symétrie, qui est ici un élément naturel, réduit la complexité algorithmique. Nous prouvons qu'une diagonalisation par blocs des matrices concernées est alors possible. De ces blocs et à l'aide de la matrice de multiplicités d'un groupe fini, des conditions nécessaires à l'existence de cubatures sont obtenues. Pour une mesure, un degré et un nombre de nœuds donnés, notre algorithme certifie tout d'abord l'existence de cubatures et ensuite calcule ses poids et nœuds. De nouvelles cubatures ont ainsi été trouvées : soit en complétant celles connues pour une mesure et un degré donnés, soit en ajoutant des cubatures de degrés supérieurs pour une mesure donnée. / This thesis deals with the reconstruction of linear forms on the polynomial ring and its applications. We propose theoretical and algorithmic tools to solve multivariate moment problems: the reconstruction of convex polytopes from their moments (shape-from-moments) and the search for cubatures. The numerical algorithm we propose to reconstruct polytopes uses numerical methods previously known in the case of polygons, and also Brion's identities that relate directional moments and projected vertices. A polyhedron with 57 vertices – a diamond cut – is thus reconstructed. Concerning the search for cubatures, we adapt the univariate Prony's method into a multivariate method thanks to Hankel operators. A matrix completion problem is then solved with a basis-free version of Curto-Fialkow's flat extension theorem. We explain thus the moment matrix approach to cubatures, known in the litterature. Symmetry is here a natural ingredient and reduces the algorithmic complexity. We show that a block diagonalisation of the involved matrices is possible. Those blocs and the matrix of multiplicities of a finite group provide necessary conditions on the existence of cubatures. Given a measure, a degree and a number of nodes, our algorithm first certify the existence of cubatures and then compute the weights and nodes. New cubatures have been found: either by completing the ones known for a given measure and degree, or by adding cubatures with a higher degree for a given measure.

Frequency analysis is a vital tool when nding a well-suited probability distributionin order to predict extreme rainfall. The regional frequency approach have beenused for determination of homogeneous regions, using 11 sites in Skane, Sweden. Todescribe maximum annual daily rainfall, the Generalized Logistic (GLO), GeneralizedExtreme Value (GEV), Generalized Normal (GNO), Pearson Type III (PE3),and Generalized Pareto (GPA) distributions have been considered. The method ofL-moments have been used in order to nd parameter estimates for the candidatedistributions. Heterogeneity measures, goodness-of-t tests, and accuracy measureshave been executed in order to accurately estimate quantiles for 1-, 5-, 10-, 50- and100-year return periods. It was found that the whole province of Skane could beconsidered as homogeneous. The GEV distribution was the most consistent withthe data followed by the GNO distribution and they were both used in order toestimate quantiles for the return periods. The GEV distribution generated the mostprecise estimates with the lowest relative RMSE, hence, it was concluded to be thebest-t distribution for maximum annual daily rainfall in the province.

Le problème généralisé des moments (PGM) est un problème d'optimisation linéaire sur des espaces de mesures. Il permet de modéliser simplement un grand nombre d'applications. En toute généralité il est impossible à résoudre mais si ses données sont des polynômes et des ensembles semi-algébriques alors on peut définir une hiérarchie de relaxations semidéfinies (SDP) - la hiérarchie moments-sommes-de-carrés (moments-SOS) - qui permet en principe d'approcher la valeur optimale avec une précision arbitraire. Le travail contenu dans cette thèse adresse deux facettes concernants le PGM et la hiérarchie moments-SOS: Une première facette concerne l'évolution des relaxations SDP pour le PGM. Le degré des poids SOS dans la hiérarchie moments-SOS augmente avec l'ordre de relaxation. Lorsque le nombre de variables n'est pas modeste, on obtient rapidement des programmes SDP de taille trop grande pour les logiciels de programmation SDP actuels, sauf si l'on peut utiliser des symétries ou une parcimonie structurée souvent présente dans beaucoup d'applications de grande taille. On présente donc un nouveau certificat de positivité sur un compact semi-algébrique qui (i) exploite la parcimonie présente dans sa description, et (ii) dont les polynômes SOS ont un degré borné à l'avance. Grâce à ce nouveau certificat on peut définir une nouvelle hiérarchie de relaxations SDP pour le PGM qui exploite la parcimonie et évite l'explosion de la taille des matrices semidéfinies positives liée au degré des poids SOS dans la hiérarchie standard. Une deuxième facette concerne (i) la modélisation de nouvelles applications comme une instance particulière du PGM, et (ii) l'application de la méthodologie moments-SOS pour leur résolution. En particulier on propose des approximations déterministes de contraintes probabilistes, un problème difficile car le domaine des solutions admissibles associées est souvent non-convexe et même parfois non connecté. Dans notre approche moments-SOS le domaine admissible est remplacé par un ensemble plus petit qui est le sous-niveau d'un polynôme dont le vecteur des coefficients est une solution optimale d'un certain SDP. La qualité de l'approximation (interne) croît avec le degré du polynôme et la taille du SDP. On illustre cette approche dans le problème du calcul du flux de puissance optimal dans les réseaux d'énergie, une application stratégique où la prise en compte des contraintes probabilistes devient de plus en plus cruciale (e.g., pour modéliser l'incertitude liée á l'énergie éolienne et solaire). En outre on propose une extension des cette procedure qui est robuste à l'incertitude sur la distribution sous-jacente. Des garanties de convergence sont fournies. Une deuxième contribution concerne l'application de la méthodologie moments-SOS pour l'approximation de solutions généralisés en commande optimale. Elle permet de capturer le comportement limite d'une suite minimisante de commandes et de la suite de trajectoires associée. On peut traiter ainsi le cas de phénomènes simultanés de concentrations de la commande et de discontinuités de la trajectoire. Une troisième contribution concerne le calcul de solutions mesures pour les lois de conservation hyperboliques scalaires dont l'exemple typique est l'équation de Burgers. Cette classe d'EDP non linéaire peut avoir des solutions discontinues difficiles à approximer numériquement avec précision. Sous certaines hypothèses, la solution mesurepeut être identifiée avec la solution classique (faible) à la loi de conservation. Notre approche moment-SOS fournit alors une méthode alternative pour approcher des solutions qui contrairement aux méthodes existantes évite une discrétisation du domaine. / The generalized moment problem (GMP) is a linear optimization problem over spaces of measures. It allows to model many challenging mathematical problems. While in general it is impossible to solve the GMP, in the case where all data are polynomial and semialgebraic sets, one can define a hierarchy of semidefinite relaxations - the moment-sums-of-squares (moment-SOS) hierachy - which in principle allows to approximate the optimal value of the GMP to arbitrary precision. The work presented in this thesis addresses two facets concerning the GMP and the moment-SOS hierarchy: One facet is concerned with the scalability of relaxations for the GMP. The degree of the SOS weights in the moment-SOS hierarchy grows when augmenting the relaxation order. When the number of variables is not small, this leads quickly to semidefinite programs (SDPs) that are out of range for state of the art SDP solvers, unless one can use symmetries or some structured sparsity which is typically present in large scale applications. We provide a new certificate of positivity which (i) is able to exploit the structured sparsity and (ii) only involves SOS polynomials of fixed degree. From this, one can define a new hierarchy of SDP relaxations for the GMP which can take into account sparsity and at the same time prevents from explosion of the size of SDP variables related to the increasing degree of the SOS weights in the standard hierarchy. The second facet focusses on (i) modelling challenging problems as a particular instance of the GMP and (ii) solving these problems by applying the moment-SOS hierarchy. In particular we propose deterministic approximations of chance constraints a difficult problem as the associated set of feasible solutions is typically non-convex and sometimes not even connected. In our approach we replace this set by a (smaller) sub-level-set of a polynomial whose vector of coefficients is a by-product of the moment-SOS hierarchy when modeling the problem as an instance of the GMP. The quality of this inner approximation improves when increasing the degree of the SDP relaxation and asymptotic convergence is guaranteed. The procedure is illustrated by approximating the feasible set of an instance of the chance-constrained AC Optimal Power Flow problem (a nonlinear problem in the management of energy networks) which nowadays becomes more and more important as we rely increasingly on uncertain energy sources such as wind and solar power. Furthermore, we propose an extension of this framework to the case where the underlying distribution itself is uncertain and provide guarantees of convergence. Another application of the moment-SOS methodology discussed in this thesis consider measure valued solutions to optimal control problems. We show how this procedure can capture the limit behavior of an optimizing sequence of control and its corresponding sequence of trajectories. In particular we address the case of concentrations of control and discontinuities of the trajectory may occur simultaneously. In a final contribution, we compute measure valued solutions to scalar hyperbolic conservation laws, such as Burgers equation. It is known that this class of nonlinear partial differential equations has potentially discontinuous solutions which are difficult to approximate numerically with accuracy. Under some conditions the measure valued solution can be identified with the classical (weak) solution to the conservation law. In this case our moment-SOS approach provides an alternative numerical scheme to compute solutions which in contrast to existing methods, does not rely on discretization of the domain.