In this thesis, we address several generic problems concerned with procurement of tasks from a crowd that consists of strategic workers with uncertainty in their qualities. These problems assume importance as the quality of services in a service marketplace is known to degrade when there is (unchecked) information asymmetry pertaining to quality. Moreover, crowdsourcing is increasingly being used for a wide variety of tasks these days since it offers high levels of flexibility to workers as well as employers. We seek to address the issue of quality uncertainty in crowdsourcing through mechanism design and machine learning. As the interactions in web-based crowdsourcing platform are logged, the data captured could be used to learn unknown parameters such as qualities of individual crowd workers. Further, many of these platforms invite bids by crowd workers for available tasks but the strategic workers may not bid truthfully. This warrants the use of mechanism design to induce truthful bidding. There ensues a complex interplay between machine learning and mechanism design, leading to interesting technical challenges. We resolve some generic challenges in the context of the following problems. Design of a quality eliciting mechanism with interdependent values We consider an expert sourcing problem, where a planner seeks opinions from a pool of experts. Execution of the task at an assured quality level in a cost effective manner turns out to be a mechanism design problem when the individual qualities are private information of the experts. Also, the task execution problem involves interdependent values, where truthfulness and efficiency cannot be achieved in an unrestricted setting due to an impossibility result. We propose a novel mechanism that exploits the special structure of the problem and guarantees allocative efficiency, ex-post incentive compatibility and strict budget balance for the mechanism, and ex-post individual rationality for the experts. Design of an optimal dimensional crowdsourcing auction We study the problem faced by an auctioneer who gains stochastic rewards by procuring multiple units of a service from a pool of heterogeneous strategic workers. The reward obtained depends on the inherent quality of the worker; the worker’s quality is fixed but unknown. The costs and capacities are private information of the workers. The auctioneer is required to elicit costs and capacities (making the mechanism design dimensional) and further, has to learn the qualities of the workers as well, to enable utility maximization. To solve this problem, we design a dimensional multi-armed bandit auction that maximizes the expected utility of the auctioneer subject to incentive compatibility and individual rationality while simultaneously learning the unknown qualities of the agents. Design of a multi-parameter learning mechanism for crowdsourcing We investigate the problem of allocating divisible jobs, arriving online, to workers in a crowd-sourcing platform. Each job is split into a certain number of tasks that are then allocated to workers. These tasks have to meet several constraints that depend on the worker performance. The performance of each worker in turn is characterized by several intrinsic stochastic parameters. In particular, we study a problem where each arriving job has to be completed within a deadline and each task has to be completed, honouring a lower bound on quality. The job completion time and quality of each worker are stochastic with fixed but unknown means. We propose a learning mechanism to elicit the costs truthfully while simultaneously learning the stochastic parameters. Our proposed mechanism is dominant strategy incentive compatible and ex-post individually rational with asymptotically optimal regret performance.

A novel approach to the gain estimation problem,using a multi-armed bandit formulation, is studied. The gain estimation problem deals with the problem of estimating the largest L2-gain that signal of bounded norm experiences when passing through a linear and time-invariant system. Under certain conditions, this new approach is guaranteed to surpass traditional System Identification methods in terms of accuracy.The bandit algorithms Upper Confidence Bound, Thompson Sampling and Weighted Thompson Sampling are implemented with the aim of designing the optimal input for maximizing the gain of an unknown system. The regret performance of each algorithm is studied using simulations on a test system. Upper Confidence Bound, with exploration parameter set to zero, performed the best among all tested values for this parameter. Weighted Thompson Sampling performed better than Thompson Sampling.

The emergence of 5G alongside the distributed computing paradigm called Edge computing has prompted a tremendous change in the industry through the opportunity for reducing network latency and energy consumption and providing scalability. Edge computing extends the capabilities of users’ resource-constrained devices by placing data centers at the edge of the network. Computation offloading enables edge computing by allowing the migration of users’ tasks to edge servers. Deciding whether it is beneficial for a mobile device to offload a task and on which server to offload, while environmental variables, such as availability, load, network quality, etc., are changing dynamically, is a challenging problem that requires careful consideration to achieve better performance. This project focuses on proposing lightweight and efficient algorithms to take offloading decisions from the mobile device perspective to benefit the user. Subsequently, heuristic techniques have been examined as a way to find quick but sub-optimal solutions. These techniques have been combined with a Multi-Armed Bandit algorithm, called Discounted Upper Confidence Bound (DUCB) to take optimal decisions quickly. The findings indicate that these heuristic approaches cannot handle the dynamicity of the problem and the DUCB provides the ability to adapt to changing circumstances without having to keep adding extra parameters. Overall, the DUCB algorithm performs better in terms of local energy consumption and can improve service time most of the times. / Utvecklingen av 5G har skett parallellt med det distribuerade beräkningsparadigm som går under namnet Edge Computing. Lokala datacenter placerade på kanten av nätverket kan reducera nätverkslatensen och energiförbrukningen för applikationer. Exempelvis kan användarenheter med begränsade resurser ges utökande möjligheter genom avlastning av beräkningsintensiva uppgifter. Avlastningen sker genom att migrera de beräkningsintensiva uppgifterna till en dator i datacentret på kanten. Det är dock inte säkert att det alltid lönar sig att avlasta en beräkningsintensiv uppgift från en enhet till kanten. Detta måste avgöras från fall till fall. Att avgöra om och när det lönar sig är ett svårt problem då förutsättningar som tillgänglighet, last, nätverkskvalitét, etcetera hela tiden varierar. Fokus i detta projekt är att identifiera enkla och effektiva algoritmer som kan avgöra om det lönar sig för en användare att avlasta en beräkningsintensiv uppgift från en mobil enhet till kanten. Heuristiska tekniker har utvärderats som en möjlig väg att snabbt hitta lösningar även om de råkar vara suboptimala. Dessa tekniker har kombinerats med en flerarmad banditalgoritm (Multi-Armed Bandit), kallad Discounted Upper Confidence Bound (DUCB), för att ta optimala beslut snabbt. Resultaten indikerar att dessa heuristiska tekniker inte kan hantera de dynamiska förändringar som hela tiden sker samtidigt som DUCB kan anpassa sig till dessa förändrade omständigheter utan att man måste addera extra parametrar. Sammantaget, ger DUCM-algoritmen bättre resultat när det gäller lokal energikonsumtion och kan i de flesta fallen förbättra tiden för tjänsten.

Dans un scénario avec plusieurs réseaux sans fil de différentes technologies, ce travail a comme objectif la conception d'un moteur cognitif capable de reconnaitre l'environnement radio et de sélectionner un réseau avec le but final de maximiser la "qualité d'expérience" (QoE) de l'utilisateur. Un accent particulier est mis sur la simplicité de tous les éléments impliqués, du hardware aux algorithmes, afin de garder la faisabilité pratique de ce dispositif.Deux aspects ont été étudiés. Pour la reconnaissance de l'environnement radio une identification de réseau et une classification automatique sur la base de caractéristiques de la couche MAC a été proposée et testée. En ce qui concerne la sélection du réseau, des "Key Performance Indicators" (KPIs), qui sont des paramètres de la couche application, ont étés pris en compte afin d'obtenir la QoE désirée. Un modèle général pour la sélection du réseau a été proposé et testé avec de différents types de trafic par des simulations et par la réalisation d'un démonstrateur (application pour Android). De plus, comme il y a le problème de quand mesurer pour estimer la performance d'un réseau et quand l'utiliser effectivement pour transmettre et recevoir, le problème du bandit manchot ("Multi-armed bandit", MAB) a été appliqué à ce contexte et un nouveau modèle de MAB a été proposé afin de mieux répondre aux cas réels considérés. L'impact du nouveau modèle, qui introduit la distinction de deux actions différentes, mesurer et utiliser, a été testé par des simulations en utilisant des algorithmes déjà disponibles dans la littérature et deux algorithmes conçus spécifiquement. / In a scenario where multiple wireless networks of different technologies are available, this work addresses the problem of the design of a cognitive engine, core of a cognitive radio device, able to perform the surrounding radio environment recognition and the network selection with the final goal of maximization of final user Quality of Experience (QoE). Particular focus is put on the requirement of simplicity of all the elements involved, from hardware to algorithms, in order to keep in mind the importance of its practical realizability.Two aspects were investigated. For the surrounding radio environment recognition step, a network identification and automatic classification method based on MAC layer features was proposed and tested. As regards the network selection, Key Performance Indicators (KPIs), i.e. application layer parameters, were considered in order to obtain the desired goal of QoE. A general model for network selection was proposed and tested for different traffic types, both with simulations and a practical realization of a demonstrator (implemented as an application for Android OS). Moreover, as a consequence of the originated problem of when measuring to estimate a network performance and when effectively using the network for data transmission and reception purposes, the multi-armed bandit problem (MAB) was applied to this context and a new MAB model was proposed, in order to better fit the considered real cases scenarios. The impact of the new model, that introduces the distinction of two different actions, to measure and to use, was tested through simulations using algorithms already available in literature and two specifically designed algorithms.

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de prise de décisions séquentielles dans lesquels, pour chacune de ses décisions, l'apprenant reçoit une information qu'il utilise pour guider ses décisions futures. Pour aller au-delà du retour d’information conventionnel tel qu'il a été bien étudié pour des problèmes de prise de décision séquentielle tels que les bandits multi-bras, nous considérons des formes de retour d’information partielle motivées par des applications pratiques.En premier, nous considérons le problème des bandits duellistes, dans lequel l'apprenant sélectionne deux actions à chaque pas de temps et reçoit en retour une information relative (i.e. de préférence) entre les valeurs instantanées de ces deux actions.En particulier, nous proposons un algorithme optimal qui permet à l'apprenant d'obtenir un regret cumulatif quasi-optimal (le regret est la différence entre la récompense cumulative optimale et la récompense cumulative constatée de l’apprenant). Dans un second temps, nous considérons le problème des bandits corrompus, dans lequel un processus de corruption stochastique perturbe le retour d’information. Pour ce problème aussi, nous concevons des algorithmes pour obtenir un regret cumulatif asymptotiquement optimal. En outre, nous examinons la relation entre ces deux problèmes dans le cadre du monitoring partiel qui est un paradigme générique pour la prise de décision séquentielle avec retour d'information partielle. / The multi-armed bandit (MAB) problem is a mathematical formulation of the exploration-exploitation trade-off inherent to reinforcement learning, in which the learner chooses an action (symbolized by an arm) from a set of available actions in a sequence of trials in order to maximize their reward. In the classical MAB problem, the learner receives absolute bandit feedback i.e. it receives as feedback the reward of the arm it selects. In many practical situations however, different kind of feedback is more readily available. In this thesis, we study two of such kinds of feedbacks, namely, relative feedback and corrupt feedback.The main practical motivation behind relative feedback arises from the task of online ranker evaluation. This task involves choosing the optimal ranker from a finite set of rankers using only pairwise comparisons, while minimizing the comparisons between sub-optimal rankers. This is formalized by the MAB problem with relative feedback, in which the learner selects two arms instead of one and receives the preference feedback. We consider the adversarial formulation of this problem which circumvents the stationarity assumption over the mean rewards for the arms. We provide a lower bound on the performance measure for any algorithm for this problem. We also provide an algorithm called "Relative Exponential-weight algorithm for Exploration and Exploitation" with performance guarantees. We present a thorough empirical study on several information retrieval datasets that confirm the validity of these theoretical results.The motivating theme behind corrupt feedback is that the feedback the learner receives is a corrupted form of the corresponding reward of the selected arm. Practically such a feedback is available in the tasks of online advertising, recommender systems etc. We consider two goals for the MAB problem with corrupt feedback: best arm identification and exploration-exploitation. For both the goals, we provide lower bounds on the performance measures for any algorithm. We also provide various algorithms for these settings. The main contribution of this module is the algorithms "KLUCB-CF" and "Thompson Sampling-CF" which asymptotically attain the best possible performance. We present experimental results to demonstrate the performance of these algorithms. We also show how this problem setting can be used for the practical application of enforcing differential privacy.

In this Thesis, we first deploy Gittins index theory to establish the indexability of inter-alia general families of restless bandits that arise in problems of stochastic scheduling with switching penalties and machine maintenance. We also give formulae for the resulting indices. Numerical investigations testify the strong performance of the index heuristics.The second class of problems concerns two families of Markov decision problems. The spinning plates problem concerns the optimal management of a portfolio of assets whose yields grow with investment but otherwise decline. In the model of asset exploitation called the squad system, the yield from an asset declines when it is utilised but will recover when the asset is at rest. Simply stated conditions are given which guarantee general indexability of the problem together with necessary and sufficient conditions for strict indexability. The index heuristics, which emerge from the analysis, are assessed numerically and found to perform strongly.

Cette thèse se penche sur les problèmes de décisions devant être prises de manière séquentielle au sein d'un environnement aléatoire. Lors de chaque étape d'un tel problème décisionnel, une alternative doit être sélectionnée parmi un ensemble d'alternatives. Chaque alternative possède un gain moyen qui lui est propre et lorsque l'une d'elles est sélectionnée, celle-ci engendre un gain aléatoire. La sélection opérée peut suivre deux types d'objectifs.<p>Dans un premier cas, les tests viseront à maximiser la somme des gains collectés. Un juste compromis doit alors être trouvé entre l'exploitation et l'exploration. Ce problème est couramment dénommé dans la littérature scientifique "multi-armed bandit problem".<p>Dans un second cas, un nombre de sélections maximal est imposé et l'objectif consistera à répartir ces sélections de façon à augmenter les chances de trouver l'alternative présentant le gain moyen le plus élevé. Ce deuxième problème est couramment repris dans la littérature scientifique sous l'appellation "selecting the best".<p>La sélection de type gloutonne joue un rôle important dans la résolution de ces problèmes de décision et opère en choisissant l'alternative qui s'est jusqu'ici montrée optimale. Or, la nature généralement aléatoire de l'environnement rend incertains les résultats d'une telle sélection. <p>Dans cette thèse, nous introduisons une nouvelle quantité, appelée le "gain espéré d'une action gloutonne". Sur base de quelques propriétés de cette quantité, de nouveaux algorithmes permettant de résoudre les deux problèmes décisionnels précités seront proposés.<p>Une attention particulière sera ici prêtée à l'application des techniques présentées au domaine de la sélection de modèles en l'apprentissage artificiel supervisé. <p>La collaboration avec le service d'anesthésie de l'Hôpital Erasme nous a permis d'appliquer les algorithmes proposés à des données réelles, provenant du milieu médical. Nous avons également développé un système d'aide à la décision dont un prototype a déjà été testé en conditions réelles sur un échantillon restreint de patients. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

L’immense quantité d'information générée et gérée au quotidien par les systèmes d'information et leurs utilisateurs conduit inéluctablement à la problématique de surcharge d'information. Dans ce contexte, les systèmes de recommandation traditionnels fournissent des informations pertinentes aux utilisateurs. Néanmoins, avec la propagation récente des dispositifs mobiles (smartphones et tablettes), nous constatons une migration progressive des utilisateurs vers la manipulation d'environnements pervasifs. Le problème avec les approches de recommandation traditionnelles est qu'elles n'utilisent pas toute l'information disponible pour produire des recommandations. Davantage d’informations contextuelles pourraient être utilisées dans le processus de recommandation pour aboutir à des recommandations plus précises. Les systèmes de recommandation sensibles au contexte (CARS) combinent les caractéristiques des systèmes sensibles au contexte et des systèmes de recommandation afin de fournir des informations personnalisées aux utilisateurs dans des environnements ubiquitaires. Dans cette perspective où tout ce qui concerne l'utilisateur est dynamique, les contenus qu’il manipule et son environnement, deux questions principales doivent être adressées : i) Comment prendre en compte l'évolution des contenus de l’utilisateur? et ii) Comment éviter d’être intrusif, en particulier dans des situations critiques? En réponse à ces questions, nous avons développé un système de recommandation dynamique et sensible au risque appelé DRARS (Dynamic Risk-Aware Recommender System), qui modélise la recommandation sensible au contexte comme un problème de bandit. Ce système combine une technique de filtrage basée sur le contenu et un algorithme de bandit contextuel. Nous avons montré que DRARS améliore la stratégie de l'algorithme UCB (Upper Confidence Bound), le meilleur algorithme actuellement disponible, en calculant la valeur d'exploration la plus optimale pour maintenir un bon compromis entre exploration et exploitation basé sur le niveau de risque de la situation courante de l'utilisateur. Nous avons mené des expériences dans un contexte industriel avec des données réelles et des utilisateurs réels et nous avons montré que la prise en compte du niveau de risque de la situation de l'utilisateur augmentait significativement la performance du système de recommandation / The vast amount of information generated and maintained everyday by information systems and their users leads to the increasingly important concern of overload information. In this context, traditional recommender systems provide relevant information to the users. Nevertheless, with the recent dissemination of mobile devices (smartphones and tablets), there is a gradual user migration to the use of pervasive computing environments. The problem with the traditional recommendation approaches is that they do not utilize all available information for producing recommendations. More contextual parameters could be used in the recommendation process to result in more accurate recommendations. Context-Aware Recommender Systems (CARS) combine characteristics from context-aware systems and recommender systems in order to provide personalized recommendations to users in ubiquitous environments. In this perspective where everything about the user is dynamic, his/her content and his/her environment, two main issues have to be addressed: i) How to consider content evolution? and ii) How to avoid disturbing the user in risky situations?. In response to these problems, we have developed a dynamic risk sensitive recommendation system called DRARS (Dynamic Risk-Aware Recommender System), which model the context-aware recommendation as a bandit problem. This system combines a content-based technique and a contextual bandit algorithm. We have shown that DRARS improves the Upper Confidence Bound (UCB) policy, the currently available best algorithm, by calculating the most optimal exploration value to maintain a trade-off between exploration and exploitation based on the risk level of the current user's situation. We conducted experiments in an industrial context with real data and real users and we have shown that taking into account the risk level of users' situations significantly increases the performance of the recommender system

L’allocation des ressources spectrales à des services de communications sans fil, sans cesse plus nombreux et plus gourmands, a récemment mené la communauté radio à vouloir remettre en question la stratégie de répartition des bandes de fréquences imposée depuis plus d’un siècle. En effet une étude rendue publique en 2002 par la commission fédérale des communications aux Etats-Unis (Federal Communications Commission - FCC) mit en évidence une pénurie des ressources spectrales dans une large bande de fréquences comprise entre quelques mégahertz à plusieurs gigahertz. Cependant, cette même étude expliqua cette pénurie par une allocation statique des ressources aux différents services demandeurs plutôt que par une saturation des bandes de fréquences. Cette explication fut par la suite corroborée par de nombreuses mesures d’occupation spectrale, réalisées dans plusieurs pays, qui montrèrent une forte sous-utilisation des bandes de fréquences en fonction du temps et de l’espace, représentant par conséquent autant d’opportunité spectrale inexploitée. Ces constations donnèrent naissance à un domaine en plein effervescence connu sous le nom d’Accès Opportuniste au Spectre (Opportunistic Spectrum Access). Nos travaux suggèrent l’étude de mécanismes d’apprentissage pour la radio intelligente (Cognitive Radio) dans le cadre de l’Accès Opportuniste au Spectre (AOS) afin de permettre à des équipements radio d’exploiter ces opportunités de manière autonome. Pour cela, nous montrons que les problématiques d’AOS peuvent être fidèlement représentées par des modèles d’apprentissage par renforcement. Ainsi, l’équipement radio est modélisé par un agent intelligent capable d’interagir avec son environnement afin d’en collecter des informations. Ces dernières servent à reconnaître, au fur et à mesure des expériences, les meilleurs choix (bandes de fréquences, configurations, etc.) qui s’offrent au système de communication. Nous nous intéressons au modèle particulier des bandits manchots (Multi-Armed Bandit appliqué à l’AOS). Nous discutons, lors d’une phase préliminaire, différentes solutions empruntées au domaine de l’apprentissage machine (Machine Learning). Ensuite, nous élargissons ces résultats à des cadres adaptés à la radio intelligente. Notamment, nous évaluons les performances de ces algorithmes dans le cas de réseaux d’équipements qui collaborent en prenant en compte, dans le modèle suggéré, les erreurs d’observations. On montre de plus que ces algorithmes n’ont pas besoin de connaître la fréquence des erreurs d’observation afin de converger. La vitesse de convergence dépend néanmoins de ces fréquences. Dans un second temps nous concevons un nouvel algorithme d’apprentissage destiné à répondre à des problèmes d’exploitation des ressources spectrales dans des conditions dites de fading. Tous ces travaux présupposent néanmoins la capacité de l’équipement intelligent à détecter efficacement l’activité d’autres utilisateurs sur la bande (utilisateurs prioritaires dits utilisateurs primaires). La principale difficulté réside dans le fait que l’équipement intelligent ne suppose aucune connaissance a priori sur son environnement (niveau du bruit notamment) ou sur les utilisateurs primaires. Afin de lever le doute sur l’efficacité de l’approche suggérée, nous analysons l’impact de ces incertitudes sur le détecteur d’énergie. Ce dernier prend donc le rôle d’observateur et envoie ses observations aux algorithmes d’apprentissage. Nous montrons ainsi qu’il est possible de quantifier les performances de ce détecteur dans des conditions d’incertitude sur le niveau du bruit ce qui le rend utilisable dans le contexte de la radio intelligente. Par conséquent, les algorithmes d’apprentissage utilisés pourront exploiter les résultats du détecteur malgré l’incertitude inhérente liée à l’environnement considéré et aux hypothèses (sévères) d’incertitude liées au problème analysé. / During the last century, most of the meaningful frequency bands were licensed to emerging wireless applications. Because of the static model of frequency allocation, the growing number of spectrum demanding services led to a spectrum scarcity. However, recently, series of measurements on the spectrum utilization showed that the different frequency bands were underutilized (sometimes even unoccupied) and thus that the scarcity of the spectrum resource is virtual and only due to the static allocation of the different bands to specific wireless services. Moreover, the underutilization of the spectrum resource varies on different scales in time and space offering many opportunities to an unlicensed user or network to access the spectrum. Cognitive Radio (CR) and Opportunistic Spectrum Access (OSA) were introduced as possible solutions to alleviate the spectrum scarcity issue.In this dissertation, we aim at enabling CR equipments to exploit autonomously communication opportunities found in their vicinity. For that purpose, we suggest decision making mechanisms designed and/or adapted to answer CR related problems in general, and more specifically, OSA related scenarios. Thus, we argue that OSA scenarios can be modeled as Multi-Armed Bandit (MAB) problems. As a matter of fact, within OSA contexts, CR equipments are assumed to have no prior knowledge on their environment. Acquiring the necessary information relies on a sequential interaction between the CR equipment and its environment. Finally, the CR equipment is modeled as a cognitive agent whose purpose is to learn while providing an improving service to its user. Thus, firstly we analyze the performance of UCB1 algorithm when dealing with OSA problems with imperfect sensing. More specifically, we show that UCB1 can efficiently cope with sensing errors. We prove its convergence to the optimal channel and quantify its loss of performance compared to the case with perfect sensing. Secondly, we combine UCB1 algorithm with collaborative and coordination mechanism to model a secondary network (i.e. several SUs). We show that within this complex scenario, a coordinated learning mechanism can lead to efficient secondary networks. These scenarios assume that a SU can efficiently detect incumbent users’ activity while having no prior knowledge on their characteristics. Usually, energy detection is suggested as a possible approach to handle such task. Unfortunately, energy detection in known to perform poorly when dealing with uncertainty. Consequently, we ventured in this Ph.D. to revisit the problem of energy detection limits under uncertainty. We present new results on its performances as well as its limits when the noise level is uncertain and the uncertainty is modeled by a log-normal distribution (as suggested by Alexander Sonnenschein and Philip M. Fishman in 1992). Within OSA contexts, we address a final problem where a sensor aims at quantifying the quality of a channel in fading environments. In such contexts, UCB1 algorithms seem to fail. Consequently, we designed a new algorithm called Multiplicative UCB (UCB) and prove its convergence. Moreover, we prove that MUCB algorithms are order optimal (i.e., the order of their learning rate is optimal). This last work provides a contribution that goes beyond CR and OSA. As a matter of fact, MUCB algorithms are introduced and solved within a general MAB framework.

Multi-armed bandit (MAB) algorithms could be used to select a subset of the k most informative summary statistics, from a pool of m possible summary statistics, by reformulating the subset selection problem as a MAB problem. This is suggested by experiments that tested five MAB algorithms (Direct, Halving, SAR, OCBA-m, and Racing) on the reformulated problem and comparing the results to two established subset selection algorithms (Minimizing Entropy and Approximate Sufficiency). The MAB algorithms yielded errors at par with the established methods, but in only a fraction of the time. Establishing MAB algorithms as a new standard for summary statistics subset selection could therefore save numerous scientists substantial amounts of time when selecting summary statistics for approximate bayesian computation.